Ричард Фейнман - 1. Современная наука о природе, законы механики
* В нашем курсе нет этого доказательства.
* Иначе говоря, на сколько окружность (орбита Луны) отходит от касательной к ней на протяжении пути, проходимого Луной за 1 сек.
* Отрезок, соединяющий Солнце с точкой орбиты.
Глава 8
ДВИЖЕНИЕ
§ 1. Описание движения
§ 2. Скорость
§ 3. Скорость как производная
§ 4. Расстояние как интеграл
§ 5. Ускорение
§ 1. Описание движения
Чтобы найти законы, управляющие различными изменениями, происходящими с течением времени, нужно сначала описать эти изменения и придумать какой-то способ их записи. Начнем с самого простого изменения, которое происходит с телом,— с изменения его положения в пространстве, т. е. то, что мы называем движением. Рассмотрим движущийся предмет, на который нанесена маленькая отметка; ее мы будем называть точкой. Неважно, будет ли это кончик радиатора автомобиля или центр падающего шара. Мы будем пытаться описать тот факт, что она движется и как это происходит.
На первый взгляд это кажется совсем просто, однако в описании изменения есть много хитростей. Некоторые изменения описать труднее, нежели движение точки на твердом предмете. Например, как описать движение облака, которое не только медленно перемещается, но вдобавок еще изменяет свои очертания или испаряется? Или как описать капризы женского ума? Впрочем, поскольку изменения облака хотя бы в принципе можно описать с помощью движения всех отдельных молекул его составляющих, то вполне возможно, что и изменения мыслей обусловлены тоже какими-то перемещениями атомов в мозгу, хотя мы еще не знаем простого способа их описания.
По этой причине мы начнем с движения точек. Пожалуй, еще можно считать эти точки атомами, но сначала, вероятно, лучше не гнаться за точностью, а просто представлять себе точку как какой-то маленький объект, маленький по сравнению с тем расстоянием, которое он проходит. Например, если говорят об автомобиле, прошедшем 100 км, то какая разница, имеется ли в виду его мотор или багажник. Конечно, небольшая разница есть, но обычно мы просто говорим «автомобиль», и то, что он не является абсолютной точкой, не имеет значения. Для наших целей не нужна абсолютная точность. Ради простоты забудем на время также и о том, что наш мир трехмерный, а сконцентрируем все свое внимание на движении в одном направлении (автомобиль движется по прямой дороге). Мы еще вернемся к понятию трех измерений, когда поймем, как описывается движение в одном измерении. Вы, вероятно, скажете, что это тривиально. Действительно, это так. Как описать движение в одном измерении, скажем движение автомобиля. Это проще простого. Приведу один из многих возможных способов. Чтобы определить положение автомобиля в различные моменты времени, мы измеряем расстояние его от начальной точки и записываем наши наблюдения. В табл. 8.1 буква s означает расстояние автомобиля от начальной точки в метрах, a t — время в минутах. Первая строка — нулевое расстояние и нулевой момент времени. Автомобиль еще не начал двигаться.
Таблица 8.1 · расписание движения автомобиля
Через минуту после начала движения он проходит уже 380 м. Через две минуты он продолжает двигаться. Заметьте, что за вторую минуту он прошел большее расстояние, чем за первую,— автомобиль ускоряет свое движение, но между третьей и четвертой минутами что-то произошло, более того, на пятой минуте он остановился. По-видимому, у светофора, потому что дальше он опять набирает скорость и к концу шестой минуты проходит 4050 м, к концу седьмой — 5550, а к концу восьмой — 7050. Но в течение девятой минуты опять происшествие — автомобиль прошел всего лишь 450 м и остановился. Водитель нарушил правила движения и был остановлен полицейским.
Это один способ описать движение. Есть и другой способ — графический. Если по горизонтали откладывать время, а по вертикали — расстояние, то получим кривую, подобную изображенной на фиг. 8.1.
Фиг. 8.1. График зависимости расстояния, пройденного машиной, от времени.
Из рисунка видно, что с увеличением времени расстояние тоже увеличивается, сначала очень медленно, а затем все быстрее и быстрее. В районе четырех минут происходит замедление, а затем расстояние опять увеличивается в течение нескольких минут, и, наконец, на девятой минуте машина останавливается. Все эти сведения можно получить прямо из графика, не используя таблицы. Конечно, для построения нашего графика необходимо знать, где находится автомобиль не только каждую минуту, но и каждые полминуты, а может быть, и еще точнее. Кроме того, мы предполагаем, что машина где-то находится в любой момент времени.
Так что движение автомобиля выглядит все же сложно. Давайте рассмотрим что-нибудь попроще, с более простым законом движения: например, падающий шар. В табл. 8.2 даны значения времени в секундах и расстояния в метрах.
