Александр Филиппов - Многоликий солитон
В заключение этой короткой экскурсии в оптику надо отметить, что точное описание дисперсии в действительности требует применения квантовой теории. Это было сделано в первой половине нашего века, но основная идея объяснения этого любопытного и важного явления родилась, как мы видели, очень давно. Обо всей этой истории можно было бы написать увлекательную повесть, но нас давно ждут солитоны.
*) Двумя годами ранее подобную модель рассмотрел Максвелл, который не опубликовал свои результаты.
Дисперсия волн на воде
Вода примером служит нам, примером...
В. МюллерДисперсия играет огромную роль в жизни солитонов. Поэтому нам нужно познакомиться и с другими ее видами. Особенно ярко проявляются зависимость скорости распространения волн от их длины для волн на поверхности воды. Это было известно уже Ньютону. Теорема 37 третьей книги «Начал» гласит: «Скорость волн пропорциональна корню квадратному из длины их». После этого Ньютон в задаче 10 вычисляет скорость волны, сопоставляя вертикальным колебаниям частиц воды качания маятника с длиной l = ¼λ. За время одного качания Т волна сдвигается на расстояние λ, откуда v = (λ/Т) = . Хотя это лишь приближенное соотношение, приближение получилось довольно неплохое. Правильное выражение с учетом кругового движения частиц воды есть v = . Сразу заметим, что с такой скоростью распространяются волны лишь на «глубокой воде», когда глубина h много больше длины волны. В противоположном предельном случае «мелкой воды», когда h λ, скорость волны зависит лишь от глубины: v = .
С точностью до числовых множителей эти формулы можно получить из соображений размерности и простых физических представлений о природе распространения волны. Скорость v может зависеть от g, λ, h, а также от плотности жидкости ρ и от амплитуды волны. Так как размерность массы содержится только в ρ, то сразу ясно, что скорость не зависит от плотности. (Это можно также понять, просто вспомнив, что возвращающая сила, действующая на частичку воды, пропорциональна ее массе. В уравнении движения Ньютона эта масса сокращается, как и в случае маятника.)
Простейшие наблюдения указывают на то, что скорость не зависит от амплитуды. Положив поэтому v = dgαλbhc и сравнивая размерности левой и правой частей, находим
v = d (h/λ)c.
Здесь показатель с и число d соображениями размерности не определяются. Однако мы знаем, что при распространении колебаний в движение вовлекаются лишь слои воды, расположенные на глубине, меньшей длины волны (амплитуду считаем малой). Это значит, что при достаточно большом расстоянии h от поверхности до дна величина h не играет никакой роли, т. е. надо положить с = 0. В противоположном предельном случае, когда h λ, скорость не должна зависеть от длины волны λ, так как размеры траекторий совершающих колебания частиц воды не могут превышать h (сравните с длинной волной в цепочке атомов). Мы заключаем, что для мелкой воды надо взять с = ½.
В точной теории можно получить формулу, пригодную при любом соотношении между h и λ. Из нее следует, что при возрастании длины волны скорость сначала растет, но при λ 2πh этот рост замедляется и скорость приближается к максимальному, или «критическому» значению vк = . Полезно познакомиться с приближенными выражениями для скорости в пределе коротких и длинных волн
Зависимость скорости от длины волны для длинных волн на мелкой воде удивительно напоминает соотношение между v и λ для длинных волн в решетке атомов. Действительно, воспользовавшись тем, что при малых α можно приближенно положить sin α α - αЗ/6, легко получить приближение для соотношения (5.17) при λ α:
Отсюда ясно, что дисперсия волн на мелкой воде такая же, как для волн в решетке атомов, причем, глубина h играет роль расстояния между атомами.
