М. Бабаев - Гидравлика
При наклонности плоскости дна имеет место смачивание поверхности с площадью ω. Поэтому, в отличие от предыдущего случая, когда дно лежало в горизонтальной плоскости, нельзя сказать, что давление постоянно.
Чтобы определить его, разобьем площадь ω на элементарные площади dω, на любую из которых действует давление
По определению силы давления,
причем dP направлено по нормали к площадке ω.
Теперь, если определить суммарную силу которая воздействует на площадь ω, то ее величина:
Определив второе слагаемое в (3) найдем Рабс.
Pабс = ω(p0 + hц. е). (4)
Получили искомые выражения для определения давлений, действующих на горизонтальную и наклонную
плоскости: Ризб и Рабс.
Рассмотрим еще одну точку С, которая принадлежит площади ω, точнее, точку центра тяжести смоченной площади ω. В этой точке действует сила P0= ρ0ω.
Сила действует в любой другой точке, которая не совпадает с точкой С.
10. Определение силы давления в расчетах гидротехнических сооружений
При расчетах в гидротехнике интерес представляет сила избыточного давления Р, при:
р0 = ратм,
где р0 – давление, приложенное к центру тяжести.
Говоря о силе, будем иметь в виду силу, приложенную в центре давления, хотя будем подразумевать, что это – сила избыточного давления.
Для определения Рабс воспользуемся теоремой моментов, из теоретической механики: момент равнодействующей относительно произвольной оси равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси.
Теперь, согласно этой теореме о равнодействующем моменте:
Поскольку при р0 = ратм, P = ρghц. е.ω, поэтому dP = ρghdω = ρgsinθldω, следовательно (здесь и далее для удобства не будем различать ризб и рабс), с учетом P и dP из (2), а также после преобразований следует:
Если теперь перенесем ось момента инерции, то есть линию уреза жидкости (ось OY) в центр тяжести ω, то есть в точку С, то относительно этой оси момент инерции центра давления точки D будет J0.
Поэтому выражение для центра давления (точка D) без переноса оси момента инерции от той же линии уреза, совпадающие с осью OY, будет иметь вид:
Iy = I0 + ωl2ц.т.
Окончательная формула для определения места расположения центра давления от оси уреза жидкости:
lц. д. = lц. г.+ I0/S.
где S = ωlц.д. – статистический момент.
Окончательная формула для lц.д. позволяет определить центр давления при расчетах гидротехнических сооружений: для этого разбивают участок на составные участки, находят для каждого участка lц.д. относительно линии пересечения этого участка (можно пользоваться продолжением этой линии) со свободной поверхностью.
Центры давления каждого из участков находятся ниже центра тяжести смоченной площади по наклонной стенке, точнее по оси симметрии, на расстоянии I0/ωlц.u.
11. Общая методика определения сил на криволинейные поверхности
1. В общем случае, это давление:
Pz = ρgWg,
где Wg – обьем рассматриваемой призмы.
В частном случае, направления линий действия силы на криволинейную поверхность тела, давления зависят от направляющих косинусов следующего вида:
Сила давления на цилиндрическую поверхность с горизонтальной образующей полностью определена. В рассматриваемом случае ось OY направлена параллельно горизонтальной образующей.
2. Теперь рассмотрим цилиндрическую поверхность с вертикальной образующей и направим ось OZ параллельно этой образующей, что значит ωz = 0.
Поэтому по аналогии, как и в предыдущем случае,
где h'ц.т. – глубина центра тяжести проекции под пьезометрическую плоскость;
h' ц.т. – то же самое, только для ωy.
Аналогично, направление определяется направляющими косинусами
Если рассмотреть цилиндрическую поверхность, точнее, объемный сектор, с радиусом γ и высотой h, с вертикальной образующей, то
ωx = hy,
h'ц.т. = 0,5h.
3. Осталось обобщить полученные формулы для прикладного применения произвольной криволинейной поверхности:
12. Закон Архимеда. Условия плавучести погруженных тел
Следует выяснить условия равновесия погруженного в жидкость тела и следствия, вытекающие из этих условий.
