Ричард Фейнман - 5. Электричество и магнетизм
(Вектор)·С или С· (Вектор).
Первое выражение пока что ничего не означает — это все еще оператор. Окончательный смысл его зависит от того, на что он Судет действовать. А второе произведение — это некое скалярное поле (потому что А·В — всегда скаляр).
Попробуем составить скалярное произведение С на известное поле, скажем на h. Распишем покомпонентно
(2.32)
(2.33)
Эта сумма инвариантна относительно преобразования координат. Если выбрать другую систему (отмеченную штрихами), то получилось бы
(2.34)
а это — то же самое число, которое получилось бы и из (2.33), хотя с виду оно выглядит иначе, т. е.
(2.35)
в любой точке пространства. Итак, С·h — это скалярное поле, и оно должно представить собой некоторую физическую величину. Вы должны понимать, что комбинация производных в С·h имеет довольно специальный вид. Могут быть и другие комбинации всяческого вида, скажем dhy/dx, которые не являются ни скалярами, ни компонентами векторов.
Скалярная величина С· (Вектор) очень широко применяется в физике. Ей присвоили имя «дивергенция», или «расходимость». Например,
С·h = div h = «Дивергенция h». (2.36)
Можно было бы, как и для СT, описать физический смысл С·h. Но мы отложим это до лучших времен.
Посмотрим сначала, что еще можно испечь из векторного оператора С. Как насчет векторного произведения? Можно надеяться, что
(2.37)
Компоненты этого вектора можно написать, пользуясь обычным правилом для векторного произведения [см. (2.2)]:
(2.38)
Подобно этому,
(2.39)
(2.40)
Комбинацию СXh называют «ротор» (пишут rot h), или (редко) «вихрь h» (пишут curl h). Происхождение этого названия и физический смысл комбинации мы обсудим позже.
В итоге мы получили три сорта комбинаций, куда входит С:
СТ = grad T = Вектор,
С·h=divh = Скаляр,
СXh = roth = Вектор.
Используя эти комбинации, можно пространственные вариации полей записывать в удобном виде, т. е. в виде, не зависящем от той или иной совокупности осей координат.
В качестве примера применения нашего векторного дифференциального оператора С выпишем совокупность векторных уравнений, в которой содержатся те самые законы электромагнетизма, которые мы словесно высказали в гл. 1. Их называют уравнениями Максвелла.
Уравнения Максвелла
(2.41)
где r (ро) — «плотность электрического заряда» (количество заряда в единице объема), a j — «плотность электрического тока» (скорость протекания заряда сквозь единицу площади). Эти четыре уравнения содержат в себе законченную классическую теорию электромагнитного поля. Видите, какой элегантной и простой записи мы добились с помощью наших новых обозначений!
§ 6. Дифференциальное уравнение потока тепла
Приведем другой пример векторной записи физического закона. Этот закон не из точных, но во многих металлах и других материалах, проводящих тепло, он проявляется совершенно четко. Известно, что если взять плиту из какого-то материала и нагреть одну ее сторону до температуры Т2, а другую охладить до Т1 , то тепло потечет от T2к Т1(фиг. 2.7, а). Поток тепла пропорционален площади торцов А и разнице температур. Кроме того, он обратно пропорционален расстоянию между торцами. (Для заданной разницы температур чем тоньше плита, тем мощнее поток тепла.).
Фиг. 2.7. Тепловой поток через плиту (а) и бесконечно малая плитка, параллельная изотермической поверхности в большом блоке вещества (б).
Обозначая через J тепловую энергию, проходящую сквозь плиту за единицу времени, мы напишем
Что произойдет в более сложных случаях, скажем, в блоке материала необычной формы, в котором температура как-то прихотливо меняется? Рассмотрим тонкий слой материала и представим себе плиту наподобие изображенной на фиг. 2.7, а, но в миниатюре. Ориентируем ее торцы параллельно изотермическим поверхностям (фиг. 2.7, б), так что для этой малой плиты выполняется уравнение (2.42).
