Алекс Беллос - Красота в квадрате
Преобразование процентного изменения в период удвоения позволяет лучше понять, насколько быстро увеличивается значение того или иного показателя. Это делает правило 72 просто незаменимым для понимания сути экспоненциального роста. Я помню, как отец объяснял мне это правило, когда я был совсем юным, а ему рассказывал о нем его отец, который, будучи торговцем одеждой в лондонском Ист-Энде в те времена, когда еще не было калькулятора, полагался на это правило в своей трудовой жизни. Согласно ему, если вы возьмете кредит под 10 процентов годовых, ваш долг увеличится в два раза примерно через семь лет и в четыре раза — через четырнадцать.
Интерес Альберта Бартлетта к экспоненциальным процессам вскоре вышел за рамки проблем перенаселенности, загрязнения и транспортных заторов в Боулдере, поскольку те аргументы, которые он приводил в муниципалитете, были в равной степени применимы и ко всему миру. Земля не выдержит количества населения, численность которого растет по экспоненте каждый год, — во всяком случае, ее ресурсов не хватит надолго. Взгляды Бартлетта сделали его современным Томасом Мальтусом. Томас Мальтуc — английский священник, еще две сотни лет назад утверждавший, что увеличение численности населения повлечет за собой голод и болезни, поскольку экспоненциальный рост количества людей не может быть уравновешен соответствующим ростом производства продуктов питания. «Мальтус прав! — убежден Бартлетт. — Он ничего не знал о нефти и механизации, но его идеи абсолютно верны. Он понимал, чем экспоненциальный рост отличается от линейного роста. Население способно увеличиваться быстрее, чем объем ресурсов, необходимых для выживания». А еще он добавил следующее: «Из каких бы предположений вы ни исходили, численность населения достигнет катастрофической отметки уже в середине текущего столетия, через 40 лет от нынешнего момента».
Бартлетт относится к числу лекторов, способных завладеть вниманием аудитории. Он мастерски превращает то головокружение, которое вы испытываете при попытках понять суть экспоненциального роста, в страх неотвратимого апокалипсического будущего. Выступления Бартлетта весьма занимательны еще и потому, что он использует различные инструменты из области физики (такие как выделение сущности проблемы, локализация универсального закона) в дискуссиях, в которых доминируют, как правило, экономисты и социологи. Больше всего Бартлетта возмущают экономисты; их он обвиняет в коллективном отрицании проблемы. «Они создали общество, в котором рост численности населения необходим для обеспечения роста занятости. Однако такой рост не оправдывает себя и приведет в итоге к катастрофе». По мнению Бартлетта, единственно приемлемое для общества решение — избавиться от пагубного пристрастия к экспоненциальным процессам.
Оппоненты Бартлетта утверждают, что наука найдет способ и дальше увеличивать производство продуктов питания и энергии, как это удавалось до сих пор, а также что уровень рождаемости и без того падает во всем мире. Но Бартлетт считает, что они не осознают главного. «Чаще всего экономисты заявляют, что я не понимаю сути проблемы и что все гораздо сложнее тех простых вещей, о которых я говорю. Но я отвечаю на это так: если вы не понимаете простых аспектов, вы не сможете понять и более сложных!» А затем он, ухмыльнувшись, сказал: «Но меня им не переубедить. Рост численности населения или рост потребления ресурсов выдержать невозможно, точка. Конец дискуссий. Это неоспоримый факт, если только вы не намерены оспаривать законы математики».
Бартлетт называет нашу неспособность понять суть экспоненциального роста самым большим недостатком человечества. Но почему нам так трудно это понять? В 1980 году психолог Гидеон Керен из Института восприятия в Голландии провел исследование, в ходе которого попытался выяснить, есть ли какие-либо культурные различия в ошибочных представлениях об экспоненциальном росте [3]. Он предложил группе канадцев составить прогноз стоимости стейка, растущей на 13 процентов в год. Участникам эксперимента сообщили данные о цене в 1977, 1978, 1979 и 1980 годах, когда она составляла 3 доллара, и попросили определить, какой она будет через 13 лет, в 1993 году. Средняя оценка составила 7,7 доллара, примерно половину от правильного ответа — 14,7 доллара, что было существенно меньше реального значения. Затем Керен поставил тот же вопрос группе израильтян, назвав цену в местной валюте — израильских фунтах: в 1980 году один стейк стоил 25 израильских фунтов. Средняя оценка цены стейка в 1993 году составила в этом случае 106,4 фунта, что снова было ниже правильного ответа в размере 122,4 фунта, но все же гораздо ближе к нему. По мнению Керена, израильтяне лучше справились с поставленной задачей, потому что их страна переживала период, когда годовой темп инфляции равнялся почти 100 процентам по сравнению с 10 процентами в Канаде. Исследователь пришел к выводу, что, столкнувшись с более высоким экспоненциальным ростом, израильтяне стали гораздо чувствительнее к нему, хотя их оценки тоже оказались занижены.
