Александр Петров - Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор
Для сравнения вернемся к теории Ньютона. В отличие от ОТО, здесь все взаимодействия происходят в абсолютном пространстве, и это дает возможность дать локальные характеристики гравитационного поля. Правда, чтобы быть корректными, необходимо оставаться в рамках теории. Вспомним, что в самой теории Ньютона нет понятия поля. Оно было введено лишь опосредовано, в частности, для сравнения с ОТО. Более того, не определена «энергия покоя», поэтому она не определена и для статического поля. Однако есть понятие гравитационного потенциала, для точечной массы φ – GM/r. Именно этой характеристикой определяется действие гравитационных сил и, благодаря наличию абсолютного пространства, определяется однозначно.
Многие критики ОТО, апеллируя к свойству нелокализуемости, говорят, что понятие энергии вообще отсутствует в ОТО, что другие сохраняющиеся величины также нельзя определить и использовать в ОТО. Это, конечно, не так. Гравитационное взаимодействие, а следовательно и гравитационное поле, без всякого сомнения, дает вклад в энергетические характеристики гравитирующих систем, но этот вклад определяется лишь нелокально. Примером может служить двойная система (двойная звезда). Ясно, что эта система существует благодаря гравитационной связи. Но как в ней распределена гравитационная энергия? Если мы запустим наблюдателя в качестве спутника одного из компонентов, то он, конечно, не определит ничего. Действительно, его состояние – это состояние свободного падения, и он себя ощущает как в пространстве Минковского (вспомните состояние невесомости космонавтов на орбитальной станции). Тем не менее, конечно, гравитационная энергия есть в наличии. Давайте извне «впрыснем» в систему энергию, в результате один из компонентов приобретет достаточную скорость, чтобы покинуть своего собрата. Полная релятивистская (с учетом масс покоя) энергия системы до разлета меньше, чем после, поскольку для разгона компонентов была добавлена положительная энергия. Разница – это и есть гравитационная энергия, энергия связи. Поскольку она была компенсирована «впрыскиванием» положительной энергии, то является отрицательной. Таким образом, нелокализуемость энергии в ОТО является лишь особым свойством теории.
Эйнштейн о проблеме определения энергии в ОТО
Уже в процессе создания ОТО Эйнштейн уделял особое внимание построению законов сохранения либо для свободного гравитационного поля, либо для гравитационного поля вместе с материальными источниками. Он приходит к выводу, что законы сохранения должны определяться совместно для материи и гравитационного поля. Как оказалось, именно это требование в конечном итоге привело Эйнштейна к правильной формулировке уравнений.
Хотя, конечно, более рационально построить уравнения так, как изложено в Дополнении 5, чтобы удовлетворить требованиям совместности геометрической и материальной частей. Мы привели этот факт, чтобы подчеркнуть, насколько важным оказался теоретический анализ законов сохранения еще в период построения ОТО.
Эйнштейн, интерпретируя нелокализуемость плотности энергии гравитационного поля, отстаивал точку зрения, что это не недостаток теории, а особое свойство такого поля. Для простых моделей были рассмотрены возможные способы «локализации» гравитационной энергии. Так, рассматривая островную (изолированную) систему, Эйнштейн предложил следующее: «Чтобы можно было говорить об энергии или импульсе системы, плотности энергии и импульса должны обращаться в нуль вне некоторой области B. Это будет только тогда, когда вне области B компоненты метрики постоянны, то есть когда рассматриваемая система как бы погружена в «галилеевское пространство», и мы пользуемся «галилеевскими координатами» для описания окружения системы». В данном случае «галилеевское пространство» играет роль пространства Минковского, относительно которого сохраняющиеся величины в СТО определяются однозначно. В СТО, однако, можно однозначно определить и плотности, а здесь только полные характеристики всей системы, поскольку «галилеевское пространство» определено только в окрестностях системы.
