Владимир Кирсанов - Научная революция XVII века
«Определение II. Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе» [15, I, с. 23].
«Определение III. Врожденная сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения» [15, I, с. 24-25].
«Определение IV. Приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения» [15, I, с. 25].
Первое среди этих определений, т. е. определение массы, неоднократно вызывало возражения. Многие видели в нем порочный круг: плотность есть количество материи на единицу объема. Э. Мах утверждал, например, что формулировка Ньютона равносильна констатации, что «масса есть масса», а А. Зоммерфельд назвал ньютоново определение «бессодержательным». Возможно, Ньютон действительно не очень четко сформулировал это понятие. Однако для него это не было столь существенным. Важно, что он все прекрасно понимал. В трактате «О тяжести и равновесии жидкостей», написанном в начале 70-х годов, мы находим следующее определение плотности: «Тела являются более плотными, если их инерция более сильная, и более разреженными, если их инерция более слабая» [16, с. 150].
Затем Ньютон вводит понятия абсолютного времени и абсолютного пространства. Он вынужден был прибегнуть к этому, так как считал, что Солнечная система покоится, а не движется равномерно. Кроме того, он думал, что существование абсолютного пространства обнаруживается в опытах вращательным движением.
Во втором предварительном разделе он дает «Аксиомы, или Законы движения» — то, что сегодня мы называем законами Ньютона:
«Закон I. Всякое тело продолжает пребывать в своем состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, поскольку оно не принуждается приложенными силами изменить это состояние.
Закон II. Изменение движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.
Закон III. Действию всегда есть равное противодействие, или: действия двух тел друг на друга равны и направлены в противоположные стороны» [17, I, с. 54—55].
За изложением Законов следует изложение Следствий — формулируется правило параллелограмма для сложения сил, законы сохранения количества движения и скорости центра тяжести, а также механический принцип относительности.
Отметим, что ньютоновская формулировка второго закона отличается от привычной для нас записи F = ma. Более того, Ньютон не говорит, как именно действует сила, и по-видимому, закон формулируется в предположении об импульсе силы. «Но по всему тексту “Начал” Ньютон использует закон для непрерывно действующей силы, включая тяготение. В действительности для Ньютона понятия импульса и постоянно действующей силы были инфинитезимально эквивалентны. Таким образом, существуют два условия действия сил во втором законе. Соответственно этот закон Ньютона может быть записан как f ~ d(mv) и в другой форме как f ~ d(mv)/dt, причем для этих двух видов записи требуется различный коэффициент пропорциональности. Две формулировки закона могут считаться эквивалентными вследствие ньютоновского понятия о равномерном течении времени, что делает dt некоторой вторичной константой, которая может быть произвольно включена в коэффициент пропорциональности» [18, с. 70].
Книга I открывается разделом, посвященным систематическому изложению теории пределов, которую Ньютон использует в «Началах». Доказательства теорем в этом разделе, как и во всей книге, даются в синтетико-геометрической форме, однако при внимательном чтении видно, «что скрытое математическое здание построено в манере целиком не-классической, при помощи предельных отношений бесконечно малых приращений рассматриваемых отрезков, координаты которых изменяются с изменением независимого параметра — времени» [6, VI, с. 24].
В последующих разделах доказывается второй закон Кеплера, а дальше рассматриваются различные задачи о движении тела в поле центральных сил. Среди них содержится ответ на вопрос, который Ньютону в свое время задавали Гук и Галлей, а именно, доказывается, что если тело движется в поле центральной силы, подчиняющейся закону обратных квадратов, то его орбитой будет эллипс, парабола или гипербола. В разделе VIII получен результат, эквивалентный доказательству закона сохранения полной энергии в поле центральной силы, хотя в явном виде формулировки такой теоремы нет. В разделе XI методами теории возмущений рассматривается задача трех тел. В конце Книги I приводится теорема о том, что две тяжелые сферы притягиваются друг к другу как две точечные массы, а затем излагается теория притяжения эллипсоидов.
