Стивен Вайнберг - Объясняя мир. Истоки современной науки
где l остается постоянной, в то время как a стремится к бесконечности. Так как e здесь предельно приближается к единице, малая полуось будет выражаться как:
Принимая, что z0 = a, и используя эту формулу для b², приведем уравнение эллипса к следующему виду:
Из левой части вычитаем слагаемое a²/a², а из правой – равную ему единицу. Затем обе части умножаем на a и получаем:
В случае, когда a значительно больше x, y или l, можно опустить первый член, и уравнение приходит к виду:
Это то же самое уравнение, которое мы выше вывели для описания движения горизонтально выстреливаемой пули, если мы примем, что:
так что фокус параболы F находится на расстоянии l = v²/2g ниже начальной позиции пули (см. рис. 19).
Рис. 19. Параболическая траектория пули, которой стреляют горизонтально с возвышенности. Точка F – фокус параболы.
Параболы, как и эллипсы, можно рассматривать как конические сечения, но в случае параболы плоскость, которой рассекается конус, параллельна поверхности конуса. Принимая, что уравнение конуса, центральная ось которого совпадает с осью z, имеет вид √(x² + y²) = α (z − z0), а уравнение плоскости, параллельной данному конусу, просто y = α (z − z0), где z0 – произвольная константа, кривая пересечения конуса и плоскости удовлетворяет равенству:
Сокращая члены α²z² и α²z0², переходим к виду:
что совпадает с уже полученной нами формулой в случае, когда z0 = l/α². Обратите внимание, что парабола любой формы может быть получена сечением любого конуса при любом значении углового коэффициента α, потому что форма параболы (но не ее расположение или ориентация) целиком зависит лишь от аргумента l, выражаемого в единицах длины. Нам не нужен никакой безразмерный параметр наподобие α или эксцентриситета эллипса.
27. Вывод закона преломления света по аналогии с теннисным мячиком
Декарт попытался вывести закон преломления света, основываясь на предположении о том, что луч света преломляется при переходе из одной среды в другую подобно тому, как меняет направление движения теннисный мячик, пробивающий экран из тонкой ткани. Допустим, что такой мячик ударяется о ткань наклонно со скоростью vA. При этом он потеряет часть скорости и после прохождения сквозь ткань будет иметь скорость vB < vA, но мы не ожидаем, что это столкновение приведет к изменению компоненты скорости мячика, направленной вдоль экрана. Можно нарисовать прямоугольный треугольник, катеты которого будут соответствовать перпендикулярной и параллельной компонентам начальной скорости мячика по отношению к экрану, а гипотенуза будет обозначать полную скорость vA. Если исходная траектория расположена под углом i к перпендикуляру к поверхности, тогда компонента скорости параллельно ткани будет равна vA sin i (см. рис. 20). Аналогично, если после пробивания преграды путь мячика идет дальше под углом r к тому же перпендикуляру, то параллельная поверхности компонента скорости составит vB sin r. Вслед за Декартом предполагая, что пробивающий ткань мячик меняет лишь поперечную, а не продольную скорость, получаем:
и, следовательно,
где n является отношением
Рис. 20. Скорости теннисного мячика. Горизонтальная линия обозначает экран из ткани, которую пробивает теннисный мячик с начальной скоростью vA и скоростью после события vB. Прямые линии со стрелками показывают масштаб и направления этих скоростей. На этом чертеже путь мячика претерпевает излом, становясь ближе к перпендикуляру к поверхности, как это происходит в случае, когда луч света попадает в более плотную среду. Это показывает, что пробивание мячиком тканевого экрана явно уменьшает компоненту его скорости, направленную вдоль поверхности, в противоположность тому, что предполагал Декарт.
Уравнение (1) известно как закон Снеллиуса, верно описывающий случай преломления света. К несчастью, аналогия между светом и теннисным мячиком теряет смысл при рассмотрении уравнения (2), дающего нам величину n: дело в том, что для теннисных мячей vB меньше, чем vA, и уравнение (2) дает n < 1, тогда как в случае, когда свет проникает из воздушной среды внутрь стекла или воды, получается n > 1. Плохо и другое: нет оснований полагать, что для теннисного мячика отношение vB/vA действительно не зависит от углов i и r, поэтому пользы от уравнения (1) в таком виде мало.
Как доказал Ферма, когда свет проходит границу между средой, где его скорость равна vA, и другой средой, где скорость равна vB, показатель преломления n в действительности равен отношению vA/vB, а не vB/vA. Декарт не знал, что скорость света конечна, и предложил необоснованное объяснение тому, почему n больше единицы в том случае, когда среда A – воздух, а среда B – вода. Для задач XVII в., таких как декартова теория радуги, это было неважно, так как n считался не зависящим от угла падения, что хоть и не верно для мячиков, верно для света, и к тому же значение показателя бралось из наблюдений, а не выводилось на основе измерений скорости света в различных средах.
28. Вывод закона преломления света на основе принципа наименьшего времени
Герон Александрийский сформулировал закон отражения световых лучей так: угол наклона отраженного луча равен углу наклона падающего. Он исходил из предположения, что путь луча света от объекта к поверхности зеркала и затем к наблюдателю должен быть как можно короче. Точно так же он мог положить в основу и правило о том, что путь луча должен занимать самое короткое время, поскольку время, нужное свету, чтобы преодолеть заданное расстояние, равно частному от деления этого расстояния на скорость света, а в процессе отражения скорость света не изменяется. Однако, когда наблюдается явление преломления, свет проходит сквозь границу двух сред (например, воздуха и стекла), в которых его скорость различна, и приходится рассматривать разницу между понятиями кратчайшего пути и наименьшего времени. Один только факт, что луч света меняет направление на границе сред, говорит о том, что преломленный свет не следует по самому короткому пути в этом случае – прямой линии. Зато, как доказал Ферма, истинный закон преломления света можно вывести, предполагая, что свет стремится затратить как можно меньше времени, чтобы достигнуть цели.
Чтобы получить такой результат, допустим, что свет проходит от точки PA в среде A, где скорость света равна vA, к точке PB в среде B, в которой скорость света равна vB. Для простоты описания задачи предположим, что поверхность границы раздела сред горизонтальна. Обозначим углы между направлениями лучей света в первой и второй средах и вертикалью i и r соответственно. Если точки PA и PB находятся на соответствующих вертикальных расстояниях dA и bB от границы раздела, то горизонтальные промежутки между этими точками и той точкой, где луч пересекает поверхность, равны, соответственно, dA tg i и dB tg r, где символ «tg» обозначает функцию тангенса угла, отношения длины противолежащего катета к длине прилежащего катета в прямоугольном треугольнике (см. рис. 21). Хотя мы не фиксируем заранее эти два расстояния, их сумма нам известна – это горизонтальное расстояние L между точками PA и PB:
