Александр Филиппов - Многоликий солитон
Между прочим, до начала XIX в. распространение звука в жидкостях считалось невозможным. Хладни придерживался противоположного мнения, но попыток измерить скорость звука в жидкостях не делал. Первое измерение было выполнено в год смерти Хладни швейцарскими учеными Жаном Колладоном и Жаном Штурмом, получившими значение v = 1435 м/с при температуре 8 0С.
Читатель легко найдет и скорость распространения поперечных волн в натянутой струне. В этом случае возвращающая сила пропорциональна силе натяжения струны F, и при малом изгибе и растяжении струны не зависит от ее упругости. Предполагая, что v = dFaρlЬ, где ρl — линейная плотность струны, покажите, что ; из опыта и из более полной теории следует, что d = 1. Это соотношение в равной степени применимо к металлической струне, нитке и рыболовной леске.
Опыты удобнее всего делать с леской. Изменяя ее натяжение, можно менять частоту основного тона, который можно отождествить с одной из нот, извлекаемых на фортепиано. Нота «ля» первой октавы обычно настраивается с помощью камертона на частоту = 440 Гц. Частоты , соответствующие другим нотам, определяются соотношением log(/) = (n/12)log2. Для «ля» во второй октаве n = 12 и частота равна 2. При ходе от на октаву ниже n = -12 и частота равна /2.
Определяя частоты с помощью фортепиано или другого музыкального инструмента, можно найти скорость распространения волны по формуле v = λ, так как длина волны основной моды для струны с закрепленными концами равна удвоенной длине струны. Пользуясь этой простой идеей, Хладни и определил на опыте скорости звука в газах и твердых телах, только частоты он определял не на фортепиано, а на монохорде. Хорда в переводе с древнегреческого — струна, и монохорд можно назвать «однострунником». Это просто струна на резонаторе, длину звучащей части которой можно менять. Монохорд, вероятно, изобрел Пифагор. Он же первым открыл простые соотношения между музыкальными интервалами.
Легко найти и скорость звука в газах. Аналог модуля упругости в этом случае — давление. Действительно, из закона Бойля—Мариотта pV = const следует, что V•Δp + p•ΔV = 0, т. е. Δp = -p(ΔV/V). Подставляя в формулу для скорости звука в жидкости вместо модуля объемной упругости давление, находим . Эту формулу получил Ньютон, который пользовался описанной в начале этой главы дискретной моделью. Рассуждения Ньютона были весьма сложны и стали понятны лишь после работ Бернулли, Эйлера и Лагранжа. Лагранж писал: «эта теория одними почиталась за непонятную, другие находят ее противоречивой, в сущности же, если она и обладает каким недостатком, то тем, что она слишком частная, но вместе с тем она содержит зачаток истинной теории, открытой лишь в последнее время при помощи анализа».
Кроме того, величина v, полученная Ньютоном, сильно расходилась с наблюдаемым значением *). Это было известно Ньютону, но его объяснение этого расхождения нельзя признать ни понятным, ни убедительным. Эта трудность только усилилась после опытов Хладни, который выяснил, что формула Ньютона сильно расходится с опытом и для других газов. Bычислим по формуле Ньютона скорость v для воздуха. Так как р/ρ = гT, где г — газовая постоянная, а Т — температура, то для воздуха при Т = 273 К = 0 0С получаем v 280 м/с вместо 332 м/с.
*) Первое точное измерение скорости звука в воздухе было сделано в коллективной работе членов Парижской академии наук в 1738 г. Измерялось время, за которое звук пушечного выстрела проходит 30 км. Чтобы исключить влияние ветра, выстрелы производились одновременно из двух пушек, удаленных друг от друга на 30 км.
