Дэвид Дойч - Структура реальности. Наука параллельных вселенных
С древних времен идея о привилегированном статусе математического знания часто ассоциировалась с идеей о том, что некоторые абстрактные сущности не просто являются частью структуры реальности, но даже более реальны, чем физический мир. Пифагор считал, что закономерности в природе есть выражение математических соотношений между натуральными числами. «Числу все вещи подобны»[43] – таков был его девиз. Он не имел это в виду совершенно буквально, однако Платон пошел еще дальше и по существу отрицал реальность физического мира вообще. Он считал, что наши кажущиеся ощущения этого мира ничего не стоят или вводят в заблуждение, и доказывал, что физические объекты и явления, которые мы воспринимаем, – всего лишь «тени» или несовершенные копии их идеальных сущностей («форм» или «идей»), существующих в отдельном царстве, которое и есть истинная реальность. В этой области, кроме всего прочего, существуют формы чистых чисел, таких как 1, 2, 3…, и формы математических действий, таких как сложение и умножение. Мы можем воспринять некоторые тени этих форм, когда кладем на стол одно яблоко, потом еще одно и видим, что на столе два яблока. Однако яблоки выражают «единственность» и «двойственность» (и, раз уж на то пошло, «яблочность») лишь несовершенно. Они не являются совершенно идентичными, а потому в действительности на столе никогда нет двух экземпляров чего-либо. На это можно возразить, что число два представимо также, если положить на стол два различных объекта. Но и такое представление несовершенно, потому что в этом случае мы должны допустить, что на столе также есть клетки, отпавшие от яблок, пыль и воздух.
В отличие от Пифагора, Платон не испытывал особого пристрастия к натуральным числам. Его реальность содержала формы всех понятий. Например, она содержала форму совершенного круга. «Круги», которые мы видим, никогда не являются настоящими кругами. Они не идеально круглые, не идеально плоские; у них есть конечная толщина и т. д. Все они несовершенны.
Затем Платон указал проблему. Принимая во внимание все это земное несовершенство (и, мог бы добавить он, наш несовершенный сенсорный доступ даже к земным кругам), как вообще мы можем знать то, что мы знаем о реальных, совершенных кругах? Очевидно, что мы обладаем знанием о них, но каким образом? Где Евклид приобрел знание геометрии, которое выразил в своих знаменитых аксиомах, если у него не было ни подлинных кругов, ни точек, ни прямых? Откуда исходит уверенность в математическом доказательстве, если никто не способен ощутить те абстрактные сущности, на которые оно ссылается? Ответ Платона заключался в том, что знание о таких вещах мы получаем не из этого мира теней и иллюзий, а непосредственно из реального мира форм. Мы обладаем совершенным врожденным знанием того мира, которое, как он считал, забывается при рождении, а затем скрывается под слоями ошибок, вызванных тем, что мы доверяем своим чувствам. Но реальность можно вспомнить, усердно применяя «разум», что дает затем абсолютную уверенность, которой никогда не обеспечивает опыт.
Интересно, кто-нибудь когда-нибудь верил в эту весьма сомнительную фантазию (включая самого Платона, который все-таки был очень компетентным философом, считавшим, что публике стоит говорить благородную ложь)? Тем не менее поставленная им проблема – откуда у нас берется знание абстрактных сущностей, не говоря уж об уверенности в нем, – достаточно реальна, а некоторые элементы предложенного Платоном решения с тех пор стали частью господствующей теории познания. В частности, фактически все математики до сегодняшнего дня без критики принимают основную идею о том, что математическое и естественнонаучное знание проистекает из различных источников и что «особый» источник математики придает ей абсолютную достоверность. Сейчас этот источник математики называют математической интуицией, однако он играет ту же самую роль, что и «воспоминания» Платона о царстве форм.
Математики много и мучительно спорили о том, открытия каких в точности видов совершенно надежного знания можно ожидать от нашей математической интуиции. Другими словами, они согласны, что математическая интуиция – источник абсолютной определенности, но не могут прийти к соглашению относительно того, что она им говорит! Очевидно, что это повод для бесконечных, неразрешимых споров.
