Алекс Беллос - Красота в квадрате
Линии, проведенные от точки на эллипсе к двум его фокусам, образуют с касательной одинаковые углы, что обеспечивает бильярдистам три способа загнать шар в лузу непрямым ударом
В начале 1960-х годов ученик средней школы из Коннектикута Арт Фриго-младший сделал эллиптический стол для игры в американский бильярд, после того как узнал о конических сечениях в школьном математическом кружке. На столе Арта была черная точка на месте одного фокуса и луза — на месте другого; больше луз у этого стола не было. Если на столе находился только один шар, как показано на рисунке справа, существовало три способа загнать его в лузу, нацеливаясь не на саму лузу, а на черную точку. В таком случае, если сделать удар по шару в направлении черной точки, шар пройдет через нее, ударится о борт и попадет в лузу; если сделать удар по шару в направлении, противоположном направлению на черную точку, шар также отскочит от борта и попадет в лузу; если сделать удар по шару в направлении, противоположном лузе, то шар отскочит от борта один раз, пройдет через черную точку, ударится о борт еще раз, отскочит и снова попадет в лузу. Этот стол был настоящей машиной по забиванию шаров в лузу! Арт предложил начинать игру, которую он назвал «эллиптипул», с одного белого и шести цветных шаров на столе. Оригинальная форма стола открывала уникальные возможности для создания новых схем игры.
Арт сделал прототип своего стола и взял его с собой, когда поступил в Колледж Союза в городе Скенектади. В студенческом клубе стол пользовался такой популярностью, что о нем даже рассказывали в теленовостях. Впоследствии Арт запатентовал стол, и одна из компаний по производству игрушек предложила парню сделку. «У них были заказы на 80 000 столов. Мне тогда исполнился 21 год, и я подумал: “Я стану миллионером!”» — вспоминал он. Компания наняла Пола Ньюмана, который как раз снялся в главной роли в драме о бильярде The Hustler («Мошенник»), для съемок в рекламе стола. Однако возникли непредвиденные трудности. В результате понадобился почти год, чтобы столы поступили в продажу, но к тому времени дерево, из которого они были сделаны, деформировалось. После этого была разработана новая версия более прочного стола с монетоприемником, и такие столы установили в сотнях баров крупных городов. Но и это не помогло.
Когда Арт побывал в одном из таких мест, чтобы понаблюдать за игрой, он очень расстроился из-за того, что за его столом никто не играл. «Мне было больно, когда я увидел, что люди не понимают эту игру, — сетовал он. — Люди воспринимали мой стол просто как стол, который чем-то отличается от остальных. Если вы не знаете о фокальных точках, мяч не полетит туда, куда надо. Люди не могли загнать шар в лузу, потому что не понимали сути игры». Тем не менее, по словам Арта, этот опыт научил его тому, как не нужно начинать выпуск продукта. Впоследствии он стал успешным предпринимателем, занимаясь бриллиантами и губковыми швабрами. В настоящее время Арт живет во Флориде и импортирует оливковое масло.
Возможно, математической зависимости между фокусами эллипса и не удалось совершить переворот в американской барной культуре, но зато она нашла прекрасное применение в индустрии осветительных приборов. Подобно тому как бильярдный шар, посланный из одного фокуса эллипса, отскакивает от борта в направлении другого фокуса, все лучи источника света, если его разместить в фокусе эллипса, сделанного из отражающего материала, будут направлены в сторону другого фокуса. Вращая эллипс вокруг невидимой линии, соединяющей две фокальные точки, вы получите трехмерную фигуру под названием «эллипсоид». Если разместить лампочку у одного из фокусов эллипсоида с зеркальной внутренней поверхностью, это и будет основной элемент театрального прожектора. Речь идет о самом эффективном способе получения узконаправленного луча света. Излучаемый лампочкой свет отражается поверхностью эллипсоида и собирается во втором фокусе, образуя концентрированный пучок света, который преломляется затем через линзу. На самом деле оптическое применение конических сечений объясняет происхождение слова «фокус»: на латыни оно означает «очаг». В немецком языке происхождение этого слова еще более очевидно: «фокус» на немецком — brennpunkt, что значит «точка воспламенения».