Сила, действующая на погруженное тело – равнодействующая вертикальных составляющих Pz1, Pz2,т. е.:
Pz1 = Pz1 – Pz2 = ρgWТ. (1)
где Pz1, Pz2 – силы направленные вниз и вверх.
Это выражение характеризует силу, которую принято называть архимедовой силой.
Архимедовой силой является сила, равная весу погруженного тела (или его части): эта сила приложена в центр тяжести, направлена вверх и количественно равна весу жидкости, вытесненной погруженным телом или его частью. Мы сформулировали закон Архимеда.
Теперь разберемся с основными условиями плавучести тела.
1. Объем жидкости, вытесненной телом, называется объемным водоизмещением. Центр тяжести объемного водоизмещения совпадает с центром давления: именно в центре давления приложена равнодействующая сил.
2. Если тело погружено полностью, то объем тела W совпадает с WТ, если нет, то W < WТ, то есть Pz = ρgW.
3. Тело будет плавать только в том случае, если вес тела
GТ = Pz = ρgW, (2)
т. е. равен архимедовой силе.
4. Плавание:
1) подводное, то есть тело погружено полностью, если P = Gт, что означает (при однородности тела):
ρgW = ρтgWТ, откуда
где ρ,ρТ – плотность жидкости и тела соответственно;
W– объемное водоизмещение;
WТ – объем самого погруженного тела;
2) надводное, когда тело погружено частично; при этом глубину погружения низшей точки смоченной поверхности тела называют осадкой плавающего тела.
Ватерлинией называют линию пересечения погруженного тела по периметру со свободной поверхностью жидкости.
Площадью ватерлинии называется площадь погруженной части тела, ограниченной ватерлинией.
Линию, которая проходит через центры тяжести тела и давления, называют осью плавания, которая при равновесии тела вертикальна.
13. Метацентр и метацентрический радиус
Способность тела восстанавливать свое первоначальное равновесное состояние после прекращения внешнего воздействия называют остойчивостью.
По характеру действия различают статистическую и динамическую остойчивость.
Поскольку мы находимся в рамках гидростатики, то и разберемся со статистической остойчивостью.
Если образовавшийся после внешнего воздействия крен необратим, то остойчивость неустойчива.
В случае сохранения после прекращения внешнего воздействия, равновесие восстанавливается, то остойчивость устойчива.
Условием статистической остойчивости является плавание.
Если плавание подводное, то центр тяжести должен быть расположен ниже центра водоизмещения на оси плавания. Тогда тело будет плавать. Если надводное, то остойчивость зависит от того, на какой угол θ повернулось тело вокруг продольной оси.
При θ < 15o, после прекращения внешнего воздействия равновесие тела восстанавливается; если θ ≥ 15o, то крен необратим.
Точку пересечения архимедовой силы с осью плавания называют метацентром: при этом проходит также через центр давления.
Метацентрическим радиусом называют радиус окружности, частью которой является дуга, по которой центр давления перемещается в метацентр.
Приняты обозначения: метацентр – M, метацентрический радиус – γм.
При θ < 15о
где I0 – центральный момент плоскости относительно продольной оси, заключенной в ватерлинии.
После введения понятия «метацентр» условия остойчивости несколько изменяются: выше говорили, что для устойчивой остойчивости центр тяжести должен находиться выше центра давления на оси плавания. Теперь предоложим, что центр тяжести не должен находиться выше метацентра. В противном случае силы и будут увеличивать крен.
Как очевидно, при крене расстояние δ между центром тяжести и центром давления меняется в пределах δ< γм.
При этом расстояние между центром тяжести и метацентром называют метацентрической высотой, которая при условии (2) положительна. Чем больше метацентрическая высота, тем меньше вероятность крена плавающего тела. Наличие остойчивости относительно продольной оси плоскости, содержащей в себе ватерлинию, является необходимым и достаточным условием остойчивости относительно поперечной оси той же плоскости.
