Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред
У подавляющего большинства материалов полный магнитный момент появляется только тогда, когда там присутствуют атомы с незаполненной внутренней электронной оболочкой. Благодаря этому они могут иметь суммарный момент количества движения и магнитный момент. Такие атомы принадлежат к «переходным элементам» периодической таблицы Менделеева, например: хром, марганец, железо, никель, кобальт, палладий и платина — элементы как раз такого сорта. Кроме того, все редкоземельные элементы имеют незаполненную внутреннюю оболочку, а следовательно, и постоянные магнитные моменты. Правда, встречаются еще странные вещества (к числу их относятся жидкий кислород и окись азота), которые, оказывается, тоже обладают магнитным моментом, но объяснить причины этих странностей я предоставляю химикам.
Предположим теперь, что у нас есть ящик, наполненный молекулами или атомами с постоянным магнитным моментом, скажем газ, жидкость или кристалл. Нам хочется знать, что получится, если мы поместим его во внешнее магнитное поле. В отсутствие магнитного поля атомы сбиваются тепловым движением и их магнитные моменты распределяются по всем направлениям. Но когда действует магнитное поле, оно выстраивает эти маленькие магнитики, так что магнитных моментов, направленных по полю, становится больше, чем направленных против него. Материал «намагничивается».
Намагниченность М материала мы определяем как полный магнитный момент единицы объема, под которым мы понимаем векторную сумму всех атомных магнитных моментов единицы объема. Если среднее число атомов в единице объема равно N, а их средний момент равен <m>cp, то М можно записать как произведение N на средний магнитный момент:
м = n<m>cp. (35.8)
Это определение М аналогично определению электрической поляризации Р, данному в гл. 10 (вып. 5).
Классическая теория парамагнетизма, как вы уже убедились в гл. 10 (вып. 5), в точности аналогична теории диэлектрической проницаемости. Предполагается, что магнитный момент m каждого из атомов всегда имеет одну и ту же величину, но может быть направлен в любую сторону. Магнитная энергия в поле В равна -m·B=-mBcosq, где q — угол между моментом и полем. Согласно статистической физике, относительная вероятность угла равна e-энергия/kT так что угол 0° более вероятен, чем угол p. Следуя в точности по пути, проделанному нами в гл. 11, § 3 (вып. 5), мы обнаружим, что для слабых магнитных полей М направлена параллельно В и имеет величину
[См. выражение (11.20), вып. 5.] Эта приближенная формула верна, только когда отношение mB/kT много меньше единицы.
Мы нашли, что намагниченность, т. е. магнитный момент единицы объема, пропорциональна магнитному полю. Это явление и называется парамагнетизмом. Вы увидите, что эффект сильнее проявляется при низких температурах и слабее при высоких. При помещении вещества в магнитное поле возникающий в нем магнитный момент в случае слабых полей пропорционален величине поля. Отношение М к В (для слабых полей) называется магнитной восприимчивостью.
Рассмотрим теперь парамагнетизм с точки зрения квантовой механики. Обратимся сначала к атомам со спином 1/2. Если в отсутствие магнитного поля атомы обладают вполне определенной энергией, то в магнитном поле энергия изменится; возможны два значения энергии для разных значений Jz. Для Jz=+h/2
магнитное поле изменяет энергию на величину
(Для атомов сдвиг энергии DU положителен, ибо заряд электрона отрицателен.) Для Jг =-h/2 энергия изменяется на величину
Для сокращения записи обозначим
тогда
DU = ±m0В. (35.13)
Совершенно ясен и смысл m0; — m0равно z-компоненте магнитного момента для спина, направленного вверх, а + m0 равно z-компоненте магнитного момента в случае спина, направленного вниз.
Статистическая механика говорит нам, что вероятность нахождения атома в каком-то состоянии пропорциональна
g-(энергия состояния)/kT.
