Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред
Ft = -2mwvr. (34.19) Кроме того, там действует кажущаяся радиальная сила
Fr=mw2r+2mwvt, (34.20)
где vt — тангенциальная компонента скорости, измеряемая во вращающейся системе отсчета. (Радиальная компонента vrодна и та же как для вращающихся, так и для инерциальных систем.)
Теперь для достаточно малых угловых скоростей (т. е. когда (wr<<vt) первым (центробежным) слагаемым в уравнении (34.20) можно пренебречь по сравнению со вторым (кориолисовым). После этого уравнения (34.19) и (34.20) можно записать вместе как
F=-(2mwXv). (34.21)
Если же теперь скомбинировать вращение и магнитное поле, то мы должны к силе (34.18) добавить силу (34.21). Полная сила получится такой:
F(r)+qvXB+2mvXw. (34.22)
[В последнем слагаемом по сравнению с (34.21) мы переставили сомножители в векторном произведении и изменили знак.] Взглянув теперь на полученный результат, мы видим, что если
2mw=-qB,
то последние два члена сократятся, и единственной силой в движущейся системе будет сила F(r). Движение электрона будет таким же, как и в отсутствие магнитного поля, но добавится, разумеется, вращение. Мы доказали теорему Лармора для одного электрона. Поскольку при доказательстве мы предполагали со малым, то это означает, что теорема верна только для слабых магнитных полей. Единственно, что я прошу вас рассмотреть самостоятельно,— это случай многих электронов, взаимодействующих друг с другом в том же самом центральном поле. Докажите теорему для такого случая. Таким образом, каким бы сложным ни был атом, если его поле центральное,— теорема будет верна. Но это уже конец классической механики, ибо то, что система прецессирует таким образом, неверно. Частота прецессии wp в уравнении (34.11) только тогда равна wL., когда g=1.
§ 6. В классической физике пет ни диамагнетизма, ни парамагнетизма
Сейчас я хочу показать вам, что в соответствии с классической механикой не получается ни диамагнетизма, ни парамагнетизма. На первый взгляд это звучит дико — ведь только что мы доказали, что там есть и диамагнетизм, и парамагнетизм, и прецессирующие орбиты и т. п., а теперь собираемся доказывать, что все это ложь. Увы, так оно и есть! Я собираюсь доказать, что если достаточно долго следовать за классической механикой, то никаких магнитных эффектов не получится: они исчезнут все до единого. Если вы начнете с классических рассуждений, но вовремя остановитесь, то получите желаемый результат. И только законные и последовательные доказательства показывают, что никаких магнитных эффектов нет.
Вот одно из следствий классической механики. Если у вас есть какая-то заключенная в ящик система, скажем электронный или протонный газ или что-то в этом роде, не способная вращаться как нечто целое, то никакого магнитного эффекта возникнуть не может. Магнитный эффект может получиться лишь при наличии изолированной системы, удерживаемой от разлетания своими собственными силами подобно звезде, которая, будучи помещена в магнитное поле, может начать вращаться. Но если ваш кусок материала удерживается в одном положении и не может начать крутиться, то никакого магнитного эффекта не будет. Более точно мы понимаем под этим следующее: мы предполагаем, что при данной температуре существует только одно состояние теплового равновесия. Тогда теорема утверждает, что если вы включите магнитное поле и выждете, пока система не придет в тепловое равновесие, то никакого наведенного магнитного эффекта не появится — ни диамагнетизма, ни парамагнетизма. Доказательство: Согласно статистической механике, вероятность того, что система имеет заданное состояние движения, пропорциональна e-U/kT, где U — энергия этого движения. Но что такое энергия движения? Для частиц в постоянном магнитном поле она равна обычной потенциальной энергии плюс mv2/2 без какой бы то ни было добавки от магнитного поля. [Вы знаете, что сила, действующая со стороны электромагнитного поля, равна q(E+vXB), а мощность F·v будет просто qE·v, т. е. никакого влияния магнитного поля нет и в помине.] Итак, энергия системы независимо от того, находится ли она в магнитном поле или нет, всегда будет суммой только