Алекс Беллос - Красота в квадрате
Измерение радиуса Земли по методу аль-Бируни
Соотношение сторон треугольника стало настоящим открытием для архитекторов, астрономов, артиллеристов, ученых и мореплавателей. К тому же это послужило толчком к формированию абстрактной математики, позволяющей по-новому взглянуть на классические геометрические концепции, такие как теорема Пифагора, которая гласит, что:
a2+b2= c2,
где c — гипотенуза, a и b — два катета.
Если α — это угол между сторонами b и c, тогда:
Другими словами, a = c sin α, а b = c cos α. Мы можем подставить эти значения в уравнение Пифагора:
(c sin α)2 + (c cos α)2 = c2,
которое можно преобразовать так:
c2 (sin α)2 + c2 (cos α)2 = c2
и привести к следующему виду:
(sin α)2 + (cos α)2 = 1
Прекрасно! Теперь у нас есть компактная формула, демонстрирующая, как можно вычислить синус по косинусу и наоборот без необходимости рисовать треугольник. Это простейшее из уравнений, которые называют тригонометрическими тождествами — уравнениями, включающими в себя тригонометрические функции. Принято считать, что арабский математик ибн-Юнус (современник аль-Бируни) вывел следующую формулу:
Она имела огромное значение, хотя математикам понадобилось пять сотен лет, чтобы понять почему. Уравнение ибн-Юнуса позволяет заменить такую трудную математическую операцию, как умножение, на более простое действие — сложение.
Представьте, что нам нужно умножить 0,2897 на 0,3165.
Оба числа находятся в диапазоне от 0 до 1, стало быть, есть такие углы, для которых эти числа являются косинусами. Определить, какие именно углы соответствуют данным значениям, помогут тригонометрические таблицы. Вот эти углы:
cos 73,160° = 0,2897
cos 71,548° = 0,3165
Следовательно, мы можем записать уравнение так:
0,2897 × 0,3165 = cos 73,160° × cos 71,548°
Приведенное выше тождество говорит о том, что эта формула эквивалентна следующему уравнению:
Обратившись к таблицам, получим тождество:
Это и есть результат умножения чисел 0,2897 и 0,3165, причем очень точный. Умножьте их с помощью калькулятора, округлите произведение до четвертого десятичного знака, и получите 0,0917.
Приведенный выше способ умножения чисел может показаться слишком сложным, но в конце XVI столетия он был самым легким. Вместо того чтобы расписывать операцию умножения в столбик, что требует больших усилий и времени, достаточно просто посмотреть в сборник тригонометрических таблиц, сложить два числа, найти их разность, снова посмотреть в таблицы, сложить два числа и разделить их на два. Этот метод обозначается термином простаферезис (prosthaphaeresis), который образован от греческих слов, означающих сложение и вычитание, — prosthesis и aphaeresis.
Метод простаферезиса вдохновил шотландца Джона Непера на поиск еще более эффективного способа преобразования умножения в сложение, что в 1614 году привело к открытию логарифма. Вместо умножения двух чисел теперь можно было сложить их логарифмы. Логарифмы Непера существенно упростили процесс умножения, из-за чего метод простаферезиса утратил популярность. Тем не менее на протяжении нескольких десятилетий триумфа прямоугольный треугольник — квинтэссенция геометрии — играл двойную роль в качестве невидимого оружия арифметики.
Хотя треугольники, несомненно, весьма полезны по отдельности, в командной игре они особенно эффективны. Если нарисовать сеть треугольников (как показано на рисунке ниже) и измерить в ней все углы, то достаточно определить точную длину одной линии, чтобы рассчитать длину всех остальных линий сети. Предположим, нам известна точная длина линии, выделенной жирным; обозначим ее как l. Тригонометрическое тождество, которое принято называть теоремой синусов, дает нам формулу расчета длины двух других сторон треугольника:
где α — угол, противоположный жирной линии, β и γ — два других угла треугольника. Поскольку все углы в треугольниках сети известны, на основании длины каждой очередной линии можно вычислить длину двух других линий — и так далее, пока не будет известна длина каждой линии сети. Этот метод применим к любым треугольникам, а не только к прямоугольным.