Правильное объяснение этому расхождению нашел Лаплас, заметивший, что при прохождении звуковой волны температура воздуха в местах сгущения и разрежения различна, и законом Бойля—Мариотта пользоваться нельзя. Вместо этого Лаплас предположил, что изменения состояния газа в звуковой волне происходят столь быстро, что тепло не успевает передаваться от нагревшихся сжатых участков к охладившимся разреженным, т. е. процесс происходит адиабатически **). Правильность его объяснения оспаривалась еще лет тридцать. Тем не менее общая теория волновых процессов уже в начале века твердо стояла на ногах и быстро завоевывала новые области для своих приложений.
**) См. книгу: Смородинский Я. А. Температура. — 2-e изд.— М.: Наука, 1987. — Библиотечка «Квант», вып. 12.
Особенно важно это было для волновой теории света. В работах Френеля волновая теория была настолько основательно разработана, что успешно объясняла не только явления, известные до ее победы, но и подсказывала новые. Единственная неудача постигла волновую теорию в объяснении явлений дисперсии света. Как и в теории звука, в оптике Френеля скорость волны могла изменяться в разных средах, но зависимости скорости от длины волны в одной среде не получалось. Пуассон даже после описанных в ч. 1 опытов сомневался в правильности теории Френеля. Его главное возражение как раз было связано с проблемой дисперсии. В ответе Пуассону Френель указал на молекулярную структуру вещества как на возможный источник дисперсии. К сожалению, ранняя смерть не позволила Френелю развить эту идею, но ее подхватил Коши.
Дисперсия волн в цепочке атомов
Связь дисперсии с атомной структурой проще всего понять в нашей пружинной модели. Хотя при этом речь идет о звуковых, а не о световых волнах, суть дела одна и та же. Эту мысль и развил Коши. Найдем вслед за ним дисперсионную формулу для волн в цепочке «атомов», соединенных пружинками. Вспомнив то, что мы знаем о связи дискретной цепочки со сплошным стержнем, попробуем сразу написать решение всех уравнений (5.8) в виде бегущей волны ():
Если, как это делалось раньше, заменить nα на х и yn(t) на yn(t, х), то получится знакомая синусоидальная бегущая волна. Ее скорость v определяется из условия постоянства фазы (ωt - 2πх/λ). Поэтому скорость v называют фазовой скоростью. Если двигаться со скоростью v, то волна будет казаться неподвижной.
Так как = -ω2yn, то из (5.8) следует простое уравнение
С помощью известной формулы для преобразования суммы синусов двух углов в произведение легко найти, что для синусоидальной волны yn+1 + yn-1 = .
Подставляя это в уравнение (5.15), легко увидеть, что оно выполнено сразу для всех n, если
Это и есть дисперсионная формула Коши. Если длина волны много больше расстояния между атомами, т. е. , то sin (πα/λ) πα/λ и ω 2πω0(α/λ). При этом дисперсия исчезает, так как скорость не зависит от λ: v (λ) = ωλ/2π αω0 = = v. Этот результат мы уже получили раньше при переходе к «непрерывному» пределу (см. формулу (5.14)). Если длина волны сравнима с расстоянием между атомами, то скорость зависит от λ:
С уменьшением λ она уменьшается. Заметим, что нет смысла рассматривать длины волн, меньшие 2α. Понять это легко, если вспомнить, что наблюдать мы можем лишь движения частиц, а не мысленно проведенные через их отклонения синусоиды (см. рис. 5.5). С учетом этого ограничения скорость убывает при уменьшении длины волны от значения v до значения (2v/π).
Дисперсионную формулу (5.16) можно получить и из найденного нами раньше выражения для частот стоячих волн в цепочке конечной длины l (см. (5.9)). Для этого заметим, что длина волны в моде с номером М равна λМ = 2(N + 1)α/М = 2l/М, где М = 1, ..., N. Дисперсии не было бы, если бы соответствующие частоты ωМ были пропорциональны М. Как мы знаем, такой пропорциональности для больших М нет. Отсюда и возникает зависимость скорости v от λ при малых длинах волн и больших частотах. Выражая правую часть формулы (5.9) через λМ, получаем соотношение Коши (5.16) между ωМ и λМ.