Большая часть таких споров неизбежно вращалась вокруг допустимости или недопустимости различных методов доказательства. Одно из разногласий было связано с так называемыми «мнимыми» числами. Мнимые числа – это квадратные корни из отрицательных чисел. Новые теоремы об обычных, «действительных» числах доказывали, обращаясь на промежуточных этапах рассуждения к свойствам мнимых чисел. Например, так были доказаны первые теоремы о распределении простых чисел. Однако некоторые математики возражали против мнимых чисел на том основании, что они нереальны. (Современная англоязычная терминология, в которой действительные числа обозначаются словом real, все еще отражает это старое разногласие, хотя сегодня мы считаем, что мнимые числа столь же реальны, как и действительные.) Я полагаю, что учителя в школе говорили этим математикам, что не допускается извлекать квадратный корень из минус единицы, и, поэтому они не понимали, почему кто-то другой может это сделать. Нет сомнения в том, что они называли этот злопыхательский порыв «математической интуицией». Однако другие математики обладали другой интуицией. Они понимали, что такое мнимые числа, и как они согласуются с действительными. Почему, думали они, человек не должен определять новые абстрактные сущности, имеющие любые свойства, какие ему нравятся? Безусловно, единственным законным основанием запретить могла быть только логическая несовместимость требуемых свойств. (Сегодня это, в сущности, является консенсусом, который математик Джон Хортон Конуэй[44] задиристо назвал Освободительным движением математиков.) Как известно, никто не доказал, что система мнимых чисел непротиворечива. Но ведь никто не доказал и того, что обычная арифметика натуральных чисел является непротиворечивой!
Подобные разногласия существовали и в отношении допустимости использования бесконечных чисел, а также множеств, содержащих бесконечно много элементов, и бесконечно малых величин, применяемых в дифференциальном и интегральном исчислении. Давид Гильберт[45], создавший бо́льшую часть математического аппарата, как для общей теории относительности, так и для квантовой теории, заметил, что «математическая литература переполнена бессмыслицами и нелепостями, имеющими свой источник в бесконечности». Некоторые математики, как мы увидим, вовсе отрицали возможность корректных рассуждений о бесконечных сущностях. Несмотря на впечатляющий прогресс чистой математики в XIX веке, он мало что дал для разрешения этих разногласий. Напротив, он только усугублял их и порождал новые. По мере своего усложнения математические рассуждения неизбежно удалялись от повседневной интуиции, что привело к двум важным противоположным эффектам. С одной стороны, математики все более придирчиво относились к доказательствам, которые, чтобы быть принятыми, должны были удовлетворять все более жестким стандартам строгости. Однако, с другой стороны, изобретались более мощные методы доказательства, которые не всегда сводились к уже существующим методам. И из-за этого часто возникали сомнения, является ли какой-то конкретный метод доказательства, несмотря на свою самоочевидность, абсолютно безошибочным.
Таким образом, к 1900 году наступил кризис оснований математики, а именно, оказалось, что этих оснований не было. Но что же произошло с законами чистой логики? Разве не им полагалось разрешать все споры в царстве математики? Прискорбный факт заключался в том, что теперь математические споры, в сущности, и велись о «законах чистой логики». Первым эти законы кодифицировал еще Аристотель в IV веке до н. э., положив начало тому, что сегодня называют теорией доказательств. Он принял, что доказательство должно состоять из последовательности утверждений, которая начинается с каких-либо посылок и определений, а заканчивается желаемым выводом. Чтобы последовательность утверждений была обоснованным доказательством, каждое утверждение, кроме начальных посылок, должно следовать из предыдущих в соответствии с одним из фиксированного набора шаблонов, называемых силлогизмами. Типичным был следующий силлогизм:
Другими словами, это правило гласило, что если в доказательстве появляется утверждение вида «все А имеют свойство В» (как в данном случае «все люди смертны») и другое утверждение вида «индивидуум Х есть А» (как в данном случае «Сократ – человек»), то далее в доказательстве можно обоснованно использовать утверждение «X имеет свойство В» («Сократ смертен»), и в частности, это является обоснованным выводом. Силлогизмы выражали то, что мы назвали бы правилами вывода, то есть правилами, определяющими шаги, разрешенные при доказательстве, такие, что истинность посылок передается и заключениям. Точно так же эти правила можно применять для определения, обосновано ли данное доказательство.
