Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред
Ну а теперь мы увидим, что эта задача с помощью дифференциальных уравнений решается совсем просто. Конечно, дифференциальные уравнения затуманивают физическую причину возникновения преломления (как результата интерференции вновь излученных волн с первоначальными), но зато они упрощают теорию плотного материала. В этой главе сойдется вместе многое из того, что мы делали уже раньше. Практически мы уже получили все, что нам потребуется, так что по-настоящему новых идей в этой главе будет сравнительно немного. Поскольку вам может понадобиться освежить в памяти то, с чем мы здесь столкнемся, то в табл. 32.1 приводится список уравнений, которые я собираюсь использовать вместе со ссылкой на те места, где их можно найти. Во многих случаях из-за нехватки времени я не смогу снова останавливаться на физических аргументах, а сразу же буду браться за уравнения.
Таблица 32.1 · ЧТО БУДЕТ ИСПОЛЬЗОВАНО В ЭТОЙ ГЛАВЕ
Начну с напоминания о механизме преломления в газе. Мы предполагаем, что в единице объема газа находится N частиц и каждая из них ведет себя как гармонический осциллятор. Мы пользуемся моделью атома или молекулы, к которой электрон привязан силой, пропорциональной его перемещению (как будто он удерживается пружинкой). Отметим, что такая модель атома с классической точки зрения незаконна, однако позднее будет показано, что правильная квантовомеханическая теория дает (в простейших случаях) эквивалентный результат. В наших прежних рассмотрениях мы не учитывали «тормозящей» силы в атомном осцилляторе, а сейчас это будет сделано. Такая сила соответствует сопротивлению при движении, т. е. она пропорциональна скорости электрона. Уравнением движения при этом будет
F=qeE =m(x+gx+w20x), (32.1)
где х — перемещение, параллельное направлению поля Е. (Осциллятор предполагается изотропным, т. е. восстанавливающая сила одинакова во всех направлениях. Кроме того, на время мы ограничимся линейно поляризованной волной, так что поле Е не меняет своего направления.) Если действующее на атом электрическое поле изменяется со временем синусоидально, то мы пишем.
E=E0eiwt. (32.2)
С той же самой частотой будет осциллировать и перемещение, поэтому можно считать
х=х0еiwt .
Подставляя х=iwx и х=-w2х, можно выразить х через Е:
А зная перемещение, можно вычислить ускорение х и найти ответственную за преломление излученную волну. Именно таким способом в гл. 31 (вып. 3) мы подсчитывали показатель преломления.
Теперь же мы пойдем другим путем. Индуцированный дипольный момент атома р равен qex, или в силу уравнения (32.3)
Так как р пропорционально Е, то мы пишем
р=e0a(w)Е, (32,5) где a — атомная поляризуемость:
Подобный же ответ для движения электронов в атоме дает и квантовая механика, но с учетом следующих особенностей. У атомов есть несколько собственных частот, каждая из которых имеет свою диссипативную постоянную g. Кроме того, каждая гармоника имеет еще свою эффективную «силу», выражаемую в виде произведения поляризуемости при данной частоте на постоянную связи f, которая, как ожидается, по порядку величины равна единице. Обозначая каждый из трех параметров w0, g и f для каждой из гармоник через wok, gk и fk и суммируя по всем гармоникам, мы вместо (32.6) получаем
Если число атомов в единице объема вещества равно N, то поляризация Р будет просто Np=e0NaE, т. е. пропорциональна Е:
Р=e0Na(w)Е. (32.8)
Другими словами, когда на материал действует синусоидальное электрическое поле, оно индуцирует пропорциональный себе дипольный момент, причем константа пропорциональности а, как мы уже отмечали, зависит от частоты. При очень больших частотах a мала: реакция материала слабая. А вот при низких частотах реакция может быть очень сильной. Константа пропорциональности, кроме того, еще оказывается комплексной, т. е. поляризация не следует точно за всеми изменениями электрического поля, а в какой-то степени может быть сдвинута по фазе. Во всяком случае, электрическое поле вызывает в материале поляризацию, пропорциональную его напряженности.
§ 2. Уравнения Максвелла в диэлектрике
Наличие в веществе поляризации означает, что там возникают поляризационные заряды и токи, которые необходимо учитывать в полных уравнениях Максвелла при нахождении полей. Сейчас мы собираемся решать уравнения Максвелла для случая, когда заряды и токи не равны нулю, но неявно определяются вектором поляризации. Нашим первым шагом должно быть явное нахождение плотности зарядов r и плотности тока j, усредненных по тому же самому малому объему, который имелся в виду при определении вектора Р. Потом необходимые нам значения r и j могут быть определены из поляризации. В гл. 10 (вып. 5) мы видели, что когда поляризация Р меняется от точки к точке, то возникает плотность зарядов:
rпол=-С·Р. (32.9)
В то время мы имели дело со статическими полями, но эта же формула справедлива и для переменных полей. Но когда Р изменяется со временем, заряды движутся, так что появляется поляризационный ток. Каждый из осциллирующих зарядов вносит в ток свой вклад, равный произведению его заряда qeна скорость v. Когда же таких зарядов в единице объема N штук, то они создают плотность тока j:
j=Nqev.
Ну а поскольку известно, что v=dx/dt, то j=Nqedx/dt, что как раз
равно dP/dt.Следовательно, при переменной поляризации возникает плотность тока
jпол=dP/dt (32.10)
Наша задача стала теперь простой и понятной. Мы пишем уравнения Максвелла с плотностями заряда и тока, определяемыми поляризацией Р посредством уравнений (32.9) и (32.10). (Предполагается, что других зарядов и токов в веществе нет.) Затем мы свяжем Р с Е формулой (32.5) и будем разрешать их относительно Е и В, отыскивая при этом волновое решение.
Но прежде чем приступить к решению, мне бы хотелось сделать одно замечание исторического характера. Первоначально Максвелл писал свои уравнения в форме, отличающейся от той, в которой они используются нами. И именно потому, что уравнения писались в другой форме в течение многих лет (да и сейчас многими пишутся так), я постараюсь объяснить вам разницу. В те дни механизм диэлектрической проницаемости не был понятен с ясностью и полнотой. Не была ясна ни природа атомов, ни существование поляризации в веществе. Поэтому тогда не понимали, что С·P дает дополнительный вклад в плотность заряда р. Были известны только заряды, не связанные в атомах (такие, как заряды, текущие по проводу или возникающие при трении).
Сегодня же мы предпочитаем обозначать через r полную плотность зарядов, включая в нее и заряды, связанные с индивидуальными атомами. Если назвать эту часть зарядов rпол, то можно написать
r=rпол+rдр,
где rдр— плотность зарядов, учтенная Максвеллом и относящаяся к другим зарядам, не связанным с определенными атомами. При этом мы бы написали
После подстановки rпол из (32.9) получаем
или
В плотность тока, фигурирующую в уравнениях Максвелла для СXB, вообще говоря, тоже вносится вклад от связанных атомных электронных токов. Поэтому мы можем написать
j=jпол+jдр,
причем уравнение Максвелла приобретает вид
Используя уравнение (32.10), получаем
Теперь вы видите, что если бы мы определили новый вектор D
D=e0E+P, (32.14)
то два уравнения поля приняли бы вид
С·D=rдр (32.15)
и
Это и есть та форма уравнений, которую использовал Максвелл для диэлектриков. А вот и остальные два уравнения:
СXЕ=-дB/дt
и
С·B=0,