В 1973 году Дэниел Канеман и Амос Тверски продемонстрировали, что люди называют намного меньшие числа, оценивая результат умножения 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8, чем результат умножения 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1, хотя на самом деле эти произведения идентичны. Это позволило сделать следующий вывод: наши суждения зависят от порядка прочтения чисел [4]. (Медианный ответ по возрастающей последовательности был 512, а убывающей — 2250. На самом деле обе оценки существенно меньше правильного ответа — 40 320.) Результаты исследований Канемана и Тверски позволяют понять, почему мы всегда будем недооценивать экспоненциальный рост: первые члены любой последовательности как будто привязывают нас к себе, «ставят на якорь», причем этот эффект наиболее заметен в случае возрастающей последовательности.
Экспоненциальный рост может быть либо пошаговым, либо непрерывным. В аналогии с бактериями, использованной в своей лекции Бартлеттом, одна бактерия превращается в две, две бактерии превращаются в четыре, четыре — в восемь и т. д. Население также увеличивается на целые числа за фиксированные промежутки времени. Однако на представленном ниже рисунке кривые растут экспоненциально и непрерывно. В каждой точке кривая повышается со скоростью, пропорциональной ее высоте.
Экспоненциальные кривые
Когда уравнение представлено в виде y = ax, где a — положительное число, кривая демонстрирует непрерывный экспоненциальный рост. Кривые на рисунке описаны уравнениями y = 3x, y = 2x и y = 1,5x; другими словами, эти кривые отображают последовательности, в которых каждый очередной член в три, два и полтора раза больше предыдущего. Например, в случае уравнения y = 2x, если x равно 1, 2, 3, 4, 5…, тогда y равно 2, 4, 8, 16, 32…
На графике меньшего масштаба (см. первый рисунок) кривые напоминают ленты, приколотые к вертикальной оси в точке 1. На графике более крупного масштаба (второй рисунок) можно увидеть, что все кривые разделяют одну судьбу: приближаются к вертикальной оси всего через несколько единиц по горизонтальной оси. Совсем не похоже на то, что эти кривые покроют когда-либо всю плоскость по горизонтали, хотя на самом деле это обязательно произойдет. Если бы я захотел показать на графике кривую y = 3x, где x = 30, страницу нужно было бы растянуть на сто миллионов километров по вертикали.
Когда кривая растет по экспоненциальному закону, то чем выше она поднимается, тем круче становится. Чем дальше мы перемещаемся по такой кривой, тем быстрее она растет. Однако прежде, чем продолжить, давайте познакомимся с новым понятием — понятием градиента, математического показателя крутизны подъема. Градиент наклона равен отношению изменения высоты к изменению расстояния по горизонтали — это должно быть хорошо знакомо каждому, кто когда-либо ехал на автомобиле или велосипеде по горной дороге. Если дорога поднимается на 100 метров за 400 метров пути по горизонтали, как показано на рисунке ниже, то градиент составляет , или , что записывают на дорожных знаках как 25%. Это определение интуитивно понятно, поскольку оно означает, что чем круче дорога, чем выше градиент. Однако здесь нужно быть внимательным. Дорога, у которой градиент равен 100%, — это дорога, высота подъема которой равна пройденному расстоянию, то есть она повышается под углом всего 45 градусов. Теоретически у дороги может быть градиент и больше 100 процентов; на самом деле он может быть бесконечным, если она направлена вертикально вверх.
Дорога, показанная на рисунке выше, имеет постоянный градиент. Однако в действительности градиент большинства дорог представляет собой переменную величину. Такие дороги то набирают крутизну, то выравниваются, то снова устремляются вверх. Для того чтобы найти на них градиент любой точки (другими словами, кривой), необходимо провести в этой точке касательную и определить ее градиент. Касательная — линия, которая соприкасается с кривой в этой точке, но не пересекает ее (слово tangent («касательная») происходит от латинского tangere («касаться»)). На представленном ниже рисунке кривой с переменным градиентом я обозначил точку Р и провел в ней касательную. Для того чтобы найти ее градиент, нужно нарисовать прямоугольный треугольник, который покажет нам изменение высоты a при смещении по горизонтали, равном b, а затем рассчитать отношение a/b. Размер треугольника не имеет значения, поскольку соотношение высоты и ширины останется неизменным. Градиент в точке Р — это градиент касательной в точке Р, равный a/b.
