Алекс Беллос - Красота в квадрате
В этой главе шла речь о математических аспектах хождения по замкнутому кругу. Но давайте разорвем его и посмотрим, что происходит с вещами, которых становится все больше, больше и больше?
6. Все о числе е
В Боулдере я навестил автора лекции, с которой он выступил, пожалуй, наибольшее количество раз за всю историю науки [1]. Альберт Бартлетт, почетный профессор физики Колорадского университета, впервые прочел лекцию Arithmetic, Population and Energy («Арифметика, население и энергия») в 1969 году [2]. К тому времени, когда я с ним встретился, он выступил с ней уже 1712 раз и, несмотря на то что ему почти 90 лет, продолжал читать ее примерно по 20 раз в год. Бартлетт был высоким мужчиной крепкого телосложения с величественной осанкой, носившим галстук «боло» в стиле Дикого Запада с пряжкой, украшенной звездами и планетами. В своей знаменитой лекции Бартлетт не предвещающим ничего хорошего тоном заявляет о том, что величайший недостаток рода человеческого состоит в его неспособности понять суть экспоненциального роста. За последние годы это простое, но мощное послание сделало Бартлетта звездой интернета: видео его лекции под названием The Most IMPORTANT Video You’ll Ever See («Самое важное видео, которое вы когда-либо увидите»), выложенное на YouTube, получило более 5 миллионов просмотров.
Экспоненциальный (или пропорциональный) рост имеет место в случае, если какая-то величина постоянно увеличивается пропорционально ее значению, например путем удвоения:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64…
Или посредством умножения на три:
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729…
Или даже посредством увеличения всего лишь на один процент:
1; 1,01; 1,0201; 1,0303; 1,0406; 1,05101; 1,06152…
Все эти числа можно представить и в таком виде:
20, 21, 22, 23, 24, 25, 26…
30, 31, 32, 33, 34, 35, 36…
1,010; 1,011; 1,012; 1,013; 1,014; 1,015; 1,016…
Маленькое число, расположенное вверху справа от числа нормального размера, называется показателем степени (экспонентой) и указывает, сколько раз необходимо умножить нормальное число на себя. Последовательности, в которых величина растет со скоростью, пропорциональной ее значению, демонстрируют экспоненциальный рост, так как у каждого очередного члена ряда показатель степени увеличивается на единицу.
Когда величина растет по экспоненциальному закону, то чем больше она становится, тем быстрее увеличивается, поэтому всего после нескольких шагов она может достичь ошеломляющего значения. Давайте посмотрим, что произойдет с листом бумаги, если складывать его вдвое. В результате каждого очередного сгибания лист становится толще в два раза. Поскольку толщина листа бумаги составляет примерно 0,1 миллиметра, вследствие каждого сгибания она будет увеличиваться так:
0,1; 0,2; 0,4; 0,8; 1,6; 3,2; 6,4…
Это та же последовательность, что и размещенная выше, каждый член которой в два раза больше предыдущего, но со смещением десятичного знака на одну позицию. Поскольку стопка бумаги все время утолщается, каждое очередное сгибание требует больших усилий, и к седьмому разу согнуть бумагу уже практически невозможно. В этот момент толщина бумаги в 128 раз больше одного листа, что эквивалентно толщине 256-страничной книги.
Но продолжим процесс, чтобы увидеть (по крайней мере, теоретически), насколько увеличится толщина стопки бумаги в сложенном состоянии. Сложив бумагу еще шесть раз, мы получим стопку высотой в один метр. Еще шесть сгибаний дадут нам стопку высотой с Триумфальную арку, а после очередных шести она поднимется в небо на 3 километра. Какой бы обычной ни казалась процедура удвоения, ее многократное применение дает невероятный результат. После 42 сгибаний наша бумага оставит позади Луну, а всего после 92 достигнет края обозримой Вселенной.
