Александр Петров - Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор
Кроме того, в нерелятивистской механике законы сохранения для массы и энергии рассматривались как разные. Однако с построением СТО ситуация стала меняться. Само понятие энергии подверглось обобщению: оказалось, что полная энергия системы включает энергию покоя согласно известному соотношению Эйнштейна Е = mс2. Согласно этому же соотношению существует взаимное превращение между массой и энергией. То есть в релятивистскую энергию, собственно, включена масса, и имеет смысл лишь закон сохранения энергии, объединяющий оба понятия.
Понятие количества движения также получило развитие – в настоящее время эту величину называют импульсом. Поскольку оно определяется скоростью, то это векторная мера движения. Замена термина «количество движения» на «импульс» имеет смысл физического обобщения. Дело в том, что импульсом обладают не только массивные частицы вещества, но и безмассовые, такие как фотоны. Для фотона мы не можем написать произведение mv, поскольку у него нулевая масса покоя. Однако известно, что он переносит энергию, она и оказывается прямо связанной с импульсом, который играет роль количества движения. Ясно, что энергия, в отличие от импульса, – скалярная мера движения.
Фактически СТО строилась как теория в пространстве Минковского. А каковы свойства самого пространства Минковского? Это плоское пространство-время, оно обладает 10-ю геометрическими симметриями. Не произойдет никаких изменений в пространстве Минковского, если произвести смещения, соответствующие этим симметриям. Перечислим их: смещения вдоль каждой из осей – временной и трех пространственных; три независимых пространственных вращения; три независимых пространственно-временных (лоренцевых) вращения.
Сама СТО была построена как теория, все законы и следствия которой инвариантны относительно вращений Лоренца. Затем очень быстро было установлено, что СТО инвариантна относительно более полной группы движений Пуанкаре (всех 10 смещений в пространстве Минковского).
В чем формально (математически) выражается эта инвариантность, когда изучается материальная система? Движение и взаимодействие материи определяется соответствующими уравнениями движения и/или уравнениями поля. Оказывается, что эти уравнения при каждом из 10-ти перечисленных смещений не изменяются, остаются инвариантными.
Поэтому сама логика построения должна бы навести на мысль, что этой инвариантности должны соответствовать фундаментальные величины. Фактически в 1905–1906 годах все было готово для того, чтобы в СТО (в Пуанкаре-инвариантной теории), основываясь на симметриях пространства Минковского, представить общие правила построения 10-ти сохраняющихся величин. Но этого не произошло. Историки объясняют это тем, что творцы науки того времени были в эйфории от работы по переформулировке всей физики в релятивистскую. До законов сохранения руки просто не дошли.
Первым, кто представил такие правила, был немецкий математик и механик Густав Герглотц (1881–1953). Он вывел законы сохранения из универсальных соображений инвариантности относительно группы Пуанкаре в 1911 году, разрабатывая релятивистскую теорию сплошных сред. Однако поначалу сам не придал этому никакого особого значения. Лишь немного позже фундаментальный смысл этих результатов был осознан замечательным немецким математиком Феликсом Клейном (1849–1925), который его всячески пропагандировал. После чего симметрии пространства Минковского стали основой построения законов сохранения в любой релятивистской теории. В частности, на результаты Герглотца Клейн обратил внимание другого немецкого математика Фридриха Энгеля (1861–1941). Тот свел в единую форму группу смещений в механике Ньютона. Это так называемая группа Галилея – Ньютона, она объединяет смещения в пространстве Евклида и смещения по времени. А в 1916 году показал в общем виде, что все сохраняющиеся величины (энергия, импульс и момент импульса) в нерелятивистской физике могут быть построены из инвариантности относительно движений этой группы. Мы привели этот пример, чтобы подчеркнуть насколько бурным было развитие релятивистской физики. Обоснование и интерпретация законов сохранения в СТО было достигнуты раньше, чем в механике Ньютона!
