Александр Филиппов - Многоликий солитон
Наконец, последнее замечание. Для описания движений маятников было использовано некоторое количество математики. Необходимо ли это? Если бы нас интересовали лишь движения реальных маятников, можно было бы обойтись законом сохранения энергии, простыми геометрическими соображениями и здравым смыслом, почерпнутым из простых наблюдений. Для понимания наиболее интересных асимптотических движений этого, однако, мало, и знание математического языка хотя бы в объеме этой главы реально необходимо. О мере, в какой оно необходимо, хорошо сказал Л. И. Мандельштам в «Лекциях по колебаниям». Изложив «без всякой математики» простую картину описания колебаний грузика в желобе на языке сохранения энергии, он продолжает: «В такой простой картине все следует из наглядности. Зачем же мы проделали в прошлый раз ряд математических выводов? Дело в том, что «житейские» разговоры, в сущности, грешат в одном месте. Пусть кинетическая энергия грузика меньше максимальной потенциальной. Мы знаем, что в таком случае грузик должен остановиться. Но уверены ли мы, что он дойдет до точки остановки за конечное время? Ведь только при этом условии можно говорить о периодическом движении с конечным периодом. А что будет в случае лимитационного движения *)? Может быть, и в этом случае частица доходит до крайнего положения за конечное время? Здесь наглядные рассуждения ничего не дают, а необходимо математическое исследование. Без него вы не получите серьезного ответа. Начинающему часто кажется: к чему вся эта математика? Ему кажется, что «и так все ясно». Но в действительности какой-нибудь пункт при этом может остаться неясным. Иметь меру требуемой математической строгости — самое трудное для физика. Правильнее будет сказать так: ему необходимо уметь определять эту меру». Будем надеяться, что нам это удалось, и попробуем в том же духе подойти к изучению волн.
*) Это то же самое, что движение по сепаратрисе (см. (4.9)).
Глава 5
ОТ МАЯТНИКОВ — К ВОЛНАМ
И СОЛИТОНАМ
Певучесть есть в морских волнах
Гармония в стихийных спорах.
Ф. ТютчевНаглядный образ волн на поверхности воды всем хорошо известен, однако эти волны представляют собой очень сложное явление, и для первого знакомства лучше найти хорошую «карикатуру». Именно так поступил Ньютон, предложивший простую модель распространения звуковой волны. Основная идея Ньютона сводилась к тому, что при распространении волны каждая частица среды колеблется подобно маятнику и движение каждой частицы влияет на движение всех окружающих ее частиц (ближайших соседей).
Дальнейшее упрощение состоит в том, что частицы, которые могут двигаться и одновременно деформироваться, Ньютон заменяет массивными грузиками, соединенными упругими пружинками, лишенными массы. Тогда кинетическая энергия частицы среды сосредоточена на грузиках, а потенциальная энергия упругой деформации частицы запасается в пружинах. (Рассуждения Ньютона здесь, конечно, модернизированы, но ход его мыслей передается достаточно точно.) Даже после этих серьезных упрощений модель реальной трехмерной среды еще слишком сложна. Следующий шаг приводит к задаче, которая решается точно.
Волны в цепочке связанных частиц
Рассмотрим цепочку одинаковых частиц с массой m, соединенных упругими пружинками и движущихся по прямой. Физики называют эту систему моделью одномерного кристалла. Условимся поэтому называть частицы «атомами». Кавычки напоминают о том, что эти «атомы» пока не имеют никакого отношения к реальным физическим атомам. В дальнейшем мы их опускаем.
Пусть длина каждой пружинки в недеформированном состоянии равна α. Тогда покоящиеся атомы, перенумерованные, как указано на рис. 5.1, будут располагаться в точках с координатами nα, т. е. равновесное положение n-гo атома определяется координатой x0n = nα. Допустим теперь, что атомы отклонены от равновесного положения, так что координата n-гo атома равна хn (верхнее положение). Обозначим отклонение атома от равновесного положения буквой yn = хn - х0n = хn - nα и отложим отрезки yn над соответствующими точками x0n = nα.
Соединив их плавной кривой, получим график, изображающий отклонения атомов от положений равновесия.