Но Альберта Бартлетта интересуют не столько другие планеты, сколько планета, на которой мы живем. В своей лекции он объяснил суть экспоненциального роста с помощью невероятно убедительной аналогии. Представьте себе бутылку с бактериями, численность которых увеличивается в два раза каждую минуту. В 11 часов утра в бутылке находится всего одна бактерия, а через час, к полудню, бутылка будет полностью заполнена бактериями. Анализ данного процесса в обратном порядке показывает, что в 11:59 бутылка заполнена бактериями наполовину, в 11:58 — на четверть и т. д. «Если бы вы были обычной бактерией, живущей в этой бутылке, — спрашивает Бартлетт, — в какой момент времени вы поняли бы, что свободного пространства вот-вот не останется?» В 11:55 бутылка кажется почти пустой: она заполнена всего на , или около 3 процентов, что оставляет 97 процентов свободного места для роста популяции. Осознают ли бактерии, что они всего в пяти минутах от стопроцентной заполненности бутылки? Бутылка Бартлетта — это предостережение жителям Земли. Если население планеты будет увеличиваться по экспоненте, свободного места на ней не останется гораздо быстрее, чем кажется.
Возьмем в качестве примера историю города Боулдер. За период с 1950 года (когда туда переехал Бартлетт) по 1970 год численность его населения в среднем ежегодно увеличивалась на шесть процентов. Для того чтобы определить численность населения к концу первого года, необходимо первоначальное значение умножить на 1,06, к концу второго года — на (1,06)2, к концу третьего года — на (1,06)3 и т. д., а значит, здесь мы имеем экспоненциальную последовательность.
На первый взгляд кажется, что сами по себе шесть процентов — не так много, но за два десятилетия это привело к увеличению численности населения города более чем в три раза, с 20 000 до 67 000 человек. «Это ужасающий рост, — сказал Бартлетт, — и с тех пор мы делаем все возможное, чтобы замедлить его» (в настоящее время население города составляет почти 100 000 жителей). Страстное желание Бартлетта объяснить людям суть экспоненциального роста обусловлено его решимостью сохранить качество жизни в родном городе, расположенном в горах.
Важно помнить, что если процентный рост за единицу времени представляет собой постоянную величину, то он подчиняется экспоненциальному закону. Следовательно, если даже рассматриваемая величина начинает расти достаточно медленно, этот рост резко ускорится, и в ближайшее время значение величины станет настолько большим, что поначалу это покажется противоречащим здравому смыслу. Практически все экономические, финансовые и политические показатели (такие как объем продаж, прибыль, курс акций, ВВП и численность населения) рассчитываются в виде относительного изменения за единицу времени, а значит, экспоненциальный рост очень важен для понимания того, как устроен наш мир.
Так было и полтысячелетия назад, когда озабоченность проблемой экспоненциального роста привела к использованию арифметического эмпирического «правила 72», впервые упомянутого в трактате Луки Пачоли Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità («Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности»), который стал математической библией эпохи Возрождения. Если рост той или иной величины подчиняется экспоненциальному закону, значит, существует определенный промежуток времени, за который ее значение удвоится (этот период обозначается термином «период удвоения»). «Правило 72» гласит, что величина, растущая на Х процентов каждый период времени, увеличится в два раза примерно за периода. (В Приложении 5 я объясню, как работает это правило.) Следовательно, если численность населения растет на 1 процент в год, она удвоится за , или 72 года. Если город растет на 2 процента в год, количество его жителей увеличится в два раза за , или 36 лет; если на 6 процентов (как в случае Боулдера), на это уйдет , или 12 лет.
Период удвоения — это полезная концепция, поскольку она позволяет легко заглянуть в будущее и прошлое. Если численность населения Боулдера увеличится в два раза через 12 лет, значит, она вырастет в четыре раза через 24 года, а через 36 лет будет уже в восемь раз больше. (Разумеется, при условии сохранения темпов роста на одном уровне.) Точно так же можно рассчитать и темпы роста численности населения, имевшие место ранее: при шести процентах роста этот показатель составил бы половину текущего значения 12 лет назад, четверть текущего значения — 24 года назад и восьмую часть — 36 лет назад.
Преобразование процентного изменения в период удвоения позволяет лучше понять, насколько быстро увеличивается значение того или иного показателя. Это делает правило 72 просто незаменимым для понимания сути экспоненциального роста. Я помню, как отец объяснял мне это правило, когда я был совсем юным, а ему рассказывал о нем его отец, который, будучи торговцем одеждой в лондонском Ист-Энде в те времена, когда еще не было калькулятора, полагался на это правило в своей трудовой жизни. Согласно ему, если вы возьмете кредит под 10 процентов годовых, ваш долг увеличится в два раза примерно через семь лет и в четыре раза — через четырнадцать.