кинетической и потенциальной энергий. А поскольку вероятность любого движения зависит только от энергии, т. е. от скорости и положения, то для нее безразлично, включено ли магнитное поле или нет. Следовательно, на тепловое равновесие магнитное поле не оказывает никакого влияния. Если мы возьмем сначала одну систему, заключенную в первом ящике, а затем другую — во втором ящике, но на этот раз в магнитном поле, то вероятность какого-то определенного значения скорости в некоторой точке в первом ящике будет той же самой, что и во втором. Если в первом ящике отсутствуют средние циркулирующие токи (которых не должно быть, если система находится в равновесии со стационарными стенками), то там нет никакого магнитного момента. А поскольку все движения во втором ящике такие же, как и в первом, у него тоже нет никакого магнитного момента. Следовательно, если температура поддерживается постоянной, то после включения поля и восстановления теплового равновесия никакого наведенного магнитного момента в соответствии с классической механикой быть не должно. Удовлетворительное объяснение магнитных явлений можно получить только в квантовой механике.
К сожалению, я не уверен в вашем полном понимании квантовой механики, поэтому обсуждать эти вопросы здесь вряд ли уместно. Но, с другой стороны, не всегда следует начинать изучение чего-то с выписывания правил и применения их в различных обстоятельствах. Почти каждый предмет, с которым мы имели дело в нашем курсе, начинался по-разному. Для электродинамики, например, мы на первой же странице выписали уравнения Максвелла, а уж затем выводили из них все следствия. Это один способ. Однако сейчас я не собираюсь начать новую «первую страницу» выписыванием уравнений квантовой механики и получением следствий из них. Я просто расскажу вам о некоторых результатах квантовой механики до того еще, как вы узнали, откуда они берутся. Итак, за дело.
§ 7. Момент количества движения в квантовой механике
Я уже приводил вам соотношение между магнитным моментом и моментом количества движения. Очень хорошо. Но что означает магнитный момент и момент количества движения в Квантовой механике? Оказывается, что для полной уверенности в том, что они означают в квантовой механике, лучше определять вещи, подобные магнитному моменту, через другие понятия, такие, как энергия. Магнитный момент легко определить через энергию, ибо энергия магнитного момента в магнитном поле равна в классической теории—m·В. Следовательно, в квантовой механике необходимо принять следующее определение. Если мы вычисляем энергию системы в магнитном поле и видим, что она пропорциональна напряженности (для малых полей), то коэффициент пропорциональности мы будем называть магнитным моментом в направлении поля. (Нам сейчас в нашей работе не требуется особой элегантности и мы можем продолжать думать о магнитном моменте в обычном, т. е. в каком-то отношении классическом смысле.)
Теперь мне бы хотелось обсудить понятие момента количества движения в квантовой механике, или, вернее, характеристики того, что в квантовой механике называется моментом количества движения. Видите ли, при переходе к законам нового рода нельзя предполагать, что каждое слово будет в точности означать то же, что и раньше. Подумав, вы можете сказать: «Постойте, а ведь я знаю, что такое момент количества движения. Это штука, которую измеряет момент силы». Но что такое момент силы? В квантовой механике у нас должно быть новое определение старых величин. Поэтому законно было бы назвать ее каким-то другим именем, вроде «углоквантового момента», или чем-то в этом духе, и уж это был бы момент количества движения «по-квантовомеханически». Однако если в квантовой механике мы можем найти величину, которая, когда система становится достаточно большой, идентична нашему старому понятию момента количества движения, то никакой пользы от изобретения новых слов нет. Ее тоже можно называть моментом количества движения. В этом понимании та странная вещь, которую мы собираемся описать, и есть момент количества движения. Это характеристика, в которой мы для больших систем узнаем момент количества движения классической механики.