Здания с эллиптическими крышами обладают удивительными свойствами, поскольку звук, созданный в одном из фокусов, будет отражаться из любой точки на поверхности крыши в другой фокус. Например, гигантский купол мормонского Табернакля (молитвенного дома) в Солт-Лейк-Сити был специально построен в форме половины эллипсоида [2]. Если вы уроните булавку у кафедры проповедника, которая находится в одном из фокусов, звук от ее падения будет отчетливо слышен у другого фокуса, расположенного более чем в пятидесяти метрах от первого.
Развитие древнегреческой математики длилось почти тысячу лет, от Фалеса, который жил в VII–VI веках до нашей эры, до последней значимой фигуры — Паппа, предположительно жившего на рубеже IV–III веков до нашей эры [3]. Самое почетное место занимают три мыслителя: Евклид, Архимед и Аполлоний, великая троица классических математиков. Все они жили в III столетии до нашей эры. С Евклидом и Архимедом мы встретимся немного позже. Аполлоний же, самый младший из них, учился и преподавал в Александрии. Кроме того, он проживал в городе Пергам (территория современной Турции), в котором находилась вторая по величине библиотека Греческой империи. В наше время из этих троих гигантов мысли Древней Греции Аполлоний наименее известен, хотя в свое время его называли Megas Geometris — Великим Геометром. Из всех его книг до нас дошел только трактат о конусах Conics («Конические сечения»).
В трактате «Конические сечения» Аполлоний показал, как рассечение конуса позволяет получить три типа сечений, и дал им имена. Термин «эллипс» происходит от греческого слова leipein («опустить, пропустить»), «парабола» — от para («рядом, около»), а «гипербола» — от hyper («сверх, по ту сторону»). (Суффикс -bola означает «бросать» [4].) Названия, выбранные Аполлонием, основаны на свойствах областей этих кривых, достаточно сложных для того, чтобы их здесь объяснять. Однако мы можем выяснить, что он имел в виду, воспользовавшись понятием угла наклона секущей плоскости и той аналогией с рассечением конуса, о которой шла речь выше. Когда угол наклона секущей плоскости равен углу наклона боковой поверхности конуса, полученное сечение называется параболой; когда этот угол больше — гиперболой. В трактате «Конические сечения» содержится 387 тезисов; читать этот труд нелегко, отчасти потому, что Аполлоний использует громоздкую систему обозначений, уже вышедшую из употребления. Тем не менее он проделал колоссальную работу, которая считается высшим достижением древнегреческой геометрии. Тщательно изучив свойства конуса, Аполлоний создал формальную основу для крупных научных открытий, сделанных спустя два тысячелетия.
В «Конических сечениях» Аполлоний самонадеянно заявил, что тему этого трактата стоит изучать исключительно ради удовольствия. И все же он разработал математические концепции, нашедшие применение на практике. Древние звездочеты видели, что планеты перемещаются не по прямым линиям, а блуждают по небу и зачастую даже возвращаются обратно, образуя петли. (Слово «планета» происходит от греческого planetes — «странник».) В свое время Платон заявил, что планеты двигаются по идеальной окружности, которая представляет собой самую простую и изящную форму. Это утверждение основывалось на уверенности Платона в том, что мир построен с геометрической простотой и элегантностью, даже если факты говорят об обратном. Данным заявлением Платон бросил мыслителям вызов: доказать блуждающее движение небесных тел, используя определенное сочетание круговых движений. Аполлоний принял вызов и разработал систему, которая стала стандартной моделью на почти две тысячи лет.
Согласно предложенному Аполлонием описанию движения планет Земля находится в центре мироздания. Каждая планета движется по малой окружности — эпициклу, который, в свою очередь, перемещается вокруг Земли по большой окружности — деференту, как показано на рисунке ниже. Эта похожая на кружево орбитальная траектория напоминает рисунок, полученный с помощью спирографа — игрушки, в которой маленькое зубчатое колесо с ручкой в одном из отверстий вращается вокруг зубчатого колеса большего диаметра. Бывают моменты, когда орбита планеты, которая движется по эпициклу, перемещающемуся по деференту, образует петли, что объясняет, почему время от времени планеты как будто движутся в обратную сторону. Система Аполлония полностью соответствовала фактическим данным при совсем незначительных погрешностях, легко устраняемых посредством введения дополнительного эпицикла. Это означало, что орбита планеты формируется под влиянием совокупности трех круговых движений, другими словами — движется по окружности, которая перемещается по второй окружности, которая, в свою очередь, движется по третьей окружности с Землей в центре.
