Макс Тегмарк - Наша математическая вселенная. В поисках фундаментальной природы реальности
Рис. 2.6. Трудно представить себе, что пространство может быть конечным. Если оно где-то заканчивается, то что находится дальше, за его краем?
Однако в середине XIX века математики Карл Фридрих Гаусс, Янош Бойяи и Николай Лобачевский независимо друг от друга открыли, что существуют и другие логические возможности для однородного трехмерного пространства. Бойяи в восторге писал отцу: «Из ничего я создал странный новый мир». Новые пространства подчиняются новым правилам: так, они более не обязаны быть бесконечными, каковым представлялось пространство Евклиду, а углы треугольника не обязательно дают в сумме 180°. Представьте себе треугольники на двумерных поверхностях трехмерных фигур. Сумма трех их углов больше 180° на сфере (рис. 2.7, слева), 180° на цилиндре (в середине) и меньше 180° на гиперболоиде (справа). Более того, двумерная поверхность сферы конечна, хотя на ней нет ничего похожего на край.
Этот пример показывает, что правила евклидовой геометрии могут нарушаться на поверхности, если она не плоская. Однако идеи Гаусса и других математиков были еще радикальнее: пространство может быть искривленным само по себе, даже если оно не является поверхностью чего-либо! Предположим, вы – слепой муравей, желающий знать, по какой из фигур на рис. 2.7 вы ползаете. Вы чувствуете себя так, будто живете в двумерном пространстве, поскольку не можете выйти в третье измерение (оторваться от поверхности), но это не препятствует вашей детективной работе: вы по-прежнему можете определить прямую линию (как кратчайший путь между двумя точками), а значит, и суммировать величины трех углов треугольника. Например, если вы получите 270°, то воскликнете: «Это больше 180°, значит, я на сфере!» Чтобы еще больше впечатлить друзей-муравьев, вы даже можете рассчитать, как далеко нужно пройти по прямой, чтобы вернуться в исходную точку. Иными словами, все обычные для геометрии объекты – точки, прямые, углы, кривые и т. д. – можно строго определить, оставаясь в двумерном пространстве безо всяких ссылок на третье измерение. Это означает, что математики могут строго определить кривизну двумерной поверхности, даже если третьего измерения не существует: двумерное пространство может быть искривленным само по себе, не являясь поверхностью чего-либо.
Рис. 2.7. Если нарисовать треугольники на этих поверхностях, сумма их углов окажется больше 180° (слева), 180° (посередине) и меньше 180° (справа). Эйнштейн считал, что в нашем трехмерном физическом пространстве для треугольников возможны все эти варианты.
Вероятно, математическое открытие неевклидовых пространств полтора столетия назад казалось большинству людей не более чем абстракцией, не имеющей практического отношения к нашему физическому миру. Затем Эйнштейн выдвинул общую теорию относительности, которая, по сути, утверждала, что мы – муравьи. Теория Эйнштейна позволяет нашему трехмерному пространству быть искривленным без всякого скрытого четвертого измерения, в котором оно искривлялось бы. Так что на вопрос, в пространстве какого типа мы живем, нельзя ответить, исходя из одной логики, как надеялись сторонники Евклида. Решить эту задачу можно, лишь выполнив измерения, например построив в космосе огромный треугольник (скажем, из лучей света) и проверив, равна ли сумма его углов 180°. В гл. 4 я расскажу, как мы с коллегами развлекались, проделывая это. Ответ оказался близок к 180° для треугольников размером с Вселенную, но значительно превосходящим 180°, если большую часть треугольника занимает нейтронная звезда или черная дыра. Так что форма нашего физического пространства сложнее, чем в трех примерах на рис. 2.7.
Вернемся к детскому вопросу о конечности пространства. Мы видим, что теория Эйнштейна позволяет пространству быть конечным далеко не таким глупым способом, как на рис. 2.6: оно может быть конечным за счет искривленности. Например, если наше трехмерное пространство искривлено подобно поверхности четырехмерной гиперсферы, то, будь у нас возможность достаточно далеко уйти по прямой линии, мы в конце концов вернулись бы домой с противоположной стороны. Мы не упали бы с края трехмерного пространства, поскольку у него нет края, как нет края и у сферы, по которой ползет муравей (рис. 2.7).
