Стивен Вайнберг - Объясняя мир. Истоки современной науки
Стиль «Математических начал» напоминает читателю стиль «Начал» Евклида. Книга начинается с определений{261}:
Определение I
«Количество материи есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объему ее».
То, что в переводе называется «количеством материи», на латинском у Ньютона называлось massa и сегодня также называется «массой». Здесь Ньютон определяет ее как произведение плотности и объема. Хотя он не дает определение плотности, его определение массы остается полезным, потому что читатели могут принять как само собой разумеющееся, что тела из одного вещества, например, железа при данной температуре, будут иметь одинаковую плотность. Как показал Архимед, измерения удельного веса дают значения плотности по отношению к воде. Ньютон отмечает, что мы выводим массу тела из его веса, но не смешивает понятия веса и массы.
Определение II
«Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе».
То, что Ньютон называет «количеством движения», сегодня называется «импульсом». Ньютон определяет его как произведение скорости и массы.
Определение III
«Врожденная сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельное тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения».
Далее Ньютон объясняет, что эта сила пропорциональна массе тела и «если отличается от инерции массы, то разве только воззрением на нее». Иногда мы характеризуем массу по ее роли как то качество, которое сопротивляется изменению движения, и называем ее «инертной массой».
Определение IV
«Приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения».
Здесь определяется общая концепция силы, но еще не дается никакого численного значения, которое мы должны приписать данной силе.
В определениях V–VIII определяется центростремительное ускорение и его свойства.
После определений идет «Поучение» (или пояснение), в котором Ньютон отказывается давать определения пространства и времени, но предлагает их описание:
«I. Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью…
II. Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему-либо внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным».
И Лейбниц, и епископ Джордж Беркли критиковали это определение времени и пространства на основании того, что только относительное положение во времени и пространстве имеет смысл. В «Поучении» Ньютон объясняет, что обычно мы имеем дело с относительными положениями и скоростями, но теперь он получил новый ключ к понятию абсолютного пространства: в ньютоновской механике ускорение (в отличие от положения и скорости) имеет абсолютное значение. Как может быть иначе? Из повседневного опыта известно, что ускорение оказывает свое влияние, и нет никакой необходимости спрашивать: ускорение относительно чего? Из того, что сила отбросила нас на спинки сидений, мы понимаем, что ускоряемся, если находимся в машине, которая резко набирает скорость, независимо от того, смотрим ли мы в этот момент в окно. Как мы увидим далее, в XX в. точки зрения Ньютона и Лейбница на пространство и время были объединены в Общей теории относительности.
Затем Ньютон переходит к трем знаменитым законам движения:
Первый закон
«Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние».
Это уже было известно Гассенди и Гюйгенсу. Не совсем понятно, почему Ньютон решил выделить это положение в отдельный закон, так как Первый закон является тривиальным (хотя и важным) следствием из Второго.
Второй закон
«Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует».
Здесь под «изменением количества движения» Ньютон имеет в виду изменение импульса[21], который он называет «количеством движения» в определении II. В действительности скорость изменения импульса пропорциональна этой силе. Традиционно мы определяем единицы, в которых измеряется сила, так, что скорость изменения импульса фактически равна силе. Поскольку импульс – это масса, умноженная на скорость, скорость его изменения – это масса, умноженная на ускорение. Таким образом, Второй закон Ньютона определяет, что масса, умноженная на ускорение, равна силе, деленной на ускорение. Но знаменитое равенство F = ma в «Математических началах» так и не появляется; таким образом Второй закон был сформулирован европейскими математиками в XVIII в.
Третий закон
«Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе, взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны».
В истинно геометрическом стиле Ньютон приводит серию следствий, выведенных из этих законов. Самое значимое среди них – следствие III, где формулируется закон сохранения импульса (см. техническое замечание 34).
