Александр Филиппов - Многоликий солитон
*) Ниже мы увидим, что синусоидальную стоячую волну можно представить в виде суммы двух одинаковых волн, бегущих в противоположных направлениях. Длина стоячей волны, по определению, совпадает с длиной этих бегущих волн.
Стоячие волны разных типов, в которых на всей длине ленты укладывается разное число N полуволн, называются нормальными модами колебаний (или просто модами; это слово происходит от латинского modus, т. е. образ, способ). Моды с малыми значениями N называются низшими, а с большими — высшими. Моду с N = 1 естественно называть основной, она возбуждается легче всего. При произвольном начальном возбуждении нашей системы возбуждаются разные моды, однако высшие моды не только труднее возбуждаются, но и быстрее затухают из-за трения. Потому-то их и труднее наблюдать.
Понять, что такое моды и как они себя ведут, проще всего на модели одномерной цепочки конечной длины с закрепленными концами. Сначала посмотрим, как колеблется простейшая цепочка из двух атомов. Пусть их равновесные положения равны x01 = α и x02 = 2α, а крайние пружинки закреплены в точках x00 = 0 и x03 = 3α (см. рис. 5.1). Легко составить уравнения движения атомов.
Прежде чем это сделать, введем одно небольшое новшество в обозначениях. До сих пор нам приходилось иметь дело лишь с производными по времени, и мы их обозначали штрихом. При изучении колебаний в распределенных системах встречаются не только производные по времени, с помощью которых записываются скорости и ускорения отдельных частичек, но и производные по координате. Они характеризуют изменение отклонения при переходе от одной частицы к другой в один и тот же момент времени. Поэтому условимся обозначать производную по времени не штрихом, а точкой, а штрих сохраним для производной по координате. Теперь мы будем обозначать скорость n-гo грузика как , а его ускорение — как .
Уравнения движения грузиков можно тогда написать в виде
Действительно, сила, с которой левая пружина тянет первый грузик, равна произведению модуля упругости k на удлинение пружины y1, и при y1 0 эта сила направлена в отрицательном направлении оси х. Так получается член ky1 *). Удлинение правой пружины равно (y2 - y1), и она тянет грузик с силой k(y2 - y1). Это дает второй член в правой части первого уравнения. Точно так же находим силу, действующую на второй грузик.
*) Предполагается, что упругие свойства пружины соответствуют закону Гука. Нелинейность зависимости силы отклонения вводится с помощью других, дополнительных источников силы.
На первый взгляд может показаться, что решить эти уравнения очень сложно. Однако они линейны, а это значит, что достаточно найти лишь некоторый запас решений. Их линейные комбинации, возможно, и дадут самое общее решение.
Для начала попробуем получить хоть какие-нибудь решения. В этом нам поможет физическая интуиция. Действительно, вслед за Ньютоном мы представляем себе простейшую бегущую волну как процесс распространения гармонического колебания от одной частицы к другой. Тогда стоячая волна — это просто установившиеся колебания всех частичек с разными амплитудами. Сделаем простейшее предположение: допустим, что все частицы колеблются гармонически и притом с одинаковой частотой ω, и посмотрим, что отсюда следует.
Для гармонических колебаний ускорение пропорционально отклонению, т. е. = -ω2y1 и = -ω2y2. Подставляя это в уравнения (5.1), получаем простую линейную систему уравнений для y1 и y2:
Здесь ω02 = k/m, а ω — не определенная пока частота наших гипотетических колебаний.
Ясно, что у этой системы уравнений относительно неизвестных y1 и y2 есть неинтересное решение y1 = y2 = 0. Пусть y1 0. Тогда, выражения y2 через y1 из первого уравнения и подставляя полученное выражение во второе уравнение, найдем, что должно выполняться условие
Так как y1 0, то выражение в квадратных скобках должно быть равно нулю *). Решая квадратное уравнение для ω2, определяем два возможных значения частоты
*) Если хотя бы в один момент времени y1 0, то множитель в квадратных скобках, не зависящий от времени, должен обращаться в нуль.
Если ω = ω1, то из уравнений (5.2) следует, что y2 = y1. Если ω = ω2, то y2 = -y1. Вспомним теперь, что y1 и y2 подчиняются уравнениям = -ω2yn, которые определяют их гармоническую зависимость от времени. При ω = ω1 = ω0 можно поэтому записать решение в виде
y1 = y2 = А1 cos [ω1 (t - t1)], (5.5а)
а при ω = ω2 = — в виде
y1 = -y2 = А2 cos [ω2 (t - t2)]. (5.5б)
Здесь A1 и А2 — произвольные амплитуды, а t1 и t2 — произвольные значения времени, определяющие фазу колебаний.
Эти два решения и дают две возможные моды колебаний нашей простейшей системы (рис. 5.4).
Они соответствуют двум нашим модам колебаний резинки, изображенным на рисунке штриховыми линиями. Конечно, это соответствие несколько условно, но, согласитесь, от карикатуры, сделанной двумя точками, нельзя требовать большего! Теперь можно снова воспользоваться линейностью уравнений (5.1) и написать решение в виде суммы решений (5.5а) и (5.5б):
Это движение уже не сводится к простому гармоническому колебанию каждой из частиц. В общем случае, т. е. при произвольных значениях А1, А2, t1, t2, движение системы не будет даже периодическим.
Упражнение: рассмотрите простой случай, когда А1 = А2 = 1, t1 = t2 = 0, и покажите, что из-за несоизмеримости частот ω1 и ω2 не существует такого значения Т, при котором y1(Т) = y1(0), y2(Т) = y2(0). Это и означает, что такое движение не может быть периодическим.
Ясно, что формулы (5.6) дают самое общее движение. Начальное состояние определяется координатами и скоростями частиц, т. е. значениями y1(0), y2(0), . Формулы (5.6) и их производные по времени позволяют найти неизвестные константы А1, А2, t1, t2 через начальные координаты и скорости.
Замечательно, что нам удалось не только найти самое общее движение, но и разложить его на сумму самых простых из известных нам движений.
Конечно, в такой простой задаче то же самое можно было бы сделать и более простым способом. Например, если сложить и вычесть уравнения (5.1), то легко получить два независимых уравнения для (y1 + y2) и (y1 - y2), которые сразу решаются и приводят к формулам (5.6).
Однако наш чуть более длинный способ решения имеет преимущество — он легко обобщается на случай цепочки с любым числом частиц.
В качестве упражнения найдите частоты трех мод колебаний цепочки, состоящей из трех частиц. Для частот должен получиться результат: . Сами моды выглядят, как показано на рис. 5.5. Точный смысл этого рисунка (как и рис. 5.4) состоит в том, что моду с номером М можно представить в виде
При заданном М = 1, 2, 3 индекс n пробегает три значения: n = 1, 2, 3, т. е. задает отклонение n-гo грузика в М-й моде. В случае двух частиц отклонения для двух мод можно написать в аналогичном виде
где М = 1, 2 и n = 1, 2.
