Макс Тегмарк - Наша математическая вселенная. В поисках фундаментальной природы реальности
Расстояние до Солнца и планет
А что можно сказать о Солнце? Попробуйте закрыть его мизинцем, и вы увидите, что оно перекрывает почти такой же угол, как и Луна: около половины градуса. Очевидно, что оно дальше Луны, поскольку во время солнечных затмений Луна закрывает его от нас (хотя и чуть-чуть), но насколько оно дальше? Это зависит от его размеров: например, если оно втрое больше Луны, то, чтобы перекрывать тот же угол, ему следует находиться в три раза дальше.
Аристарх Самосский смог дать разумный ответ и на этот вопрос. Солнце, Луна и Земля образуют прямоугольный треугольник в моменты, когда Луна оказывается в фазе первой или последней четверти, то есть когда Солнце освещает ровно половину обращенной к нам стороны Луны (рис. 2.4). Аристарх оценил угол между Луной и Солнцем в этот период время в 87°[6]. Таким образом, ученый узнал длину стороны Земля – Луна треугольника Земля – Луна – Солнце и смог с помощью тригонометрических формул вычислить длину стороны Земля – Солнце, то есть расстояние между Землей и Солнцем. Он пришел к выводу, что Солнце находится примерно в 20 раз дальше Луны, а значит, оно в 20 раз крупнее ее. Иными словами, Солнце имело колоссальный размер – в пять с лишним раз больше Земли в поперечнике. Это подтолкнуло Аристарха к тому, чтобы (задолго до Николая Коперника) выдвинуть гелиоцентрическую гипотезу: он чувствовал, что разумнее считать Землю обращающейся вокруг более крупного Солнца, нежели наоборот.
Рис. 2.4. Измерив угол между Солнцем и Луной в фазе первой или последней четверти, Аристарх Самосский получил возможность оценить расстояние до Солнца. (На этом рисунке масштаб не соблюден: Солнце примерно в 100 раз больше Земли и примерно в 400 раз дальше от нас, чем Луна.)
Эта история одновременно вдохновляет и предостерегает. Она учит тому, как важно найти оригинальный подход и верно оценивать погрешности измерений. Последнее у древних греков получалось хуже, и Аристарх, к сожалению, не исключение. Оказалось очень трудно определить, когда Луна освещена ровно на 50 %, а правильное значение угла между Луной и Солнцем в этот момент составляет не 87°, а около 89,85°, что очень близко к прямому углу. Это делает треугольник (рис. 2.4) очень длинным и узким: в действительности Солнце почти в 20 раз дальше, чем подсчитал Аристарх, и примерно в 109 раз больше Земли в диаметре (так что в объеме Солнца уместилось бы более 1 млн таких планет, как Земля). К сожалению, эта грубая ошибка оставалась неисправленной в течение 2 тыс. лет. Когда за дело взялся Коперник, рассчитавший размеры и форму Солнечной системы, он правильно определил взаимное расположение и относительные размеры планетных орбит, но масштаб его модели Солнечной системы был занижен примерно в 20 раз. Это все равно, что перепутать настоящий дом с кукольным.
Расстояние до звезд
А что можно сказать о звездах? Насколько они далеки? И что они такое? Я думаю, что это одно из величайших в истории «глухих» детективных дел. Определение расстояний до Луны и Солнца было впечатляющим достижением, но тут, по крайней мере, имелась в качестве подсказки некоторая информация: они интересным образом меняли свое положение на небе, их форму и угловые размеры можно было измерять. Но звезда представляется совершенно безнадежным случаем! Она кажется тусклой белой точкой. Вы присматриваетесь и видите… всю ту же тусклую белую точку без малейших признаков формы и размера. Просто светящуюся точку. И, похоже, звезды не перемещаются по небу, если не считать видимого вращения всех звезд вместе, которое является иллюзией, вызванной вращением Земли.
Кое-кто в древности считал, что звезды – это маленькие отверстия в черной сфере, сквозь которые просачивается далекий свет. Джордано Бруно, напротив, предположил, что звезды подобны нашему Солнцу, но находятся очень далеко и, возможно, обладают собственными населенными планетами. Эти рассуждения не понравились католической церкви, и Бруно сожгли в 1600 году на костре.
В 1608 году неожиданно появился проблеск надежды: был изобретен телескоп. Галилео Галилей быстро его усовершенствовал и, посмотрев на звезды, увидел… лишь белые точки. Возвращаемся на исходную позицию. У меня есть звукозапись, на которой я ребенком играю «Ты свети, звезда, мерцая» на пианино моей бабушки Сигне. Еще недавно, в 1806 году, когда эта песня появилась, строчка «Кто ты в темной вышине?» продолжала волновать многих, и никто не мог, положа руку на сердце, сказать, что он знает ответ.
