Александр Петров - Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор
Я физик и имею право на сохранение энергии.
Хуго ШтейнхаусРазвитие представлений о законах сохранения
Идея сохранения появилась еще в Древней Греции в виде догадки о наличии неизменных субстанций в мире, где все меняется. Древние материалисты пришли к выводу, что материя как неуничтожима, так и нетворима, и является основой всего существующего мира. Одновременно, наблюдение изменений в природе приводит к представлению о вечном движении материи как важнейшем ее свойстве.
Эти выводы, скорее, философские. Однако были открыты и конкретные их проявления. Например, еще Архимеду было известно, что произведение силы, поднимающей груз, на длину рычага – величина постоянная. Значительно позднее, с развитием экспериментальной физики, была сформулирована в виде закона сохранения массы идея о неуничтожимости материи. Его независимо установили основоположник российской естественнонаучной школы Михаил Ломоносов (1711–1765) и французский химик Антуан Лавуазье (1743–1794), систематически применявший в химических исследованиях количественные методы.
Рис. 11.1. Маятник Галилея
Теперь обсудим простые и поучительные опыты Галилея. Исследуя падение тел по наклонной плоскости, он обнаружил, что скорость, которую имеет тело у основания наклонной плоскости, не зависит от угла ее наклона, следовательно, от длины пути, а зависит лишь от высоты, с которой падает тело. Это не могло не заинтересовать Галилея, и он продолжил исследовать проблему «наоборот». Для этого он придумал маятник, получивший его имя (рис 11.1). На плоской вертикальной доске, на нити подвешивался груз – это маятник. Если груз отвести в сторону, чтобы он был на высоте h по отношению к низшей точке и отпустить, то он, пройдя низшую точку, поднимался на ту же высоту с другой стороны.
Получается, что скорость в нижней точке тратится на то, чтобы снова подняться выше. А изменится ли эта высота, если изменить траекторию подъема? Для этого по вертикали, на пути нити, Галилей стал вбивать гвоздики на разном уровне. Тогда траектория подъема стала разной в разных случаях, как на рисунке. Однако высота груза осталась прежней – h.
Следующим исследователем, значительно продвинувшимся к открытию закона сохранения механической энергии, был нидерландский механик, физик, математик, астроном и изобретатель Христиан Гюйгенс (1629–1695). Он поставил задачу исследовать законы механического движения системы тел. Изучая колебания сложных маятников, он пришел к выводу, что если система тел приведена в движение силами тяготения, то их общий центр тяжести не может подняться выше того уровня, на котором он находился в начале движения. Заметьте – это обобщение результатов опыта Галилея!
Это вдохновило и других ученых. Лейбниц обратил внимание на то, что из законов свободного падения следует пропорциональность высоты, на которую поднимается колеблющееся тело, квадрату его скорости. Поскольку при колебании без трения высота, с которой падает тело, равна высоте поднятия, то, следовательно, сохраняется произведение mv2. В современной терминологии – это удвоенная кинетическая энергия. Лейбниц назвал это произведение «живой силой» и предложил идею, что Вселенная обладает сохраняющимся запасом «живых сил». Сохранение «живой силы» было установлено в опытах Гюйгенса с соударением шаров, где при ударе двух тел сумма произведений их масс на квадраты скоростей одинакова до и после удара.
Многие ученые уделяли внимание принципу сохранения живых сил. Из исследований упругого сжатия было ясно, что существуют состояния, которые способны отдавать живые силы, частично или полностью. Появилась уверенность, что должен быть переход живой силы в состояние упругой деформации. Однако до четкого представления о потенциальной энергии и строгой формулировки закона сохранения механической энергии со времен Лейбница пришлось ждать более 100 лет.
Мы не приводим фактов о замечательных прозрениях, когда стало ясно, что все явления в природе взаимосвязаны, и, скажем, механическая работа (а, следовательно, и энергия) может переходить в тепловую, химические явления связаны с электрическими и т. д. Мы ограничимся обсуждением механики.
