Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред
Благодаря этой симметрии тензора Sijего можно то; описывать эллипсоидом с тремя главными осями. Напряжение имеет особенно простой вид на площадках, нормальных к этим: осям: оно соответствует чистому сжатию или растяжению в направлении главных осей. Вдоль этих площадок нет никак сдвиговых сил, причем такие оси, для которых отсутствуют сдвиговые силы, можно выбрать для любого напряжения. Если эллипсоид превращается в сферу, то в любом направлении действуют только нормальные силы. Это соответствует гидростатическому давлению (положительному или отрицательном. Таким образом, для гидростатического давления тензор диагонален, причем все три компоненты его равны друг другу (фактически они просто равны давлению р). В этом случае мы можем написать
(31.25)
Вообще говоря, тензор напряжений в куске твердого тела, а также его эллипсоид изменяются от точки к точке, поэтому для описания всего куска мы должны задать каждую компоненту Sijкак функцию положения. Тензор напряжений, таким образом, является полем. Мы уже имели примеры скалярных полей, подобных температуре Т(х, у, z), и векторных полей, подобных Е(х, у, z), которые в каждой точке задавались тремя числами. А теперь перед нами пример тензорного поля, задаваемого в каждой точке пространства девятью числами, из которых для симметричного тензора Sijреально остается только шесть. Полное описание внутренних сил в произвольном твердом теле требует знания шести функций координат х, у и z.
§ 7. Тензоры высших рангов
Тензор напряжений Sijописывает внутренние силы в веществе. Если при этом материал упругий, то внутренние деформации удобно описывать с помощью другого тензора Tij— так называемого тензора деформаций. Для простого объекта, подобного бруску из металла, изменение длины DL, как вы знаете, приблизительно пропорционально силе, т. е. он подчиняется закону Гука
DL=gF.
Для произвольных деформаций упругого твердого тела тензор деформаций Tijсвязан с тензором напряжений Sijсистемой линейных уравнений
Вы знаете также, что потенциальная энергия пружины (или бруска) равна
а обобщением плотности упругой энергии для твердого тела будет выражение
Полное описание упругих свойств кристалла должно задаваться коэффициентами gijkl. Это знакомит нас с новым зверем — тензором четвертого ранга. Поскольку каждый из индексов может принимать одно из трех значений — х, у или z, то всего оказывается 34=81 коэффициент. Но различны из них на самом деле только 21. Во-первых, поскольку тензор Sij симметричен, у него остается только шесть различных величин, и поэтому в уравнении (31.27) нужны только 36 различных коэффициентов. Затем, не изменяя энергии, мы можем переставить Sijи Skl, так что gijkl должно быть симметрично при перестановке пары индексов ij и kl. Это уменьшает число коэффициентов до 21. Итак, чтобы описать упругие свойства кристалла низшей возможной симметрии, требуется 21 упругая постоянная! Разумеется, для кристаллов с более высокой симметрией число необходимых постоянных уменьшается. Так, кубический кристалл описывается всего тремя упругими постоянными, а для изотропного вещества хватит и двух.
В справедливости последнего утверждения можно убедиться следующим образом. В случае изотропного материала компоненты gijklне должны зависеть от поворота осей. Как это может быть? Ответ: они могут быть независимы, только когда выражаются через тензоры dij. Но существует лишь два возможных выражения, имеющих требуемую симметрию,— это dijdkl и dikdjl+dil+djk, так что gijkl должно быть их линейной комбинацией. Таким образом, для изотропного материала
gijkl =а(dijdkl) + b(dikdjl+dildjk);
следовательно, чтобы описать упругие свойства материала, требуются две постоянные: а и b. Я предоставляю вам самим доказать, что для кубического кристалла требуются три такие постоянные.
И еще один последний пример (на этот раз пример тензора третьего ранга) дает нам пьезоэлектрический эффект. При напряженном состоянии в кристалле возникает электрическое поле, пропорциональное тензору напряжений. Общий закон пропорциональности имеет вид
где ei— электрическое поле, a Pijk— пьезоэлектрические коэффициенты (пьезомодули), составляющие тензор. Можете ли вы сами доказать, что если у кристалла есть центр инверсии (т. е. если он инвариантен относительно замены х, у, z®-х,-y,-z), то все его пьезоэлектрические коэффициенты равны нулю.
§ 8. Четырехмерный тензор электромагнитного импульса
Все тензоры, с которыми мы сталкивались в этой главе, были связаны с трехмерным пространством; они определялись как величины, имеющие известные трансформационные свойства при пространственных поворотах. А вот в гл. 26 (вып. 6) мы имели возможность воспользоваться тензором в четырехмерном пространстве-времени: это был тензор электромагнитного поля Fmv. Компоненты такого четырехмерного тензора особым образом преобразуются при преобразованиях Лоренца. (Мы этого, правда, не делали, но могли бы рассматривать преобразования Лоренца как своего рода «вращение» в четырехмерном «пространстве», называемом пространством Минковского; тогда аналогия с тем, что мы рассматривали здесь, была бы ярче.)
В качестве последнего примера мы хотим рассмотреть другой тензор в четырех измерениях (t, x, y, z) теории относительности. Когда мы говорили о тензоре напряжений, то определяли Sijкак компоненту силы, действующую на единичную площадку. Но сила равна скорости изменения импульса со временем. Поэтому вместо того, чтобы говорить «Sxy — это х-компонента силы, действующей на единичную площадку, перпендикулярную оси у», мы с равным правом могли бы сказать: «Sxy — это скорость потока x-компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси у». Другими словами, каждый член Sij представляет поток i-й компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси j. Так обстоит дело с чисто пространственными компонентами, но они составляют только часть «большего» тензора Smvв четырехмерном пространстве m. и v=t, x, у, z), содержащего еще дополнительные компоненты Stx, S yt, Sttи т. п. Попытаемся теперь выяснить физический смысл этих дополнительных компонент.
Нам известно, что пространственные компоненты представляют поток импульса. Чтобы найти ключ к распространению этого понятия на «временное направление», обратимся к «потоку» другого рода — потоку электрического заряда. Скорость потока скалярной величины, подобной заряду (через единичную площадь, перпендикулярную потоку), является пространственным вектором — вектором плотности тока j. Мы видели, что временная компонента вектора потока — это плотность текущего вещества. Например, j можно скомбинировать с плотностью заряда jt=r и получить четырехвектор jm=(r, j), т. е. значок m у вектора jm принимает четыре значения: t, х, у, z. Это означает «плотность», «скорость потока в x-направлении», «скорость потока в y-направлении» и «скорость потока в z-направлении» скалярного заряда.
Теперь по аналогии с нашим утверждением о временной компоненте потока скалярной величины можно ожидать, что вместе c Sxx,Sxyи Sxz, описывающими поток x-компоненты импульса, должна быть и временная компонента Sxt, которая по идее должна бы описывать плотность того, что течет, т. е. Sxtдолжна быть плотностью х-компоненты импульса. Таким образом, мы можем расширить наш тензор по горизонтали, включив в него t-компоненты, и в нашем распоряжении оказываются:
Sxt— плотность x-компоненты импульса,