Плавная кривая получится, конечно, не всегда. Если отклонения каких-нибудь соседних атомов отличаются достаточно сильно, то у кривой будут резкие изломы. Мы поэтому предположим, что наклон графика отклонений очень медленно меняется, Т. е. разность двух последовательных углов αn по модулю много меньше самих углов.
При этом получится плавная кривая, мало изменяющаяся на расстоянии α, и наша модель будет достаточно точно воспроизводить смещения частицы в непрерывной (сплошной) среде. Другими словами, если мы хотим на модели воспроизвести распространение волны в сплошной среде (упругая волна в стержне, звуковая волна в органной трубе, волна на скрипичной струне и т. д.), нужно брать частички малыми и располагать их на малых расстояниях друг от друга. Сверх этого, длина волны λ должна быть много больше расстояния между атомами.
Картину распространения волн в такой цепочке можно изучить на очень простом устройстве, для изготовления которого нужна хорошая и достаточно длинная плоская резиновая лента и большие скрепки (см. рис. 5.2). Разумеется, эта система гораздо сложнее, чем идеальная одномерная цепочка, и к тому же очень несовершенна.
Главный ее недостаток — большие потери на трение в резине. Достоинство ее — небольшая скорость распространения волн. Это позволяет наблюдать бегущие по цепочке волны невооруженным глазом. Скорость распространения возбуждений можно изменять, утяжеляя скрепки. Интуитивно ясно, что с увеличением массы скрепок эта скорость должна уменьшаться.
Если скрепки закреплены на ленте в их центрах тяжести, так что сила тяжести не создает дополнительного вращательного момента, действующего на скрепки, то эта система вполне аналогична линейной цепочке. При этом угол φn аналогичен отклонению yn, а роль массы грузика играет момент инерции скрепки.
Вместо возвращающей упругой силы нужно рассматривать момент упругой силы, возникающий при скручивании резинки. Короче, аналогия здесь такая же, как аналогия колебаний грузика на пружинке и крутильных колебаний.
Еще одно существенное отличие нашей грубой модели от идеальной бесконечной цепочки связано с отражением волн от границ. Это происходит примерно так, как указано на рис. 5.3, где изображены графики отклонений грузиков или скрепок в последовательные моменты времени. Горбику соответствует смещение грузиков в положительном направлении оси х, впадине — в отрицательном. Когда горбик подходит к стенке, крайняя, закрепленная пружина начинает тянуть крайний грузик влево, он тянет соседние грузики, и в результате направо побежит впадина.
Если вместо продольных движений грузиков изучать их поперечные движения (в направлении оси у в плоскости ху), то графики рис. 5.3 изображают форму поперечного импульса в цепочке. Наблюдать такие импульсы и волны можно с помощью мягкой и достаточно длинной резиновой трубки. Проделать соответствующие простые опыты несложно, и читатель может проявить здесь фантазию и изобретательность.
В резиновой трубке или ленте, закрепленных на концах, легко возбуждать стоячие волны. Особенно легко возбуждается колебание, в котором нетрудно узнать «полусинусоиду». При этом все точки колеблются в одинаковой фазе, и амплитуда колебаний максимальна в середине («пучность» стоячей волны). Длина такой стоячей волны равна удвоенной длине ленты *). Труднее возбудить колебание, в котором остается в покое середина («узел» стоячей волны). На всей ленте при этом укладывается «период синусоиды», и длина волны равна длине ленты. Чтобы возбудить такое колебание, нужно оттянуть ленты в противоположные стороны на равных расстояниях от краев, удерживая середину в покое. Легче наблюдать такую волну на приборчике со скрепками. Возбудив какие-либо колебания в этой цепочке (лучше всего это делать быстрым, легким щелчком по скрепке), можно просто остановить среднюю скрепку. При этом «выживет» колебание, в котором средняя скрепка покоится.
*) Ниже мы увидим, что синусоидальную стоячую волну можно представить в виде суммы двух одинаковых волн, бегущих в противоположных направлениях. Длина стоячей волны, по определению, совпадает с длиной этих бегущих волн.