Понятие потенциальной энергии в четкой форме появилось в 1847 году в книге великого немецкого физика Гельмгольца. Кинетическую энергию Гельмгольц называл по-прежнему живой силой, потенциальная энергия появилась под именем «количества сил напряжения». Здесь нужно отметить, что понятие работы (произведение силы на расстояние, на котором она действует) сложилось раньше понятия энергии. Закон сохранения энергии Гельмгольц представлял в двух формах.
Первая – обобщенная форма: количество затраченной работы равно количеству полученной энергии.
Вторая – частная – формулируется так: сумма кинетической и потенциальной энергии в замкнутой системе всегда остается постоянной.
Для измерения работы эталоном была работа поднятия груза определенной массы на определенную высоту: A = mgh. Чтобы подняться свободно на высоту h, тело должно обладать начальной скоростью v = (2gh)1/2. Такую же скорость приобретает тело, если с этой высоты упадет вниз, так происходит взаимопревращение энергии, причем mv2/2 = mgh. Таким образом, к середине XIX века были сформулированы законы сохранения массы и энергии. Они трактовались как независимые, и их смысл был в сохранении материи и движения.
Снова вернемся к временам Ньютона. Еще в своих «Началах» он ввел понятие количества движения, которое определяется как произведение массы тела на его скорость – mv. Развитие представлений о сохранении со временем этой величины, как это ни удивительно, шло независимо от представлений о живых силах. Количество движения связывалось со вторым законом Ньютона, где его изменение служило мерой действия силы. В то же самое время произведение массы на скорость рассматривалось как мера движения. Именно исходя из этих представлений, возникла идея о сохранения количества движения.
Первая формулировка принадлежит Декарту, она опубликована в его «Началах философии» в 1644 году. В его понимании закон, без сомнения, существует и его основа – теологическая: «Бог – первопричина движения, он постоянно сохраняет в мире одинаковое его количество». Декарт не дал математического выражения закона, в том смысле, что не написал соответствующих формул. Однако, благодаря ясности его определений, нужды в этом фактически нет: «Когда одна частица материи движется вдвое скорее другой, а эта последняя – вдвое по величине больше первой, то в меньшей столько же движения, сколько и в большей из частиц; и что насколько движение одной частицы замедляется, настолько же движение какой-либо иной возрастает».
Активнейшим оппонентом Декарту выступил Лейбниц. Он, увлеченный идеей живых сил, как мы уже знаем, считал, что мерой движения является не mv, а mv2, и что сохраняется только вторая, а не первая величина. Возникла путаница, которая долгое время оставалась в умах исследователей и мешала осознать соотношение законов сохранения для живых сил и количества движения.
Развитие динамики Ньютона, шаг за шагом, привело к пониманию, что сохраняются обе величины. Оказалось, что закон сохранения количества движения непосредственно связан со всеми законами механики Ньютона. Действительно, если нет внешних воздействий, то количество движения сохраняется (1-й закон); если есть определенное воздействие внешней силы, то определенным образом меняется и количество движения (2-й закон); для замкнутой системы взаимодействующих тел происходит обмен количеством движения, но поскольку взаимодействия осуществляются, следуя 3-му закону, то в результате общее количество движения сохраняется.
Законы сохранения в СТО
Как выводились законы сохранения и строились сохраняющиеся величины в дорелятивистской механике и электродинамике до появления СТО? Преобразованиями в уравнениях движения частиц, механических систем, уравнений поля выделялись специальные комплексы. Их интегрирование приводило к выражениям, которые не изменяются со временем. Это и были сохраняющиеся величины для системы: энергия, количество движения и угловой момент. Эта ситуация сохранялась до конца XIX – начала XX века. Было даже установлено, что количество движения и угловой момент соответствуют смещениям и вращениям плоского евклидова пространства – абсолютного пространства механики Ньютона. Именно эти «движения» являются симметриями пространства Евклида. Но как-то на этом особо не акцентировалось внимания, и этими симметриями не пользовались для построения сохраняющихся величин. Более того, долгое время оставалась в тени одна из главных симметрий – «смещение» по абсолютному времени, поэтому сохраняющаяся величина «энергия» была сама по себе.