Книга II, хотя и имеет тот же заголовок, что и Книга I — «О движении тел», отнюдь не является ее продолжением. Это совершенно отдельное сочинение, посвященное механике жидкости и газа, во времена Ньютона почти совершенно не изученной и не имевшей того теоретического фундамента, какой в механике точки составляли работы Кеплера, Галилея, Гюйгенса и других ученых. Эта Книга, пишет К. Трусделл, один из крупнейших современных специалистов по механике и ее истории, «является полностью оригинальной и во многом ошибочной. Дедуктивный метод, который столь замечательно представлен в Книге I, здесь отброшен, и с каждым новым рассуждением выдвигаются новые гипотезы. Здесь Ньютон проявляется во всем величии своего гения. Хотя его решения не всегда правильны, все же он — первый, кто выдвинул эти проблемы и энергично принялся за их разрешение» [19, с. 91]. Как и во многих других своих работах по истории науки, Трусделл в этом высказывании чересчур категоричен. Книга II оказывается отнюдь не столь «ошибочной»: в ней сформулирована теория подобия, рассмотрено распространение волн, причем Ньютон дает метод определения длины волны, устанавливает соотношения между длиной волны, ее скоростью и частотой колебаний; получен закон сопротивления для тела, движущегося в жидкости (сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости тела).
Последние несколько страниц Книги II составляет раздел «О круговом движении жидкостей». Возможно, что именно из-за этого раздела Ньютон поместил Книгу II в «Начала». В нем подвергается анализу представление Декарта, что все небесные тела движутся, увлекаемые вихрями тонкой материи, и доказывается, что такое представление не соответствует действительности. Последняя Теорема XLI, которую Ньютон доказывает в этом разделе, гласит: «Тела, которые при переносе вихрем описывают постоянно одну и ту же орбиту, должны обладать одинаковой с вихрем плотностью и двигаться по тому же закону, что касается скорости и ее направления, как и части самого вихря» [15, II, с. 445]. Следовательно, говорит Ньютон, «планеты не могут быть переносимы материальными вихрями... и гипотеза вихрей совершенно противоречит астрономическим наблюдениям и приводит не столько к объяснению движения небесных тел, сколько к их запутыванию» [15, II, с. 445—446].
Ньютон не зря назвал Книгу III «О системе мира». Действительно, он свел в единую систему законы природы и способы математических вычислений и показал в заключительной части своего труда, что большинство движений, с которыми мы сталкиваемся во Вселенной — от приливов до перемещений небесных тел, определяются одной-единственной силой, которую он назвал тяготением. Простота исходных предпосылок и неожиданное разнообразие следствий (как простых, так и отнюдь не тривиальных) — вот в чем сила ньютонова метода.
«Правила философствования («Regulae philosophandi» — правильнее перевести как «Правила рассуждений в науке»), открывающие Книгу III, отсутствовали в первом издании. Они представляют собой методологические принципы, которым должен следовать ученый в своих исследованиях: это видоизменение «бритвы Оккама», соединенное с принципом простоты и представлением о том, что все в Природе построено по аналогии.
Затем в Книге перечисляются так называемые «Явления», т. е. экспериментальные факты, которые должны получить теоретическое объяснение:
Явление I. Спутники Юпитера подчиняются третьему закону Кеплера.
Явление II утверждает то же самое для спутников Сатурна.
Явление III. Пять планет (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн) обращаются вокруг Солнца.
Явление IV. Пять планет движутся в соответствии с третьим законом Кеплера.
Явление V. Второй закон Кеплера выполняется, если за центр притяжения выбрать Солнце, а не Землю.
Явление VI. Второй закон Кеплера справедлив для Луны.
В последующих шести теоремах доказывается справедливость утверждений, содержащихся в «Явлениях», на основе результатов Книги I. В «Поучении», относящемся к тому же разделу, Ньютон подчеркивает, что причина центростремительной силы, посредством которой небесные тела удерживаются на своих орбитах, есть тяготение, а в Теореме VII формулирует закон всемирного тяготения: «Тяготение существует ко всем телам вообще и пропорционально массе каждого из них» [15, II, с. 464], добавляя, что сила тяготения по доказанному ранее обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами. Поскольку все небесные тела тяготеют друг к другу, законы Кеплера являются приближенными. Затем рассматриваются различные характеристики Солнечной системы и, наконец, количественная теория Луны и теория комет.