На основе инвариантности относительно группы Пуанкаре была пересмотрена и иерархия сохраняющихся величин, которые были объединены в единые комплексы. Обсуждая СТО, мы уже установили, что в случае пробной массивной частицы единый смысл имеет 4-вектор энергии-импульса: энергия представляет его временную компоненту, а импульс – три пространственные компоненты. При этом обе эти меры, определяющие 4-вектор, являются составляющими более общей единой меры – релятивистского тензора энергии-импульса Tab (об этом подробнее см. Дополнение 2). Можно сказать, что 4-вектор энергии-импульса дополняется компонентами давления и внутренних натяжений, что в результате дает тензор энергии-импульса. Этот тензор можно определить и для твердых тел, и для набора материальных частиц, и для сплошной среды, и для любого поля, распределенного в пространстве.
Подведем некоторый итог. Предположим, что физическая система в СТО замкнута, т. е. не взаимодействует с внешним миром. Тогда смещению по временной оси соответствует закон сохранения энергии; смещениям вдоль трех пространственных осей соответствуют законы сохранения для каждой из компонент импульса; трем независимым пространственным вращениям соответствуют законы сохранения компонент углового момента. Наконец, трем независимым лоренцевым вращениям отвечает равномерное и прямолинейное движение центра инерции («центр энергии») всей системы, другими словами, выполняется обобщенный 1-й закон Ньютона, или обобщенный закон сохранения инерции. А если система не замкнута, и есть взаимодействие с другими системами? В этом случае те же симметрии дадут возможность рассчитать изменение величины той или иной физической характеристики (энергии, импульса, и т. д.).
Нелокализуемость сохраняющихся величин в ОТО
Энергия любит материю, но изменяет ей с пространством во времени.
Славомир ВрублевскийТеперь, располагая определенным представлением о сохраняющихся величинах для физических систем в пространстве Минковского, обратимся к ОТО. Прежде всего отметим принципиальную разницу в трактовке пространства-времени. В СТО пространство-время – это арена, на которой разворачиваются физические взаимодействия, это «жесткий каркас», по отношению к которому определяются сохраняющиеся величины, более того, симметрии «каркаса» однозначно связаны с ними. В ОТО ситуация сложнее: пространство-время играет двойственную роль. С одной стороны, оно остается ареной для физических взаимодействий материи, с другой стороны, само является динамическим объектом и участвует во всех взаимодействиях. То есть для того чтобы определить сохраняющиеся величины в ОТО, их нужно определять совместно для материи и гравитационного поля. Более того, пространство-время в ОТО искривляется и меняется со временем, поэтому нет возможности определить симметрии, подобные тем, что определены в пространстве Минковского. Это означает, что нельзя определить сохраняющиеся величины отдельно для материи без гравитационного поля. Этот факт является еще одним поводом задуматься над определением законов сохранения совместно для материи и гравитационного поля.
Роль пространства-времени, как «жесткого каркаса», в СТО проявляется еще и в том, что однозначно и без противоречий определяются плотности сохраняющихся величин. В этом случае говорят, что энергия и другие сохраняющиеся величины локализуются. В противоположность этому, в ОТО, где сохраняющиеся величины нужно определять совместно для материи и гравитационного поля, определение плотностей этих величин не является однозначным. С точки зрения основания гравитационной теории, эта проблема рассматривается как связанная с принципом эквивалентности. Действительно, в малой окрестности свободно падающий наблюдатель ощущает себя в пространстве Минковского. Для него нет ни гравитационного поля, ни его характеристик, представленных энергией, импульсом и т. д. Но если посмотреть со стороны (с точки зрения другого наблюдателя), то падение первого как раз обусловлено действием гравитационных сил, которые совершают работу, ускоряя его. В результате, и лифт, и все его содержимое приобретают энергию, импульс. А это означает, что гравитационное поле обладает теми же характеристиками. Пример с лифтом наглядный и простой. В общем случае ситуация интерпретируется как нелокализуемость не только энергии и импульса, но всех (десяти) сохраняющихся величин ОТО.