Если звезды – это действительно далекие солнца, как предполагал Бруно, то они должны находиться гораздо дальше Солнца, чтобы светить так тускло. Но насколько дальше? Это зависит от того, насколько ярки они на самом деле. Спустя 32 года после сочинения песенки немецкий математик и астроном Фридрих Бессель сделал открытие. Выставьте вверх большой палец на расстоянии вытянутой руки и несколько раз попеременно закройте левый и правый глаз. Палец будто перепрыгивает вправо и влево на определенный угол относительно далеких предметов. Теперь поднесите палец немного ближе к глазам, и вы заметите, что угловая величина «прыжка» выросла. Астрономы называют эту угловую величину параллаксом, и, очевидно, ее можно применить, чтобы определить расстояние до пальца. На практике вам не требуется заниматься математическими вычислениями, поскольку мозг выполняет их без усилий, и вы этого даже не замечаете. Тот факт, что два глаза фиксируют разные углы для объектов на разном расстоянии, существенен для понимания системы восприятия дальности в мозге, наделяющей нас трехмерным зрением.
Если бы наши глаза были расставлены шире, мы лучше воспринимали бы глубину на больших расстояниях. В астрономии можно применить тот же метод параллакса, притворяясь, будто мы гиганты с глазами, разнесенными на 300 млрд м, что соответствует диаметру земной орбиты вокруг Солнца. Это можно сделать, сравнивая телескопические фотографии с шестимесячным интервалом, за который Земля перемещается на противоположную сторону своей орбиты. Бессель заметил, что положения звезд, за исключением одной, на снимках кажутся одинаковыми. Это звезда 61 Лебедя. Она, в отличие от других, смещалась на небольшой угол, показывая тем самым, что расстояние до нее почти в 1 млн раз больше, чем до Солнца, – это так далеко, что звездному свету требуется 11 лет, чтобы достичь нас, тогда как солнечный свет доходит к нам за 8 минут.
Вскоре были измерены параллаксы других звезд, так что стали известны расстояния до многих из них. Если вы ночью проследите за удаляющимся автомобилем, яркость его габаритных огней будет убывать обратно пропорционально квадрату расстояния до него (вдвое дальше – вчетверо слабее). Теперь, когда Бессель знал расстояние до звезды 61 Лебедя, он воспользовался законом обратных квадратов для вычисления ее светимости. Полученный результат оказался сопоставим со светимостью Солнца, что с запозданием подтвердило правоту Джордано Бруно.
Почти одновременно, в 1814 году, немецкий оптик Йозеф фон Фраунгофер изобрел спектроскоп, позволивший раскладывать белый свет на цвета и измерять их. Фраунгофер открыл в радуге загадочные темные линии (рис. 2.5) и выяснил, что их точные положения в цветовом спектре зависят от того, из чего сделан источник света, то есть они оказались своего рода спектральными отпечатками пальцев. В последующие десятилетия были измерены и занесены в каталоги спектры многих распространенных веществ. С помощью этой информации можно показать замечательный фокус на вечеринке и впечатлить друзей, определяя, что светится в их фонариках, лишь анализируя испускаемый ими свет и даже не подходя близко. Спектр солнечного света неожиданно показал, что Солнце, пылающий шар в небесах, содержит водород и некоторые другие элементы, хорошо известные на Земле. Более того, когда собранный телескопом звездный свет изучили с помощью спектроскопа, оказалось, что звезды в первом приближении состоят из той же смеси газов, что и Солнце. Это закрепило победу Бруно: звезды – это далекие солнца, сходные как по выделяемой энергии, так и по составу. Так за считанные десятилетия звезды превратились из непостижимых белых точек в гигантские шары горячего газа, химический состав которых можно определить.
Рис. 2.5. Радуга, сфотографированная моим сыном Александром, ведет не к горшку с золотом, а к золотой жиле информации об устройстве атомов и звезд. В гл. 7 мы узнаем, что соотношение интенсивности различных цветов объясняется тем, что свет состоит из частиц (фотонов), а положение и ширину многих темных линий можно вычислить с помощью квантово-механического уравнения Шредингера.
Спектр – это настоящая золотая жила астрономической информации, и всякий раз, когда вам приходит в голову, что вы выжали из него все, что можно, оказывается, что в нем закодировано что-нибудь еще. Спектр позволяет измерить температуру объекта, не прикасаясь к нему термометром. Вы и без прикосновения знаете, что раскаленный добела кусок металла горячее раскаленного докрасна, и, аналогично, беловатые звезды горячее красноватых. С помощью спектроскопа температуру можно определять очень точно. В качестве неожиданного бонуса теперь эта информация позволяет определить размеры звезды, подобно тому, как отгадывание одного слова в кроссворде помогает отгадать другое. Температура показывает, сколько света испускает каждый квадратный метр звездной поверхности. Поскольку можно вычислить общее количество испускаемого звездой света (по расстоянию до нее и видимому блеску), теперь можно определить и площадь поверхности звезды в квадратных метрах и узнать, насколько она велика.