Термин «мелкая вода» весьма условен. Для длинных волн, возникающих при землетрясениях в океане, средняя глубина океана (около 5 км) уже оказывается достаточно малой, можно сказать, что для них океан мелкий. Такие волны, известные под названием «цунами», можно считать весьма типичными и чрезвычайно опасными солитонами. Мы познакомимся с ними в следующей части, а сейчас только отметим, что диапазон реально наблюдаемых скоростей волн очень велик. В океане при длине волны 5 км это v = 800 км/ч. В кювете для обработки фотографий при глубине 0,5 см — примерно 20 см/с. Такую скорость легко измерить, достаточно резко толкнуть кювету, чтобы по ней побежало микроцунами. Легко создать и условия, при которых нужно пользоваться «глубоководной» формулой для скорости. Любознательный читатель может проделать множество несложных опытов, запасясь секундомером и терпением. При проверке «глубоководной» формулы необходимо учесть, что при малых (меньше 5 см) длинах волн начинают сказываться силы поверхностного натяжения, которыми мы до сих пор пренебрегали.
Чтобы понять роль поверхностного натяжения, предположим, что влиянием силы тяжести можно пренебречь. Тогда возвращающая сила определяется только поверхностным натяжением. Какой будет скорость таких волн? Обратимся к испытанному средству — размерностям. Поверхностное натяжение определяют энергией, которую нужно затратить для увеличения площади поверхности на единицу. Эту величину обозначают буквой Т (от англ. tension — натяжение). Для чистой воды Т 0,072 Дж/м2. Кроме величины Т длина волны может зависеть от плотности ρ и от длины волны λ. Амплитуду будем считать столь малой, а глубину столь большой, что зависимостью скорости от этих величин можно пренебречь. Действуя по обычной схеме, находим, что v2 = 2πТ/ρλ. Коэффициент 2π размерностями, конечно, не определяется, мы его взяли из точной теории, разработанной Кельвином (1871 г.). Волны поверхностного натяжения, или капиллярные волны (напомним, что натяжение вызывает подъем жидкостей по капиллярам), бегут быстрее при меньшей длине волны. Иными словами, если воспользоваться оптической терминологией, их дисперсия аномальна.
Наличие поверхностного натяжения приводит, как показал Кельвин, к очень интересному следствию — волны на глубокой воде не могут распространяться с очень малой скоростью, иными словами, существует нижняя граница для v (λ). Это можно понять с помощью довольно простых рассуждений. Легко подметить, что квадрат скорости волны пропорционален возвращающей силе (коэффициенту упругости k для пружин, натяжению F для струны и т. д.).
Если на частичку воды действуют одновременно две возвращающие силы — тяжести и поверхностного натяжения, то надо просто сложить их.
При этом скорость волны с учетом обеих сил определяется выражением
График зависимости v от λ изображен на рис. 5.8. Скорость v(λ) минимальна, когда сила тяжести уравновешивается поверхностным натяжением, т. е. когда оба слагаемых в написанном выражении для v2 равны. Из этого условия находим λмин = 2π для чистой воды λмин 17 мм. При λ = λмин скорость равна vмин = 23 см/с. Формулу v2(λ) можно переписать в более приятной для глаза и удобной для вычислений форме
Капиллярные волны в виде мелкой ряби на поверхности воды хорошо всем знакомы. Их можно наблюдать в тазу, наполненном водой, пуская с небольшой высоты капли воды из пипетки. При увеличении высоты длина волны возникающих волн увеличивается. Можно убедиться, что короткие волны чисто капиллярные, а длинные — нет. Для этого добавьте в воду немного мыла. Поверхностное натяжение уменьшится, а с ним уменьшится и скорость коротких волн. Скорость же длинных волн останется прежней.
С какой скоростью бежит стая волн
В опытах наблюдаются, конечно, не бесконечные синусоидальные волны, а группы или, как сказал бы Рассел, стайки волн. Первые систематические наблюдения групп волн и были сделаны Pacceлом. Он заметил, что скорость перемещения стайки в целом меньше, чем скорость отдельных волн. При наблюдении кажется, что волны продвигаются сквозь группу, как бы исчезая на передней ее границе. Это явление объяснил в 1876 г. Стокс, который и ввел понятие групповой скорости *). Год спустя к этой проблеме вернулся Рэлей. Он нашел, как групповая скорость зависит от дисперсии, и получил формулу, которую мы сейчас выведем.
