Яков Гегузин - Капля
При прочих неизменных условиях судьба летящей капли существенно зависит от ее массы. Поэтому, оставив без внимания капли промежуточных размеров, проследим за тем, что происходит с каплями маленькими и большими.
Однако вначале необходимо договориться, какие капли мы будем считать «маленькими», а какие «большими». В очерке об опыте Плато мы обсуждали вопрос о «маленькой» капле, лежащей на твердой подложке, и выяснили, что в этих условиях «маленькой» следует считать такую каплю, у которой лапласовское давление успешно борется с давлением, обусловленным ее тяжестью, и поэтому капля остается почти сферической. Видимо, подобный критерий надо применить и к дождевой капле, но только при этом с лапласовским давлением (Рл), стремящимся сохранить сферическую форму капли, надо сравнивать деформирующее давление (Рυ), обусловленное сопротивлением, которое оказывает летящей капле воздух. Если Рл>>Рυ, капля сохранит форму шарика и мы будем ее считать «маленькой», а если Рл< < Рυ, капля будет сильно деформироваться давлением Рυ и ее мы будем считать
«большой». Рл нам известно, оно равняется 2α/R, а вот вычислить Рυ — задача непростая. Для нас, однако, важно лишь знать, что Рυ растет с R и поэтому должны существовать такие размеры, при которых выполняются два предельных неравенства между Рл и Рυ, явившиеся для нас основанием делить капли на «маленькие» и «большие».
Расчет приводит к тому, что к числу «маленьких» надо относить капли, размер которых порядка десятков микрон, а к числу «больших» те, радиус которых порядка миллиметров.
Теперь о полете маленькой капли, которая, падая, сохраняет форму шарика. Если с ее формой ничего не происходит и шарик остается шариком, то о движении капли лучше говорить так: воздух, двигаясь снизу вверх, вязко обтекает водяной шарик. Попробуем вычислить скорость, с которой при этом водяной шарик — капля — приближается к земле.
Начнем с примера, который имеет прямое отношение к нашей задаче о вязком обтекании воздухом капли. Допустим, к нити из вязкого вещества — смолы или разогретого стекла — прикреплен грузик, под действием которого нить будет удлиняться, вязко течь. Очевидно, ее удлинение (Δl) будет тем большим, чем длиннее нить (l), больше время течения (t), больше нагрузка, приложенная к нити (Р), и меньше вязкость (η) вещества, из которого она изготовлена. Сказанное можно записать в виде формулы
Δl =lPt/η,
из которой следует, что скорость удлинения υ = Δl /t= lP/η
Возвратимся теперь к вопросу о вязком обтекании воздухом капли-шарика. Этот процесс должен подчиняться тому же закону, что и вязкое течение нити. Различие заключается лишь в том, что в одном случае течет смола или стекло, а в другом — воздух. Важно, что в обоих случаях имеет место вязкое течение. Обратим, однако, внимание на то, что в интересующей нас задаче характерный размер — не длина нити, а радиус шарика R и что напряжение Р пропорционально отношению силы F, тянущей шарик, к площади его сечения, т. е Р≈F/πR2 .Применительно к шарику формулу, определяющую скорость, можно переписать в виде: υ ≈ F/Rη . Мы воспользовались знаком «пропорционально» потому, что не учли конкретной геометрии потока воздуха вокруг шарика. Точный расчет приводит к формуле, которая от нашей отличается лишь множителем 1/6 .π, и таким образом:
υ= F/ 6πRη
Обсудим величину F.
Если бы шарик падал в вакууме, то
F = F↓= mg =4/3πR3ρg.
Так как шарик находится в воздухе, то на него действует и архимедова сила F↑, которая направлена противоположно F↓ и определяется той же формулой, что и F↓, только величину ρ — плотность вещества шарика нужно заменить величиной ρo — плотностью воздуха. Вот теперь можно записать интересующую нас формулу в окончательном виде:
υ = 1(F↓ - F↑)/6πRη = 2/9. gR2. (ρ - ρo)/ η
Эту формулу называют формулой Стокса. Нам она позже понадобится.
Вычислим скорость падения маленькой дождевой капли. Допустим, что ее размер R ≈ 10-1 см. Так как g ≈ 103 см/сек2, η ≈ 2.10-2 г/см.сек (пуаз), ρ = 1 г/см3, ρo = 1,2.10-3 г/см3, то υ ≈ 102 см/сек.
Итак, мы выяснили, что маленькие капли летят со скоростью, пропорциональной квадрату их радиуса, и что величина этой скорости порядка 100 см за секунду. Если маленькая капля зародилась в облаке, которое плавает над землей на высоте около километра, и если ничто не помешает ей себя сохранить в полете, до земли ей лететь долго — около 15 мин. Еще раз подчеркнем — рассказанное о маленькой дождевой капле справедливо при соблюдении очень важной оговорки: если капля сохранит себя в целости на протяжении всего времени полета от облака до земли. И еще одна оговорка: все рассказанное о скорости полета капли относится к установившемуся, или, как говорят физики, стационарному, режиму. В самом начале полета капля двигалась ускоренно, пока не достигла стационарной скорости.
Так во время полета изменяется форма крупной капли, падающей в воздухе
Теперь о больших каплях. Речь идет о каплях крупных, размер которых достигает нескольких миллиметров. Такие капли иногда образуются в искусственных условиях, например при распаде струй, а иногда и в условиях естественного дождя. С ними происходит вот что.