Если площадь этой плиты DА, то поток тепла за единицу времени равен
(2.42)
Коэффициент пропорциональности c (каппа) называется теплопроводностью.
(2.43)
где Ds — толщина плиты. Но DJ/DA мы раньше определили как абсолютную величину h — вектора, направленного туда, куда течет тепло. Тепло течет от T1 + DT к T1,так что вектор h перпендикулярен изотермам (фиг. 2.7, б). Далее, DТ/Ds как раз равно быстроте изменения Т с изменением положения. А поскольку изменения положения перпендикулярны изотермам, то наше AT/As — это максимальная скорость изменения. Она равна поэтому величине у Т. И, наконец, раз направления СТ и h противоположны, то (2.43) можно записать в виде векторного уравнения
h = - cСТ. (2.44)
(Знак минус написан потому, что тепло течет в сторону понижения температуры.) Уравнение (2.44) — это дифференциальное уравнение теплопроводности в массиве вещества. Вы видите, что это чисто векторное уравнение. С обеих сторон стоят векторы (если x число). Это обобщение на произвольный случай частного соотношения (2.42), верного для прямоугольной плиты.
Мы с вами должны будем научиться выписывать все соотношения элементарной физики [наподобие (2.42)] в этих хитроумных векторных обозначениях. Они полезны не только потому, что уравнения начинают от этого выглядетъ проще. В них намного яснее проступает физическое содержание уравнений безотносительно к выбору системы координат.
§ 7. Вторые производные векторных полей
Пока мы имели дело только с первыми производными. А почему не со вторыми? Из вторых производных можно составить несколько комбинаций:
(2.45)
Вы можете убедиться, что никаких иных комбинаций быть не может.
Посмотрим сперва на вторую комбинацию (б). Она имеет ту же форму, что и
АX(АT) = (АXА)T = 0, потому что АXА всегда нуль. Значит,
(2.46)
Можно понять, как это получается, если расписать одну из компонент:
что равно нулю [по уравнению (2.8)]. Это же верно и для других компонент. Стало быть, СХ(СT)=0 для любого распределения температур, да и для всякой скалярной функции.
Возьмем второй пример. Посмотрим, нельзя ли получить нуль другим путем. Скалярное произведение вектора на векторное произведение, содержащее этот вектор, равно нулю
А·(АХВ) = 0, (2.48)
потому что АХВ перпендикулярно к А и не имеет тем самым составляющих вдоль А. Сходная комбинация стоит в списке (2.45) под номером (г):
С(СXh) = div(roth) = 0. (2.49)
В справедливости этого равенства опять-таки легко убедиться, проделав выкладки на компонентах.
Теперь сформулируем без доказательства две теоремы. Они очень интересны и весьма полезны для физиков.
В физических задачах часто оказывается, что ротор какой-то величины (скажем, векторного поля А) равен нулю. Мы видели в уравнении (2.46), что ротор градиента равен нулю. (Это легко запоминается по свойствам векторов.) Далее, может оказаться, что А будет градиентом какой-то величины, потому что тогда ротор А с необходимостью обратится в нуль. Имеется интересная теорема, утверждающая, что если ротор А есть нуль, то тогда А непременно окажется чьим-то градиентом; существует некоторое скалярное поле ш; (пси), такое, что A=gradш. Иными словами, справедлива
Т Е О Р Е М А
Если СXА = 0,
то имеется ш, (2.50)
такое, что А = Сш.
. Сходная теорема формулируется и для случая, когда дивергенция А есть нуль. Из уравнения (2.49) видно, что дивергенция ротора любой величины равна всегда нулю. Если вам случайно встретилось векторное поле D, для которого div D — нуль, то вы имеете право заключить, что D это ротор некоторого векторного поля С.
ТЕОРЕМА
Если С·D = 0,
то имеется С, (2.51)
такое, что D = СXC.
Перебирая всевозможные сочетания двух операторов у, мы обнаружили, что два из них всегда дают нуль. Займемся теперь теми, которые не равны нулю. Возьмем комбинацию С· (СT), первую в нашем списке. В общем случае это не нуль. Выпишем компоненты
Далее,
