Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно
То же можно представить и геометрически. Начнем с прямоугольника с длинами сторон 1 и 2 и площадью 2. Разделим его пополам, потом еще раз и еще – и так до бесконечности. Площадь первого сектора будет равна 1, второго – 1/2, третьего – 1/4 и так далее. Даже когда мы будем делить на n, стремящееся к бесконечности, мы не выйдем за пределы начального прямоугольника, а площади всех его секторов в сумме будут по-прежнему равны 2.
Алгебра позволяет нам подойти к решению задачи с точки зрения частичных, промежуточных сумм:
Эта закономерность подсказывает нам, что при n ≥ 0
Доказать это можно либо с помощью метода индукции (см. главу 6), либо как частный случай формулы конечного геометрического ряда.
Теорема (конечный геометрический ряд): При x ≠ 1 и n ≥ 0
Доказательство 1 (метод индукции): При n = 0 формула говорит нам, что что, конечно же, верно. Предположим теперь, что n = k, то есть наша формула превращается в
Она отлично работает и при n = k + 1, поэтому, добавив к обеим сторонам xk+1, мы получим
что и требовалось доказать.◻
А что, если мы немного схитрим, прибегнем к алгебре «со сдвигом»?
Доказательство 2: Предположим, что
S = 1 + x + x2 + x3 +… + xnУмножим обе стороны на x:
xS = x + x2 + x3 +… + xn + xn + 1Вычтем xS и, проведя ряд упрощений, получим
S − xS = 1 − xn + 1Другими словами, S(1 − x) = 1 − xn + 1, то есть
что и требовалось доказать.
Обратите внимание, что при x = 1/2 конечный геометрический ряд подтверждает выведенную нами ранее закономерность:
Чем больше n, тем ближе (1/2)n будет к 0. Следовательно, при n → ∞, у нас получится
ОтступлениеНа этот счет, кстати, есть одна шутка, понять которую сможет только математик. Бесконечное количество математиков заходит в бар. Первый заказывает полный бокал пива, второй – половину бокала, третий – четверть, четвертый – одну восьмую… Наконец, бармен не выдерживает и, воскликнув «Нет, ну есть же этому какой-то предел!», наливает им на всех две полные кружки.
Обобщая, можно сказать, что любое число в интервале от –1 до 1, возводимое во все бо́льшую и бо́льшую степень, все ближе и ближе подходит к нулю. В результате мы имеем крайне важный и полезный (бесконечный) геометрический ряд.
Теорема (геометрический ряд): При –1 < x < 1
Чтобы решить нашу последнюю задачу, примем x = 1/2:
Выглядит знакомо, не правда ли? Это потому что мы уже встречались с подобным рядом – в самом конце главы 11, когда с помощью исчисления старались показать, что функция y = 1/(1 – x) соответствует ряду Тейлора 1 + x + x2 + x3 + x4 +….
А что еще мы можем «выжать» из этого ряда? Как насчет следующей суммы?
Если вынести за скобки дробь 1/4, убрав ее из каждого члена, получится
то есть при x = 1/4 мы можем упростить ряд до
Доказать это можно практически без слов – просто посмотрите на рисунок ниже и обратите внимание, что закрашенные квадраты занимают ровно треть общей площади большого квадрата.
Геометрический ряд можно использовать также для доказательства нашей задачи с 0,99999…, ведь бесконечное количество знаков после запятой есть не что иное, как замаскированный бесконечный ряд. Просто примем x = 1/10 и получим
Формула геометрического ряда верна и тогда, когда х – комплексное число, при условии, что длина x – меньше 1. Например, мнимое число i/2 имеет длину 1/2, из чего следует, что
что показано на следующем графике, расположенном на комплексной плоскости.
И хотя формула конечного геометрического ряда верна для любого значения x ≠ 1, (бесконечный) геометрический ряд требует, чтобы |x| был меньше 1. Например, при x = 2 конечный геометрический ряд покажет нам (как мы уже выяснили в шестой главе), что
а бесконечный – что
что выглядит нелепо (хотя это впечатление может быть и обманчивым: в предпоследнем разделе этой главы мы увидим вполне правдоподобное объяснение такого результата).
ОтступлениеЧисло положительных целых величин бесконечно:
1, 2, 3, 4, 5…Равно как бесконечно и количество положительных четных целых величин:
2, 4, 6, 8, 10…Считается, что первое множество (или число элементов, или степень бесконечности) приблизительно равно первому. В пользу этого утверждения говорит тот факт, что положительные целые и положительные четные целые можно объединить в пары, вот так:
Множество, способное к объединению в пары, называется счетным. Степень бесконечности у него, как правило, невелика. Любое множество, величины которого можно перечислить, является счетным, так как первый его элемент есть пара к 1, второй – к 2 и т. д. Множество всех целых величин
… –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3…перечислить от меньшего значения к большему не получится просто потому, что нет никакого «стартового» наименьшего значения. Зато получится перечислить их вот так:
0, 1, –1, 2, –2, 3, –3…Следовательно, множество всех целых является счетным, а число его элементов равно числу элементов в множестве положительных целых.
А что насчет множества положительных рациональных величин? Напомню: рациональными называются числа, имеющие форму m/n, где и m, и n суть положительные целые. Хотите – верьте, хотите – нет, но и это множество будет счетным. Перечислить его элементы можно следующим образом:
то есть мы берем дроби в соответствии с суммой их числителей и знаменателей. Так как любая рациональная величина неизбежно появляется в списке, их множество будет счетным.
ОтступлениеА существуют ли вообще такие бесконечные множества, которые не являются счетными? Немецкий математик Георг Кантор (1845–1918) доказал, что все действительные величины, даже только те из них, что ограничены диапазоном от 0 до 1, образуют несчетное множество. Можно, конечно, попробовать перечислить их следующим образом:
0,1, 0,2…., 0,9, 0,01, 0,02…., 0,99, 0,001, 0,002…., 0,999…и т. д. Но так мы никогда не выйдем за пределы величин с конечным количеством знаков. Число 1/3 = 0,333…, например, в нашем списке так и не встретится. Но, может, есть какой-нибудь другой, более эффективный способ перечисления? Кантор доказал, что его нет. Он пошел от обратного – предположил, что множество действительных величин является счетным. Он взял конкретный пример и начал с
Доказать, что этот список не будет полным, можно, «придумав» такое действительное число, которое никогда в нем не появится. Можно взять, скажем, величину 0,r1r2r3r4…, где r1 есть целое в интервале от 0 до 9, которое отличается от первого числа только первой цифрой (в нашем примере r1 ≠ 3). Так же обстоит и с r2: оно отличается от второго числа второй цифрой (у нас r2 ≠ 7). И так далее. Таким образом у нас может получиться, скажем, 0,2674… – число, которое никогда не появится в списке, даже на миллионной позиции, потому что будет отличаться от нее миллионной цифрой. А значит, какой бы список вы ни создавали, всегда будут такие величины, которые в нем не появятся, следовательно, множество действительных чисел является несчетным.
