Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред
Индексы нашего тензора поляризуемости могут принимать три различных значения, т. е. это трехмерный тензор. Математики рассматривают также тензоры размерности четыре, пять и больше. Кстати, четырехмерный тензор нам уже встречался при релятивистском описании электромагнитного поля (см. гл. 26, вып. 6) — это Fmv .
Тензор поляризуемости aijобладает одним интересным свойством: он симметричен, т. е. axy=ayx и т. п. для любой пары индексов. (Это свойство отражает физические качества реального кристалла, и вовсе не обязательно у любого тензора.) Вы можете самостоятельно доказать это, подсчитав изменения энергии кристалла по следующей схеме:
1) включите электрическое поле в направления оси х;
2) включите поле в направлении оси у;
3) выключите x-поле;
4) выключите y-поле.
Теперь кристалл вернулся к прежнему положению и полная работа, затраченная на поляризацию, должна быть нулем. Но для этого, как вы можете убедиться, axy должно быть равно а. Однако те же рассуждения можно провести и для axzи т. д. Таким образом, тензор поляризуемости симметричен.
Это означает также, что тензор поляризуемости можно найти простым измерением энергии, необходимой для поляризации кристалла в различных направлениях. Предположим, мы сначала взяли электрическое поле Е с компонентами х и у; тогда, согласно уравнению (31.7),
Если бы у нас была только одна компонента Ех, мы могли бы определить aхх, а с одной компонентой Еyможно определить ayy . Включив обе компоненты Ехи Еy, мы из-за присутствия члена (aху+aух) получим добавочную энергию, ну а поскольку axy и ayx равны, то этот член превращается в 2axy и может быть вычислен из добавочной энергии.
Выражение для энергии (31.8) имеет очень красивую геометрическую интерпретацию. Предположим, что нас интересует, какие поля Ехи Еyотвечают данной плотности энергии, скажем u0. Возникает чисто математическая задача решения уравнения
Это уравнение второй степени, так что, если мы отложим по осям величины Ехи Еy , решением этого уравнения будут все точки эллипса (фиг. 31.2).
Фиг. 31.2 Конец любого вектора E=(Ex, ev) , лежащего на этой кривой, дает одну и ту же анергию поляризации.
(Это должен быть именно эллипс, а не парабола и не гипербола — ведь энергия поля всегда положительна и конечна.) А само Е с компонентами Ехи Еyпредставляет вектор, идущий из начала координат до точки на эллипсе. Такой «энергетический эллипс» — хороший способ «увидеть» тензор поляризуемости.
Если теперь пустить в дело все три компоненты, то любой вектор Е, необходимый для создания единичной плотности энергии, задается точками, расположенными на эллипсоиде, подобно изображенному на фиг. 31.3. Форма этого эллипсоида постоянной энергии однозначно характеризует тензор поляризуемости.
Заметьте теперь, что эллипсоид имеет очень интересное свойство — его всегда можно описать простым заданием направления трех «главных осей» и диаметров эллипсоида по этим осям. Такими «главными осями» являются направления наименьшего и наибольшего диаметра и направление, перпендикулярное к ним. На фиг. 31.3 они обозначены буквами а, b и с.
Фиг. 31.3. Эллипсоид анергии для тензора поляризуемости.
По отношению к этим осям уравнение эллипсоида имеет особенно простую форму:
Итак, по отношению к главным осям у тензора поляризуемости останутся только три ненулевые компоненты aаа, abbи aсс. Другими словами, сколь бы ни был сложен кристалл, всегда можно выбрать оси так (они не обязательно будут осями самого кристалла), что у тензора поляризуемости останется только три компоненты. Уравнение (31.4) для таких осей становится особенно простым:
Ра =aааЕа, Рb =abbEb, Рс =aссЕс. (31.9)
Иначе говоря, электрическое поле, направленное по любой одной из главных осей, дает поляризацию, направленную по той же оси, но, разумеется, для различных осей коэффициенты будут разными.
Тензор часто записывается в виде таблицы из девяти коэффициентов, взятых в скобки:
Для главных же осей а, b и с в таблице остаются только диагональные члены, поэтому мы говорим, что тензор становится «диагональным», т. е.
Самое важное здесь то, что к такой форме подходящим выбором осей координат можно привести любой тензор поляризуемости (фактически любой симметричный тензор второго ранга какого угодно числа измерений).
Если все три элемента тензора поляризуемости в диагональной форме равны друг другу, т. е. если
то эллипсоид энергии превращается в сферу, поляризуемость во всех направлениях становится одинаковой, а материал изотропным. В тензорных обозначениях
где.dij—единичный тензор:
что, разумеется, означает
Тензор dijчасто называют также «символом Кронекера». Для забавы вы можете доказать, что тензор (31.14) после замены одной прямоугольной системы координат на другую будет иметь в точности ту же самую форму. Тензор поляризуемости типа (31.13) дает
т. е. получается наш старый результат для изотропного диэлектрика:
Р=aЕ.
Форму и ориентацию эллипсоида поляризуемости иногда можно связать со свойствами симметрии кристалла. В гл. 30 мы уже говорили, что трехмерная решетка имеет 230 различных возможных внутренних симметрии и что для многих целей их удобно разбить на 7 классов в соответствии с формой элементарной ячейки. Эллипсоид поляризуемости должен отражать геометрию внутренней симметрии кристалла. Например, триклинный кристалл имеет самую низкую симметрию; у него все три оси эллипсоида разные и направления их, вообще говоря, не совпадают с направлением осей кристалла. Более симметричный моноклинный кристалл обладает той особенностью, что его свойства не меняются при повороте кристалла на 180° относительно одной оси, поэтому тензор поляризуемости при таком повороте должен остаться тем же самым. Отсюда следует, что эллипсоид поляризуемости при повороте на 180° должен переходить сам в себя. Но такое может случиться только, когда одна из осей эллипсоида совпадет с направлением оси симметрии кристалла. В других же отношениях ориентация и размеры эллипсоида могут быть какими угодно.
Оси эллипсоида ромбического кристалла должны совпадать с кристаллическими осями, так как вращение такого кристалла на 180° вокруг любой оси повторяет ту же кристаллическую решетку. Если же взять тетрагональный кристалл, то эллипсоид тоже должен повторять его симметрию, т. е. два из его диаметров должны быть равны между собой. Наконец, для кубического кристалла равными должны быть все три диаметра эллипсоида — он превращается в сферу и поляризуемость кристалла одинакова во всех направлениях.
Существует очень серьезная игра, состоящая в выяснении всех возможных свойств тензоров для всех возможных симметрии кристалла. Она мудрено называется «теоретико-групповым анализом». Однако для простых случаев тензора поляризуемости увидеть, какова должна быть эта связь, относительно легко.
§ 4. Другие тензоры; тензор инерции
В физике есть еще немало других примеров тензоров. В металле, например, или каком-либо другом проводнике зачастую оказывается, что плотность тока j приблизительно пропорциональна электрическому полю Е, причем константа пропорциональности называется проводимостью s
j=sЕ.
Однако для кристалла соотношение между j и Е более сложно, проводимость в различных направлениях не одинакова. Она становится тензором, поэтому мы пишем