Локализация сохраняющихся величин в ОТО
Слабые гравитационные волны были представлены как метрические возмущения, распространяющиеся в плоском пространстве-времени. Это означает, что вводится некоторое «опорное» фиксированное пространство Минковского. Но его фактически нет в ОТО как теории с динамической метрикой! Но такова постановка задачи: изучение (1) слабых метрических возмущений (2) в плоском пространстве-времени. И (1), и (2) – это ограничения, определенные постановкой задачи, которые в данном случае вводятся везде, во всем физическом пространстве-времени. Эти ограничения позволяют рассматривать только линейные возмущения в пространстве Минковского. Такое исследование принципиально не отличается от исследования электродинамики в пространстве Минковского. У линейного гравитационного поля исключаются нефизические степени свободы, аналогично тому, как это делается в электродинамике.
А в итоге получается, что для системы слабых гравитационных волн (этой конкретной задачи) локальные сохраняющиеся величины (плотности энергии, импульса, и т. д.) определяются вполне однозначно.
Опорное, или фоновое, пространство-время не обязательно должно быть плоским, оно обычно определяется характером конкретных моделей или задач. Так, например, для реальных гравитационных волн естественно выбрать в качестве фона пространство-время какого-либо космологического решения. Конкретный выбор фона является одним из ограничений, которое позволяет корректно говорить о локализации. Гравитационные волны, в силу теории, должны переносить положительную энергию. Именно на этом основан метод детектирования, который заключается в том, что под их воздействием должны смещаться зеркала в интерферометрах. Кроме того, это уже, хотя и косвенно, подтверждено наблюдениями. Для некоторых двойных систем достоверно известно, что их компоненты сближаются. Это означает, что их отрицательная энергия связи по абсолютной величине становится больше, т. е. с гравитационными волнами происходит отток положительной энергии.
В отношении эйнштейновского примера с изолированной системой можно сказать, что также вводится некоторое «опорное» фиксированное пространство Минковского, но не везде, а в очень удаленной окрестности системы. В этом случае также удается локализовать сохраняющиеся величины, то есть определить глобальные (полные для всей системы) сохраняющиеся величины. Таким образом, можно определить энергию, импульс и т. д. всего, что «внутри», рассматривая энергию гравитационного поля вместе со всей материей.
Основываясь на этом принципе, можно определить энергию, скажем, черной дыры Шварцшильда. Удаляясь от центра, попадаем в почти плоскую область, где возмущения метрики очень слабые. Теперь их можно рассматривать как самостоятельное поле в пространстве Минковского. Характер убывания возмущений позволяет рассчитать полную энергию, которая заключена под сферой, определенной положением наблюдателя. В пределе, на бесконечности получим полную энергию всей системы. Для черной дыры Шварцшильда – это mc2, где m – параметр массы в решении.
В силу сложности определения сохраняющихся величин в ОТО, существует множество методов их построения, среди них встречаются ошибочные, противоречащие некоторым фундаментальным требованиям. Расчет полной энергии черной дыры является одним из тестов на удовлетворение этим требованиям.
Обсуждая решение Шварцшильда, мы отмечали, что это внешнее вакуумное решение, которое может быть в равной степени связано как с черной дырой, так и с обычной регулярной звездой. Тогда что получается, если в обоих случаях решение характеризуется одним и тем же параметром m, то обе системы будут иметь одну и ту же полную энергию mc2? Так и есть. Несмотря на принципиально различную внутреннюю структуру, и обычная звезда, и черная дыра будут иметь одинаковую энергию. Если в случае звезды можно получить эту же полную энергию интегрированием по всему объему без принципиальных трудностей, то в случае с черной дырой они неизбежно возникнут в силу нетривиальной геометрической структуры, связанной с наличием горизонта событий и сингулярности.
Таким образом, эйнштейновское «погружение в галилеевское пространство» и интегрирование по удаленной окрестности элегантно решает проблему определения глобальной энергии (и других сохраняющихся величин) для таких объектов, как черные дыры.
Для определения глобальных сохраняющихся величин удаленное фоновое пространство-время не обязательно должно быть плоским, оно также определяется характером конкретных моделей и задач. Будучи искривленным, оно может иметь симметрии, используя которые можно построить соответствующие сохраняющиеся величины.