В действительности, Эйнштейн позволяет нашему трехмерному пространству быть конечным, даже если оно не искривлено. Цилиндр на рис. 2.7 в математическом смысле плоский: если нарисовать треугольник на бумажном цилиндре, сумма его углов составит 180°. Чтобы убедиться в этом, вырежьте из цилиндра треугольник: он ровно ляжет на стол. Со сферой или гиперболоидом это не получится сделать без складок или разрывов бумаги. Но хотя цилиндр на рис. 2.7 кажется плоским для муравья, ползущего по небольшому участку, цилиндр замкнут на себя: муравей может вернуться домой, обойдя его вокруг по прямой линии. Математики называют подобные характеристики связности пространства его топологией. Они дали определение плоскому пространству, замкнутому на себя по всем измерениям, и назвали такое пространство тором. Двумерный тор имеет такую же топологию поверхности, как у баранки. Эйнштейн допускает, что физическое пространство, в котором мы живем, представляет собой трехмерный тор и является в таком случае плоским и конечным. Или бесконечным.
Обе эти возможности прекрасно согласуются с лучшей имеющейся у нас теорией о пространстве – общей теорией относительности Эйнштейна. Но какое оно? В гл. 4 и 5 мы найдем свидетельство того, что пространство все-таки бесконечно. Но поиск ответа на детский вопрос приводит нас к другой проблеме: чем в действительности является пространство? Хотя все мы сначала думаем о пространстве как о чем-то физическом, образующем ткань нашего материального мира, теперь мы видим, что математики говорят о пространствах как о математических сущностях. Для них изучение пространства – то же самое, что изучение геометрии, а геометрия – просто часть математики. Вполне можно считать, что пространство – это математический объект в том смысле, что все внутренне присущие ему свойства – такие как размерность, кривизна и топология – математические. Мы рассмотрим этот аргумент в гл. 10.
В этой главе мы, изучив свое положение в пространстве, обнаружили, что Вселенная гораздо больше, чем казалось нашим предкам. Чтобы по-настоящему понять, что происходит на огромных расстояниях, можно вести наблюдения с помощью телескопов. Однако определить свое место в пространстве недостаточно. Нам необходимо знать и свое место во времени.
Резюме
• Раз за разом люди убеждались, что физическая реальность гораздо больше, чем мы представляли, что известный нам мир входит в состав куда более грандиозных структур: нашей планеты, Солнечной системы, Галактики, сверхскопления галактик и т. д.
• Общая теория относительности (ОТО) Эйнштейна допускает, что пространство может тянуться бесконечно.
• ОТО допускает альтернативные варианты: пространство конечно, но не имеет границы, так что если вы будете двигаться достаточно долго и быстро, то сможете вернуться с противоположной стороны.
• Ткань нашего физического мира, пространство само по себе может быть чисто математическим объектом в том смысле, что все имманентно присущие ему свойства (размерность, кривизна и топология) – математические.
Глава 3. Наше место во времени
Подлинное знание – это знание пределов своего неведения.
КонфуцийВысшая форма невежества – отвергать что-то, о чем вы ничего не знаете.
Уэйн ДайерОткуда взялась Солнечная система? Однажды в школе, во втором классе, мой сын Филипп вступил в полемику по этому вопросу. Разговор был примерно таким:
– Я думаю, Солнечную систему создал Бог, – сказала одноклассница.
– Мой папа говорит, что она возникла из гигантского молекулярного облака, – перебил Филипп.
– А откуда взялось гигантское молекулярное облако? – спросил другой мальчик.
– Может быть, Бог создал гигантское молекулярное облако, а после гигантское молекулярное облако породило Солнечную систему, – сказала девочка.
Бьюсь об заклад: с тех пор, как на Земле появились люди, они вглядываются в ночное небо и удивляются, откуда все взялось. Как и в прошлом, есть вещи, которые мы знаем, и вещи, которых мы не знаем. Нам многое известно о том, что существует здесь и сейчас, а также мы довольно много знаем о событиях, близко отстоящих в пространстве и времени – скажем, что находится у нас за спиной или что мы ели на завтрак. Двигаясь вдаль и в прошлое, мы в конце концов сталкиваемся с пределами своего знания. В предыдущей главе мы видели, как человеческая изобретательность постепенно отодвигала этот предел все дальше в пространстве. Теперь рассмотрим, как люди отодвигали эту границу во времени.
