Александр Филиппов - Многоликий солитон
Если положить f (х) = sin (2πх/λ), то получим синусоидальную бегущую волну
Записывая эту волну в более привычном виде
находим обычное соотношение между частотой и длиной волны: . Общее решение (5.10) описывает и движение волнового импульса, изображенного на рис. 5.3. Описывает оно и стоячие волны. Например, если взять
f (х) = g (х) = ½ sin (2πх/λ),
то легко найти, что
у (t, х) = sin (2πх/λ) cos (2πvt).
В общем случае, если заданы начальные значения отклонений и скоростей всех точек струны, т. е. значения у и при t = 0 и всех значениях х, то можно найти вид функций f и g при всех значениях аргументов и тем самым определить все дальнейшее движение струны. Точно так же по начальным отклонениям и скоростям двух грузиков определялись неизвестные параметры А1, А2, t1, t2 в формуле (5.6); только теперь вместо неизвестных параметров определяются неизвестные функции f и g.
Мы еще не раз встретимся с конкретными применениями решения Д'Аламбера, а сейчас лишь отметим, что именно оно и вынудило Эйлера и Лагранжа отказаться от принципа суперпозиции Даниила Бернулли. Действительно, согласно этому принципу общее движение струны можно было бы представить как сумму (суперпозицию) гармонических синусоидальных движений, а это означало бы, что произвольную функцию можно представить в виде суммы тригонометрических функций. Такая возможность казалась Эйлеру и Лагранжу совершенно невероятной. Поэтому они придерживались мнения, что принцип суперпозиции хорош для систем из конечного числа материальных точек, но неприменим к таким «сплошным» объектам, как струна.
Разрешить многолетние споры вокруг этой проблемы сумел лишь Фурье в 1807 г., который показал, что произвольную функцию, определенную на конечном отрезке, действительно можно представить в виде бесконечной суммы тригонометрических функций. Это обобщение разложения на моды носит название ряда Фурье. Любопытно, что при доказательстве своей фундаментальной теоремы Фурье в наибольшей степени опирался на исследования Эйлера и Лагранжа. Отрицание Лагранжем принципа суперпозиции кажется тем более удивительным, что именно он первым ясно установил связь между колебаниями цепочки частиц и движениями струны.
Пора, видимо, написать это уравнение *). До сих пор оно было чем-то вроде таинственного персонажа в пьесе, которого все боятся, но никто не видел, и можно подумать, что это уравнение окажется очень сложным. На самом деле несложно догадаться, что уравнение должно быть очень простым, если у него так просто выглядит общее решение. В чем же состоит необычайная простота решения Д'Аламбера? Она заключается в том, что решение выражено через произвольные функции f и g, но каждая из них реально зависит не от координаты и времени, а от простейшей их линейной комбинации. Мы можем просто нарисовать графики функций f(x) и g(x) и двигать их равномерно в противоположных направлениях оси х. Сумма таких функций и будет в каждый момент времени изображать решение Д'Аламбера.
*) для понимания дальнейшего знать это уравнение полезно, но не обязательно. Вполне достаточно освоиться с бегущими волнами Д'Аламбера (5.10).
Это легко описать математически. Сначала найдем уравнение для волны, бегущей направо. Вспоминая определение производной получаем
Выбирая Δx = -vΔt, находим, что . Точно так же можно убедиться, что . Эти уравнения описывают волны, которые могут распространяться лишь в одну сторону. Такие уравнения полезны, если мы хотим описать распространение волны горения или нервного импульса. Для того чтобы найти уравнение, описывающее волны, бегущие в двух направлениях, проще всего поступить так. Заметим, что f и f' также зависят только от х - vt, и поэтому обе функции удовлетворяют тому же уравнению, что и f. Исключив смешанную производную f', легко найти, что . Точно так же убеждаемся, что . Так как операция дифференцирования линейна, то отсюда следует, что у = f + g удовлетворяет уравнению
Это и есть волновое уравнение Д'Аламбера. Мы получили его не из физической модели, а просто показали, что сумма любых двух функций f (х - vt) и g (x + vt) удовлетворяет этому уравнению. Ссылаясь на авторитет Д'Аламбера, мы утверждаем и обратное: всякую функцию у (t, х), производные которой по времени и координате удовлетворяют соотношению (5.11), можно представить как сумму двух таких функций.
Это простое уравнение и его обобщения на случай функций, зависящих от нескольких координат, играют такую же роль в физике непрерывных систем, как уравнение движения простого линейного маятника в механике материальной точки (в новых обозначениях оно записывается в виде ). Удивительно, что переход от одной точки к такому бесконечно более сложному объекту, как струна, «состоящая» из бесконечного числа точек, привел к столь простой теории. Удивительно также необычайное число приложений волнового уравнения — от волн в «океанах воды, воздуха и эфира», как сказал бы Рассел, — до волн, описывающих элементарные частицы.
В наше время волновое уравнение стало настолько привычным, что его эффективности никто уже не удивляется. Однако если попытаться мысленно охватить все, что было сделано с помощью этого уравнения, вообразить, какое богатство явлений природы скрывается за столь простой формулой, то эпитеты «удивительное» или «необычайное» не покажутся не уместными. Один выдающийся современный физик как-то написал популярную статью «О непостижимой эффективности математики в естественных науках». В эффективности волнового уравнения, конечно, есть что-то непостижимое, что бы ни говорили люди, которые умеют объяснить все.
О дискретном и непрерывном
...Между отдельными существующими вещами всегда
находятся другие, а между ними опять другие. И, та-
ким образом, сущее беспредельно.
Зенон из Элеи, V в. до н. э.Вернемся, однако, к «суровой прозе», воплощенной в уравнении (5.8). Оно связано не с близкой музам струной, а с прозаическими «грузиками на пружинках», да и выглядит куда менее элегантно, чем волновое уравнение. Тем не менее эти уравнения тесно связаны друг с другом. Это не удивительно, если наша (т. е. ньютонова) «грузопружинная» модель может дать разумное приближенное описание волн в сплошных средах. Первым это установил в 1754 г. все тот же неутомимый Лагранж, но окончательной ясности добился лишь Коши (1830 г.).
Он показал, каким образом можно найти движение струны по начальным значениям отклонений и скоростей точек струны (в математике эта задача и называется задачей Коши). Он также связал решения волнового уравнения, полученные методами Д'Аламбера и Фурье, доказав полную справедливость принципа суперпозиции, и даже попытался объяснить дисперсию света в веществе, считая, что свет возбуждает упругие волны с очень высокой частотой. Коши очень ясно показал, что при длинах волн, много больших расстояний между частицами в цепочке, скорость распространения волн в цепочке не зависит от длины волны, т. е. нет дисперсии. Для коротких же волн скорость зависит от длины волны и может заметно изменяться. Это полностью справедливо для упругих волн, но дисперсию световых волн объясняет лишь качественно. Более точную модель дисперсии света нашел, как уже упоминалось, Кельвин.
Понимание связи между ньютоновской дискретной средой (от лат. discгetus — прерывистый, разделенный) и эйлеровой непрерывной средой очень важно, так как в разных случаях удобно переходить от дискретного языка к непрерывному и обратно.
Например, если изучаются упругие волны в кристаллах, то обычно можно забыть об их атомной структуре и считать кристалл просто непрерывной упругой средой. Атомная структура скажется на том, что упругие свойства кристалла будут разными в разных направлениях. Мы, однако, пойдем намеченным путем, так как у нас есть надежные уравнения (5.8), описывающие движения каждой точки дискретной системы.