В отсутствие магнитного поля энергия обоих состояний одна и та же, поэтому в случае равновесия в магнитном поле вероятности пропорциональны
е-DU/kT, (35.14)
Число же атомов в единице объема со спином, направленным вверх, равно
а со спином, направленным вниз,
Постоянная а должна определяться из условия
Nвверх+Nвниз=N (35.17)
т.е. равна полному числу атомов в единице объема. Таким образом, мы получаем
Однако нас интересует средний магнитный момент в направлении оси z. Каждый атом со спином, направленным вверх, дает в этот момент вклад, равный -m0, а со спином, направленным вниз, + m0, так что средний момент будет
Тогда М — магнитный момент единицы объема — будет равен N<m>ср. Воспользовавшись выражениями (35.15)—(35.17), получим
Это и есть квантовомеханическая формула для М в случае атомов со спином j=1/2. К счастью, ее можно записать более коротко через гиперболический тангенс:
График зависимости М он В приведен на фиг. 35.7.
Фиг. 35.7. Изменение намагниченности парамагнетика при изменении напряженности магнитного поля В.
Когда поле В становится очень большим, гиперболический тангенс приближается к единице, а М — к своему предельному значению Nm0. Таким образом, при сильных полях происходит насыщение. Нетрудно понять, почему так получается — ведь при достаточно больших полях все магнитные моменты выстраиваются в одном и том же направлении. Другими словами, при насыщении все атомы находятся в состоянии со спинами, направленными вниз, и каждый из них дает вклад в магнитный момент, равный m0.
Обычно при комнатной температуре и полях, которые можно получить (порядка 10000 гс), отношение m0B/kT равно приблизительно 0,02. Чтобы наблюдать насыщение, необходимо спуститься до очень низких температур. Для комнатной и более высоких температур обычно можно thx заменить на x и написать
Точно так же, как и в классической теории, намагниченность М оказывается пропорциональной полю В. Даже формула оказывается той же самой, за исключением того, что в ней, по-видимому, где-то потерян множитель 1/3. Но нам еще нужно связать m0в квантовомеханической формуле с величиной m, которая появилась в классическом результате, в выражении (35.9).
В классической формуле у нас появилось m2=m·m — квадрат вектора магнитного момента, или
В предыдущей главе я уже говорил, что очень часто правильный ответ можно получить из классических вычислений с заменой J·J на j(j+1)h2. В нашем частном примере j=1/2, так что
j(j+1)h2=3/4h2.
Подставляя этот результат вместо J·J в (35.23), получаем
или, вводя величину m0, определенную соотношением (35.12), получаем
m·m=3m20.
Подставляя это вместо m2 в классическое выражение (35.9), мы действительно воспроизведем истинный квантовомеханический результат — формулу (35.22).
Квантовая теория парамагнетизма легко распространяется на атомы с любым спином j. При этом для намагниченности в слабом поле получим
где
представляет комбинацию постоянных с размерностью магнитного момента. Моменты большинства атомов приблизительно равны этой величине. Она называется магнетоном Бора. Спиновый магнитный момент электрона почти в точности равен
§ 5. Охлаждение адиабатическим размагничиванием
Парамагнетизм имеет одно весьма интересное применение. При очень низкой температуре и в сильном магнитном поле атомные магнитики выстраиваются. При этом с помощью процесса, называемого адиабатическим размагничиванием, можно получить самые низкие температуры. Возьмем какую-то парамагнитную соль, содержащую некоторое число редкоземельных атомов (например, аммиачный нитрат празеодима), и начнем охлаждать ее жидким гелием до 1—2° К в сильном магнитном поле. Тогда показатель mВ/kT будет больше единицы, скажем 2 или 3. Большинство спинов направлено вверх, и намагниченность почти достигает насыщения. Для облегчения давайте считать, что поле настолько велико, а температура так низка, что все атомы смотрят в одном направлении. Теплоизолируйте затем соль (удалив, например, жидкий гелий и создав вакуум) и выключите магнитное поле. При этом температура соли падает.