Закончив с определениями, законами и следствиями, Ньютон в Книге I начинает делать из них выводы. Он доказывает, что только центральные силы (силы, направленные к одной точке в центре) заставляют тело двигаться так, чтобы за равные промежутки времени отсекать равные площади; что центральные силы обратно пропорциональны квадрату расстояния и только такие центральные силы производят движение по коническому сечению, то есть по кругу, эллипсу, параболе или гиперболе; что при движении по эллипсу такая сила создает периоды, пропорциональные 3/2 длины большей оси эллипса (которая, как было упомянуто в главе 11, является усредненным по всей протяженности ее пути расстоянием от планеты до Солнца). Таким образом, центральная сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния, отвечает за все три закона Кеплера. Также Ньютон заполняет пробелы в своем сравнении центростремительного ускорения Луны и ускорения свободного падения, доказывая в отделе XII части I книги, что сферическое тело, состоящее из частиц, каждая из которых производит силу, обратно пропорциональную квадрату расстояния, производит общую силу, обратно пропорциональную квадрату расстояния до центра сферы.
В конце отдела I Книги I содержится примечательное «Поучение», в котором Ньютон отмечает, что он больше не полагается на понятие бесконечно малых величин (исчезающих количеств). Он объясняет, что «флюксии», такие как скорости, не являются отношениями бесконечно малых величин, как он ранее описывал их, но вместо этого: «Предельные отношения исчезающих количеств не суть отношения пределов этих количеств, а суть те пределы, к которым при бесконечном убывании количеств приближаются отношения их и к которым эти отношения могут подойти ближе, чем на любую наперед заданную разность»{262}. Это, в сущности, современная идея предела, на которой сегодня основывается математический анализ. Единственное, что несовременно в «Математических началах», так это мысль Ньютона о том, что пределы должны изучаться методами геометрии.
Книга II представляет собой длинное описание движения тел в жидкости, главная цель которого – определение законов, управляющих силами сопротивления для таких тел{263}. В этой книге Ньютон развенчивает теорию вихрей Декарта. Затем он переходит к расчету скорости звуковых волн. Его результат в Предложении 49 (о том, что скорость является квадратным корнем из отношения давления и плотности) верен только по порядку величины, поскольку в то время никто не знал, как учитывать изменения температуры во время расширения и сжатия. Но вместе с расчетами скорости океанских волн это было вызывающим интерес достижением – впервые в истории кто-то воспользовался законами физики, чтобы обеспечить более или менее реалистичный расчет скорости волн какого-либо вида.
Наконец, Ньютон переходит к доказательствам из астрономии в Книге III, которая называется «Система мира». В то время, когда вышло первое издание «Математических начал», существовало всеобщее согласие по поводу правильности Первого закона Кеплера, то есть эллиптической формы орбит планет, но все еще оставались некоторые сомнения по поводу Второго и Третьего законов о том, что радиус-вектор от Солнца до планеты описывает равные площади за равные промежутки времени, и о том, что квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит. Кажется, Ньютон зацепился за законы Кеплера не потому, что они были хорошо сформулированы, а потому что подходили к его собственной теории. В Книге III он отмечает, что спутники Юпитера и Сатурна ведут себя соответственно Второму и Третьему законам Кеплера, что наблюдаемые фазы пяти планет (кроме Земли) доказывают, что они обращаются вокруг Солнца, что все шесть планет подчиняются законам Кеплера и что Луна удовлетворяет Второму закону Кеплера{264}. Его собственные тщательные наблюдения кометы 1680 г. показывают, что она тоже движется по коническому сечению: по эллипсу или гиперболе, в любом случае – очень близко к параболе. Из всего этого (и своих более ранних сравнений центростремительного ускорения Луны и ускорения свободного падения тел около поверхности Земли) Ньютон заключил, что существует центральная сила, подчиняющаяся закону обратных квадратов, которая притягивает спутники Юпитера, Сатурна и Земли к планетам, а также все планеты и кометы – к Солнцу. Из того факта, что ускорение производится силой тяжести независимо от природы тела, которое ускоряется, будь это планета, спутник или яблоко, и зависит только от природы тела, производящего силу, и расстояния между ними, а также учитывая тот факт, что ускорение, производимое любой силой, обратно пропорционально массе тела, на которое оно воздействует, Ньютон пришел к выводу, что сила тяготения, действующая на любое тело, должна быть пропорциональна массе тела, что отменяет зависимость от массы тела при расчетах ускорения. Это создает четкое различие между силой тяготения и магнетизмом, который по-разному действует на тела с разным составом, даже когда они имеют одинаковую массу.
