Владимир Кирсанов - Научная революция XVII века
У Ньютона до сих пор такого ясного понимания не было. Но Гук своим письмом дал первый импульс цепной реакции исследований такой силы и такого размаха, что полученные Ньютоном результаты превзошли первоначальные догадки Гука. Ньютон сначала решил было не отвечать на письмо — он получил его в ноябре, спустя несколько месяцев после смерти матери, и очевидно, не хотел заниматься этим вопросом. Вместо этого он предложил «свои собственные соображения относительно суточного движения Земли, спиральной орбиты, по которой двигалось бы свободно падающее тело, если бы оно падало без сопротивления и внутри земной поверхности, и после нескольких оборотов оно достигло бы, двигаясь по спирали, центра Земли (или было бы весьма к нему близко)» [Письмо Ньютона Гуку 28 ноября 1679 г. 4, II, с. 300-303; 12].
Гук ответил, что такая орбита не была бы спиралью. Он считал, что, согласно «его теории кругового движения», тело в отсутствие сопротивления двигалось бы не по спирали, а по «роду эллиптоида» (a kind of Elliptuoid), а сама орбита «напоминала бы эллипс» и что этот вывод основан на «его теории кругового движения, составленного из прямого (т. е. тангенциального) движения и притягательного движения к центру» [Письмо Гука Ньютону 9 декабря 1679 г. 4, II, с. 304—306]. Ньютон не мог игнорировать такого прямого несоответствия высказанной им точке зрения. 13 декабря 1679 г. он написал Гуку: «Я согласен с Вами, что... если его тяжесть предполагать однородной, тело будет не опускаться по спирали к самому центру, а обращаться с переменным опусканием и подъемом, описывая вокруг центра Земли фигуру, напоминающую трилистник. Причина заключается в том, что “его центробежная сила и тяжесть попеременно возобладают друг над другом”» [4, II, с. 307—309].
Ньютон здесь отказывался принять представление об эллиптической орбите, возникающей вследствие тяготения, убывающего как некоторая степень расстояния, хотя задолго до этого доказал, что для кругового движения комбинация третьего закона Кеплера и правила для центробежной силы дает закон центробежной силы как функции обратного квадрата расстояния. Нет никаких данных о том, почему Ньютон выказывал такое недоверие — вследствие ли плохого результата раннего «лунного» эксперимента или же вследствие других причин. В конце письма он просит Гука высказаться по поводу предлагаемой гипотезы и внести свои поправки.
Ответ Гука не заставил себя ждать. В письме от 6 января 1680 г. он писал: «Но мое предположение состоит в том, что притяжение всегда действует в обратном двойном отношении к расстоянию от центра, и следовательно, скорость будет в половинном отношении к притяжению, и следовательно, как Кеплер полагал, обратна к расстоянию» [4, II, с. 309].
Гук утверждал также, что его представление «является весьма удобопонятным и истинно объясняет все явления на небе» и что «нахождение свойств кривой, выведенное из свойств двух принципов, будет весьма важным для человечества», так как определение долготы по астрономическим данным есть его неооходимое следствие. Спустя несколько дней Гук отваживается на прямой вызов Ньютону: «Теперь остается узнать свойства кривой линии (ни круговой, ни концентрической), определяемой центральной силой притяжения, которая определяет скорости уклонения от касательной линии или равного прямого движения на всех расстояниях в двойном обратном отношении к расстояниям. Я не сомневаюсь, что при помощи Вашего замечательного метода Вы сможете легко найти, что это должна быть за кривая и каковы ее свойства, а также предложить физическое объяснение этого отношения» [Письмо Гука Ньютону 17 января 1680 г. 4, II, с. 313].
Ньютон тогда не ответил, но вызов принял. Как следует из исследований Херивела [13, с. 247—253], Ньютон в начале 1680 г. доказал, что в поле силы, подчиняющейся закону обратных квадратов, планета движется по эллиптической орбите. Позднее он сам так рассказывал об этом: «Я нашел, что каков бы ни был закон сил, удерживающих планеты на орбите, площади, описываемые радиусом, проведенным от них к Солнцу, будут пропорциональны временам описания. И... что эти орбиты будут эллипсами, как описал Кеплер, если силы, удерживающие их на орбитах вокруг Солнца, понимаются обратно пропорциональными квадратам их расстояний от Солнца» [14, с. 293].
