Стивен Вайнберг - Объясняя мир. Истоки современной науки
Чтобы получить такой результат, допустим, что свет проходит от точки PA в среде A, где скорость света равна vA, к точке PB в среде B, в которой скорость света равна vB. Для простоты описания задачи предположим, что поверхность границы раздела сред горизонтальна. Обозначим углы между направлениями лучей света в первой и второй средах и вертикалью i и r соответственно. Если точки PA и PB находятся на соответствующих вертикальных расстояниях dA и bB от границы раздела, то горизонтальные промежутки между этими точками и той точкой, где луч пересекает поверхность, равны, соответственно, dA tg i и dB tg r, где символ «tg» обозначает функцию тангенса угла, отношения длины противолежащего катета к длине прилежащего катета в прямоугольном треугольнике (см. рис. 21). Хотя мы не фиксируем заранее эти два расстояния, их сумма нам известна – это горизонтальное расстояние L между точками PA и PB:
Чтобы вычислить время t, которое требуется свету для преодоления пути из PA в PB, обратим внимание, что пройденное им расстояние в средах A и B равняется dA/cos i и dB/cos r, соответственно, где «cos» – обозначение функции косинуса угла, отношения длины прилежащего к углу катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Время равно расстоянию, деленному на скорость, поэтому полное время будет таково:
Нам необходимо найти общую зависимость между углами i и r (не включающую параметры L, dA или dB), которая удовлетворяет условиям: угол i таков, что общее время t минимально, а величина r связана с величиной i таким образом, что L остается фиксированным. Для этого введем в рассмотрение δi, ничтожно малое изменение δ (дельта) угла падения луча i. Так как горизонтальное расстояние между PA и PB постоянно, при изменении угла i на δi угол преломления r также должен измениться, допустим, на величину δr, при условии сохранения расстояния L. Также в точке минимума функции времени t в зависимости от угла i график этой функции должен иметь горизонтальный участок, поскольку, если t в какой-то точке увеличивается или уменьшается, значит, его минимальное значение соответствует какому-то другому значению аргумента i, где сама функция t меньше. Это означает, что изменение t, вызванное ничтожно малым изменением угла δi, обращается в ноль, по крайней мере с точностью до первого порядка величины δi.
Рис. 21. Путь луча света, испытывающего преломление. Горизонтальной линией отмечена граница двух прозрачных сред A и B, в которых свет имеет различные скорости vA и vB. Углы i и r измеряются между направлениями светового луча и вертикальной штриховой линией, обозначающей перпендикуляр к границе раздела сред. Сплошная линия со стрелками отмечает путь следования луча из точки PA в среде A до точки P на границе раздела сред и затем до точки PB в толще среды B.
Поэтому, чтобы найти путь, для прохождения которого свету требуется наименьшее время, мы можем ввести условие: при одновременном изменении i и r изменения δL и δt должны оставаться нулевыми с точностью до первого порядка величин δi и δr.
Чтобы удовлетворить ему, нам необходимо взять пару стандартных формул дифференциального исчисления для бесконечно малых изменений значений функций δ tg θ (тета) и δ (1/cos θ), которые получаются, когда мы изменяем угол-аргумент θ на бесконечно малую величину δθ:
где R = 360°/2π = 57,293…° в случае, когда θ измеряется в градусах (это угол размером в один радиан. При измерении углов в радианах R = 1). По этим формулам мы находим изменения L и t в случае, когда мы меняем углы i и r на бесконечно малые величины δi и δr:
Заданное условие δL = 0 говорит нам, что
поэтому:
Полученное выражение приравнивается к нулю, если удовлетворяется равенство
или, иначе говоря,
причем показатель преломления n получается из отношения скоростей, не зависящего от углов:
n = vA / vB.Это и есть истинный закон преломления света, в котором формула для показателя преломления n верна.
29. Теория радуги
Пусть луч света проникает в сферическую каплю дождя в некоторой точке P на ее поверхности, образуя угол i с нормалью (перпендикуляром) к ее поверхности в этой точке. Если бы преломления света не было, луч продолжал бы идти дальше сквозь каплю по прямой. В этом случае радиус, проведенный из центра капли C к точке Q, лежащей на этой прямой в том месте, где она наиболее близко пролегает к центру капли, образовывал бы с лучом прямой угол, поэтому треугольник PCQ был бы прямоугольным с гипотенузой, равной радиусу капли R, и углом при точке P, равным i (см. рис. 22а). Определим прицельный параметр b как расстояние наибольшего тесного сближения непреломленного луча с центром капли, то есть катетом CQ в этом треугольнике, который по правилам элементарной тригонометрии равен:
b = R sin i.С точки зрения положения точки входа в каплю отдельные лучи света можно одинаково хорошо охарактеризовать присущим им отношением b/R, как делал Декарт, или же по значению угла падения i.
В силу явления преломления луч на самом деле войдет внутрь капли под углом r к перпендикуляру к поверхности, значение которого определяется законом преломления:
где n ≈ 4/3 – отношение скорости света в воздухе к скорости света в воде. Луч пересечет толщу капли и достигнет поверхности с обратной стороны в точке P’. Поскольку расстояния между центром C и обеими точками P и P’ одинаковы и равны радиусу капли R, треугольник с вершинами C, P и P’ является равнобедренным, поэтому углы между направлением луча и перпендикулярами к поверхности в точках P и P’ должны быть одинаковы, то есть и тот и другой равны r. Часть света отразится в точке P’ от внутренней поверхности капли: по закону отражения угол между отраженным лучом и перпендикуляром к поверхности в ней будет опять же равен r. Затем отраженный луч снова пересечет толщу капли и достигнет ее передней поверхности в точке P’’, снова образуя с поверхностью угол r.
Рис. 22. Путь солнечного луча внутри сферической дождевой капли. Луч обозначен сплошными отрезками с указывающими направление стрелками: он входит внутрь капли в точке P под углом i к перпендикуляру к поверхности: а) путь луча, если бы явления преломления не было: луч в этом случае приближается к центру капли C в точке Q; б) луч преломляется, входя в каплю в точке P, отражается от задней поверхности капли в точке P’ и снова подвергается преломлению в момент выхода из капли в точке P’’. Пунктирные линии проведены из центра капли C к точкам контакта луча с поверхностью капли.
Часть света затем покидает каплю, и по закону преломления угол между выходящим наружу лучом и перпендикуляром к поверхности в точке P’’ будет равен исходному углу падения i (см. рис. 22 – здесь показана схема следования луча в плоскости, проходящей через падающий луч, центр капли и наблюдателя. Только те лучи, которые встречаются с каплей, находясь в этой плоскости, имеют возможность достигнуть наблюдателя).
