Ричард Фейнман - 5. Электричество и магнетизм
Может быть, эти три производные и представляют собой компоненты вектора:
(2.11)
Ясно, конечно, что, вообще говоря, не из любых трех чисел можно составить вектор. О векторе можно говорить только тогда, когда при повороте системы координат компоненты преобразуются по правильному закону. Так что следует проследить, как меняются эти производные при повороте системы координат. Мы покажем, что (2.11) — действительно вектор. Производные действительно преобразуются при вращении системы координат так, как полагается.
В этом можно убедиться по-разному. Можно, например, задать себе вопрос, ответ на который не должен зависеть от системы координат, и попытаться выразить ответ в «инвариантной» форме. К примеру, если S=A·B и если А и В — векторы, то мы знаем (это доказано в вып. 1, гл. 11), что S — скаляр. Мы знаем, что S — скаляр, не проверяя, меняется ли он при изменении системы координат. Ему ничего иного не остается, раз он является скалярным произведением двух векторов. Подобным же образом, если мы знаем, что А — вектор, и у нас есть три числа B1, B2, В3, и мы обнаруживаем, что
(2.12)
(где S в любой системе координат одно и то же), то три числа b1, B2, В3 обязаны быть компонентами Вх, Ву, Вz некоторого вектора В.
Рассмотрим теперь температурное поле. Возьмем две точки P1 и Р2, разделенные маленьким расстоянием DR. Температура в Р1 есть T1, а в Р2 она равна T2 , и их разница DТ=Т2-Т1 .Температура в этих реальных физических точках, конечно, не зависит от того, какие оси мы выбрали для измерения координат. В частности, DT — тоже число, не зависящее от системы координат. Это скаляр.
Выбрав удобную систему координат, мы можем написать
Т1 = Т(х, у, z) и Т2=Т(х + Dx, у + Dу, z + Dz),
где Dx:, Dy, Dz — компоненты вектора DR (фиг. 2.5). Вспомнив (2.7), напишем
(2.13)
Слева в (2.13) стоит скаляр, а справа — сумма трех произведений каких-то чисел на Dx;, Dy, Dz, которые являются компонентами вектора. Значит,
три числа — тоже х-, у- и z-компоненты вектора.
Фиг. 2.5. Вектор DR с компонентами Dx, Dу, Dz.
Мы напишем этот новый вектор при помощи символа СТ. Символ С (называемый набла) — это D вверх ногами; он напоминает нам о дифференцировании. Читают С T по-разному:
«набла T», или «градиент T», или «gradT»:
(2.14)
С этим обозначением (2.13) переписывается в более компактной форме
(2.15)
Или, выражая словами: разница температур в двух близких точках есть скалярное произведение градиента Т на вектор смещения второй точки относительно первой. Форма (2.15) также служит иллюстрацией к нашему утверждению, что ДТ — действительно вектор.
Быть может, вы еще не убеждены? Тогда докажем иначе. (Хотя, вглядевшись внимательно, вы увидите, что это на самом деле то же самое доказательство, только подлиннее!) Мы покажем, что компоненты ДТ преобразуются абсолютно так же, как я компоненты R, а значит, ДТ — тоже вектор в соответствии с первоначальным определением вектора в вып. 1, гл. 11. Мы выберем новую систему координат х', у', z' и в ней вычислим дТ/дх', дТ/ду': дТ/dz'. Для простоты положим z=z', так что о третьей координате мы можем позабыть. (Можете сами заняться проверкой более общего случая.)
Фиг. 2.6. Переход к повернутой системе координат (а) и частный
случай интервала DR, параллельного к оси х (б).
Выберем систему х', у', повернутую относительно х, y-системы на угол 9 (фиг. 2.6, а). Координаты точки (х, у) в штрихованной системе имеют вид:
(2.16)
(2.17)
или, решая относительно x и y,
(2.18)
(2.19)
Если всякая пара чисел преобразуется так же, как x и y, то она является компонентами вектора.