Таблица 8.2 · расписание движения падающего шара
За нулевой момент выберем момент начала падения. Через 1 сек после начала падения шарик пролетает 5м, через 2 сек — 20 м, через 3 сек—45м. Если отложить эти числа на графике, то получим параболическую кривую зависимости расстояния от времени для падающего тела (фиг. 8.2), которая описывается формулой
s=5t2. (8.1)
Фиг. 8.2. График зависимости расстояния, пройденного падающим шаром, от времени.
Эта формула позволяет вычислить расстояние для любого момента времени. Вы скажете, что для первого графика (см.фиг. 8.1) тоже должна быть какая-то формула. Действительно это так. Ее можно записать в таком абстрактном виде:
s=f(t) (8.2)
Это означает, что s — величина, зависящая от t, или, как говорят математики, s есть функция t. Однако мы не знаем, что это за функция, точнее, мы не можем записать ее через какие-то известные нам функции.
На этих двух примерах видно, что любое движение можно описать в общей и простой форме. Казалось бы, нет ничего хитрого! Однако хитрости все же есть, и не одна! Во-первых, что мы понимаем под пространством и временем? Это, оказывается, очень глубокие философские вопросы, которые нужно внимательно проанализировать, что не так-то легко. Теория относительности показывает, что понятия пространства и времени не так просты, как это кажется на первый взгляд. Впрочем, сейчас для начала нам не нужна такая скрупулезность в определении этих понятий. Возможно, вы скажете: «Странно, мне всегда говорили, что в науке все должно определяться точно». Это не так. Мы не можем определить точно все без исключения! Если бы мы пытались это сделать, то получилось бы нечто похожее на спор двух «философов», где один говорит: «Вы сами не знаете, о чем говорите»; а второй отвечает: «А что такое «знать»? Что такое «говорить»? Что такое «вы», наконец?» Ну и так до бесконечности. Так что для пользы дела лучше сначала условиться, что мы будем говорить хотя бы приблизительно об одних и тех же вещах. Сейчас вы достаточно много знаете о времени, но помните, что здесь есть некоторые тонкости, которые мы еще обсудим в дальнейшем.
Другая хитрость (мы уже упоминали о ней) — это правильно ли думать, что наблюдаемая нами движущаяся точка всегда находится в каком-то определенном месте (т. е. где-то локализована). Разумеется, когда мы смотрим на нее, она находится в определенном месте; но можно ли это утверждать в те моменты, когда мы отвернулись. И вот оказывается, что при изучении движения атомов так думать нельзя. Невозможно посадить метку на атом и наблюдать за его движением. С этой тонкостью мы вплотную столкнемся в квантовой механике. Но сначала давайте рассмотрим те проблемы, которые возникают до введения этих усложнений, а уж после этого учтем те поправки, на которые нас вынуждают новейшие сведения о природе вещей. Итак, примем наиболее простую точку зрения о пространстве и времени. Мы приблизительно понимаем, что означают эти понятия, а тот, кому доводилось управлять автомобилем, знает и что такое скорость.
§ 2. Скорость
Хотя мы примерно представляем себе, что такое «скорость», однако здесь есть одна очень важная тонкость. Заметьте, что древние греки так и не смогли до конца разобраться в проблеме скорости. Тонкость, о которой идет речь, дает себя знать, когда пытаешься точно определить, что же подразумевается под понятием «скорость». Этот вопрос был камнем преткновения для древних греков, и потребовалось открытие новой области математики, помимо геометрии и алгебры, которые были известны и грекам, и арабам, и вавилонянам. Попробуйте-ка с помощью одной лишь алгебры решить следующую задачу. Воздушный шар надувается таким образом, что его объем увеличивается со скоростью 100 см3/сек. С какой скоростью увеличивается его радиус, когда объем шара достигает 1000 см3? Задачи такого рода были неразрешимы для древних греков. Кроме того, их сбивали с толку многочисленные «парадоксы». Вот один из них, придуманный Зеноном, который хорошо показывает, насколько была сложна в то время проблема скорости движения. «Предположим,— говорит он, — что Ахиллес бегает в десять раз быстрее черепахи. Но тем не менее он никогда не перегонит ее. Действительно, пусть в начале состязания черепаха находилась в 100 метрах впереди Ахиллеса. Тогда ко времени, когда Ахиллес пробежит эти 100 метров, черепаха окажется в 10 метрах впереди него. Пробежав и эти 10 метров, Ахиллес увидит черепаху в 1 метре впереди себя. За то время, пока он пробежит этот метр черепаха пройдет 10 сантиметров и так далее ... до бесконечности. Следовательно, в любой момент черепаха будет впереди Ахиллеса, и он никогда не сможет перегнать ее». В чем здесь ошибка? Конечный интервал времени можно разделить на бесконечное число частей точно так же, как и конечный отрезок длины, если последовательно делить его пополам. Но бесконечное число этапов до того места, где Ахиллес поравняется с черепахой, вовсе не означает бесконечное количество времени. Этот пример хорошо показывает, с какими трудностями приходилось сталкиваться в проблеме определения скорости.