В 1533 году голландский математик Гемма Фризиус понял, что метод триангуляции как нельзя лучше подходит для картографии, поскольку измерять углы гораздо легче, чем большие расстояния [10]. Его идея состояла в том, чтобы выбрать точки на местности так, чтобы от каждой из них было видно две других, и построить таким образом сеть треугольников. Он измерил углы между точками с помощью теодолита — круглого транспортира на подставке. Определив длину базисной линии, Гемма Фризиус смог рассчитать все остальные расстояния, используя тригонометрические таблицы, а затем нарисовал точную карту местности.
Триангуляция
Франция стала первой страной, в которой триангуляция была выполнена по всей территории, и произошло это в 1668 году. Единственная сложная задача в любом виде триангуляции заключается в измерении первого расстояния. Аббат Жан Пикар взял за основу участок прямой дороги от Вильжюиф до Жувиньи длиной в 11 километров, который тщательно измерил с помощью деревянных мерных реек. Затем Пикар отправился на север, используя в качестве вершин треугольников такие ориентиры, как часовые башни и вершины холмов, и измеряя только углы между ними. Добравшись до Атлантического океана, Пикар обнаружил, что побережье гораздо ближе расположено к Парижу, чем считалось раньше. «Твоя работа стоила мне приличной части моих владений!» — фыркнул Людовик XIV. Начатый Пикаром процесс триангуляции продолжался еще столетие после его смерти, пока территорию Франции не покрыли четыре сотни треугольников. Знаменитая карта Франции, составленная в итоге, содержала больше деталей, чем любая другая из созданных ранее карт, и была выполнена почти в том же масштабе, что и стандартные туристические карты Michelin, доступные в наше время.
Французы испытывали amour fou — безумную любовь к треугольникам. В 1735 году Людовик XV отправил две команды геодезистов-триангуляторов в противоположные концы Земли, для того чтобы решить важный научный спор. Земля — неидеальная сфера. Шли жаркие дискуссии вокруг того, какую форму она имеет — сплюснутую у полюсов (как грейпфрут) или на экваторе (как лимон). Эта тема стала предметом раздора между британцами, ратующими за первое, и французами, которые с ними не соглашались. Французы поняли, что можно правильно определить, на какой именно плод похожа Земля, сравнив расстояние, которое покрывает на поверхности Земли один градус широты у Северного полюса и у экватора. Если бы Земля имела форму идеальной сферы, длина одного градуса широты была бы везде одинаковой и составляла бы окружности Земли. Однако, если бы у полюсов это расстояние было больше, это означало бы, что земной шар сплюснут у полюсов, а если меньше, значит, у экватора. Французы отправили одну экспедицию в Лапландию, а другую — в сторону современного Эквадора в Южной Америке. Наблюдая за звездами, они рассчитали начальную широту, а затем в Лапландии начали строить сеть триангуляции строго на север, а в Эквадоре — строго на юг. В конечной точке триангуляции они снова определили широту посредством наблюдений за звездами. После длительной борьбы со снежными бурями и москитами в Скандинавии и высотной болезнью в Андах две группы пришли к выводу, что в Лапландии один градус широты длиннее. Британцы оказались правы: наш мир действительно похож на большой pamplemousse («грейпфрут» по-французски).
Французы использовали треугольник в качестве рабочего инструмента для социального и научного развития. Для Великобритании же это был инструмент управления империей [11]. Великое тригонометрическое исследование Индии, проводившееся в течение большей части XIX столетия, стало крупнейшим научным проектом своего времени. Говорят, по количеству погибших людей и потраченных денег оно превзошло многие индийские войны той эпохи. Процесс измерения начался с южной оконечности Индийского полуострова, продолжился по джунглям, Деканскому плоскогорью и северным равнинам и закончился в Гималаях под руководством полковника Джорджа Эвереста (правильное произношение его имени — «Иврест»).
В ходе триангуляции измеряются как горизонтальные, так и вертикальные углы, что дает возможность создать трехмерную сеть треугольников, позволяющую топографам измерить и высоту объектов, и расстояние между ними. В Гималаях высота горных вершин представляла наибольший интерес. В то время самой высокой в мире считалась гора Чимборасо в Эквадоре, высоту которой столетием ранее измерили французы. Гималаи с их покрытыми снегом вершинами называли величественными горами, но заявления о том, что они выше Анд, воспринимались как очередная небылица из страны фокусников и заклинателей змей. Однако это мнение изменилось, когда экспедиция Джорджа Эвереста добралась до цепи гор, вздымающихся в небо, у самой высокой из которых не было местного названия. Впоследствии ее нарекли «Эверест» — по имени полковника Эвереста. Это самая высокая гора в мире, и ее название все произносят неправильно.