Рассмотрим теперь разницу в температурах двух соседних точек Р1и Р2(фиг. 2.6, б). В координатах х, у запишем
(2.20)
так как Dy = 0.
А в штрихованной системе? Там мы бы написали
(2.21)
Глядя на фиг. 2.6, б, мы видим, что
(2.22)
и
(2.23)
так как Dy отрицательно при положительном Dx. Подставляя в (2.21), получаем
(2.24)
(2.25)
Сравнивая (2.25) с (2.20), мы видим, что
(2.26)
Это уравнение говорит нам, что дТ/дх получается из дТ/дх' и дТ/ду' в точности так же, как х из х' и у' в (2.18). Значит, дТ/дх — это x-компонента вектора. Сходные же рассуждения показывают, что дТ/ду и dT/dz суть у- и z-компоненты. Стало быть, СТ есть на самом деле вектор. Это векторное поле, образованное из скалярного поля Т.
§ 4. Оператор С
А сейчас мы проделаем крайне занятную и остроумную вещь — одну из тех, которые так украшают математику. Доказательство того, что grad Т, или СT является вектором, не зависит от того, какое скалярное поле мы дифференцируем. Все доводы остались бы в силе, если бы Т было заменено любым скалярным полем. А поскольку уравнения преобразований одинаковы независимо от того, что дифференцируется, то можно Т убрать и уравнение (2.26) заменить операторным уравнением
(2.27)
Как выразился Джинс, мы оставляем операторы «жаждущими продифференцировать что угодно».
Так как сами дифференциальные операторы преобразуются как компоненты векторного поля, то можно назвать их компонентами векторного оператора. Можно написать
(2.28)
это означает, конечно,
(2.29)
Мы абстрагировали градиент от Т — в этом и есть остроумие. Конечно, вы должны все время помнить, что С — это оператор. Сам по себе он ничего не означает. А если С сам по себе ничего не означает, то что выйдет, если мы градиент помножим на скаляр, например на T, чтобы получилось произведение TС? (Ведь вектор всегда можно умножить на скаляр.) Это опять ничего не означает. Компонента х этого выражения равна
(2.30)
а это не число, а все еще какой-то оператор. Однако в согласии с алгеброй векторов ТСпо-прежнему можно называть вектором.
А сейчас помножим С на скаляр с другой стороны. Получится произведение СT. В обычной алгебре
(2.31)
но нужно помнить, что операторная алгебра немного отличается от обычной векторной. Надо всегда выдерживать правильный порядок операторов, чтобы их операции имели смысл. Тогда у вас трудностей не возникнет, если вы припомните, что оператор y подчиняется тем же условиям, что и производные. То, что вы дифференцируете, должно быть поставлено справа от С Порядок здесь существен.
Если помнить о порядке, то сразу ясно, что ТС — это оператор, а произведение СТ — это уже не «жаждущий» оператор, его жажда утолена. Это физическая величина, имеющая смысл. Он представляет собой скорость пространственного изменения Т: x-компонента СТ показывает, насколько быстро Т изменяется в
x-направлении. А куда направлен вектор СТ? Мы знаем, что скорость изменения Т в каком-то направлении — это компонента СТ в этом направлении [см. (2.15)]. Отсюда следует, что направление СТ — это то, по которому СТ обладает самой длинной проекцией; иными словами, то, по которому СТ меняется быстрее всего. Направление градиента Т — это направление быстрейшего подъема величины Т.
§ 5. Операции с С
Можно ли с векторным оператором С производить другие алгебраические действия? Попробуем скомбинировать его с вектором. Из двух векторов можно составить скалярное произведение, причем двоякого рода:
(Вектор)·С или С· (Вектор).
Первое выражение пока что ничего не означает — это все еще оператор. Окончательный смысл его зависит от того, на что он Судет действовать. А второе произведение — это некое скалярное поле (потому что А·В — всегда скаляр).