Однако прошло еще четыре года, прежде чем кто-либо об этом узнал. К 1684 г. вопрос о том, как получить законы Кеплера исходя из общих принципов механики, стал одним из центральных в среде английских ученых. В январе 1684 г. он стал предметом обсуждения на заседании Королевского общества, где присутствовали астроном Галлей, архитектор Рен и Гук. Гук заявил, что он может вывести все законы Кеплера из предположения, что сила притяжения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, но доказательства не представил. Тогда Рен предложил приз — книгу стоимостью в 2 фунта — тому, кто решит эту проблему в течение двух месяцев. Но два месяца прошли, а решение все еще не было найдено. Дело сдвинулось с мертвой точки лишь тогда, когда в августе 1684 г. обратились к Ньютону. По свидетельству Де Муавра, записанного со слов Ньютона, все произошло так: «В 1684 г. доктор Галлей посетил его в Кембридже. Спустя некоторое время после приезда доктор спросил его, какой по его мнению должна быть кривая, которую описывает вокруг Солнца планета, в предположении, что сила притяжения к Солнцу обратно пропорциональна квадрату расстояния от него. Сэр Исаак немедленно ответил, что кривая будет эллипсом. Доктор в возбуждении спросил, откуда ему это известно. Я рассчитал, — ответил тот. Тогда доктор Галлей попросил сейчас же показать расчеты. Сэр Исаак порылся в бумагах, но найти их не смог. Тем не менее он пообещал возобновить расчеты и послать их Галлею» [2, с. 403].
Ньютон сдержал свое обещание: в ноябре того же года Галлей получил небольшой трактат (в нем было всего девять страниц), озаглавленный «О движении тел по орбите» («De motu corporum ingirum»). В нем не только было доказано, что эллиптическая форма орбиты обусловливает закон обратных квадратов для притяжения тела, помещенного в фокусе, но было также намечено доказательство первоначальной задачи, поставленной Гуком в 1680 г.: из закона обратных квадратов следует, что орбита представляет собой коническое сечение, которое является эллипсом, если скорость планеты не превышает некоторой величины. Кроме того, в трактате выводились второй и третий законы Кеплера и рассматривалось движение снаряда в сопротивляющейся среде.
«De motu» открывается двумя определениями и двумя гипотезами. В Определении I Ньютон вводит в механику новое понятие: «Я называю то, посредством чего тело направляется или притягивается к некоторой точке, рассматриваемой как центр, центростремительной силой» [13, с. 277]. Позднее Ньютон объяснил, что назвал силу «центростремительной» (vis centripeta) no аналогии с гюйгенсовским термином «центробежная сила» (vis centrif uga).
Затем следует Определение II, касающееся прямолинейного движения: «Я называю то, посредством чего тело стремится продолжать пребывать в движении по прямой линии, силой тела или врожденной силой».
Гипотеза II расширяет это определение до фундаментального закона: «Под действием одной лишь врожденной силы каждое тело движется по прямой линии бесконечно, если только что-либо этому не препятствует» [13, с. 277].
В трактате сделана попытка вывести движение по орбите как следствие двух сил: врожденной силы, которая поддерживает прямолинейное движение, и центростремительной силы, которая его постоянно изгибает. Чтобы объединить эти две силы, Ньютон использует параллелограмм сил, который введен в трактат как Гипотеза III: «Под действием двух сил одновременно тело в данное время перемещается в то место, куда оно было бы перемещено этими силами, действующими раздельно и одна за другой в течение равных времен» [13, с. 278].
Теорема I рассматривает силу как последовательность дискретных импульсов, производимых в равные промежутки времени. Используя параллелограмм сил и элементарную геометрию треугольников, Ньютон показывает, что площади, заметаемые радиусом-вектором в последовательные равные интервалы, равны. Это утверждение справедливо и в предельном случае, когда треугольники становятся бесконечно малыми и многоугольник приближается к кривой. Таким образом доказывается справедливость первого закона Кеплера для траектории, которую описывает тело под действием одной внешней (центростремительной) силы.
В двух последующих теоремах, где речь идет о мере центростремительной силы, Ньютон использует другой подход к понятию силы и, следовательно, другую математику. Здесь действие силы рассматривается не как последовательность импульсов, а как непрерывное действие. В качестве математического аппарата используется метод флюксий, т. е. дифференциальное исчисление. В результате Ньютон получает, что движение под действием центростремительной силы является равноускоренным: «Путь, который тело проходит под действием центростремительной силы с момента начала движения, пропорционален квадрату времени» [13, с. 278].
