Джеймс Глейк - Хаос. Создание новой науки
В то же время Файгенбаум размышлял и о феномене цвета. Некоторые дебаты по этому поводу в начале XIX века были вызваны разногласиями последователей Ньютона в Англии и Гёте в Германии. Сторонникам Ньютоновой физики идеи Гёте представлялись околонаучным бредом. Великий немец отказался от рассмотрения цветности как постоянной характеристики, измеряемой с помощью спектрометра и фиксируемой, словно пришпиленная к картону бабочка; по утверждению Гёте, цвет зависит, скорее всего, от восприятия. «Слегка склоняясь то в одну, то в другую сторону, природа колеблется в предписанных ей пределах, — отмечал он, — и таким образом появляются все многообразные состояния явлений, которые представлены нам во времени и пространстве».
Пробным камнем теории Ньютона явился его эксперимент с призмой, которая расщепляет пучок белого света на радугу цветов, распределенных по всему видимому спектру; Ньютон понял, что именно эти чистые цвета должны являться простейшими компонентами, при смешивании которых получается белый цвет. Далее с присущей ему проницательностью он предположил, что цвета соответствуют определенным частотам. По его представлениям, их порождали некие колеблющиеся частицы-корпускулы, воспроизводящие цвета пропорционально скорости колебаний. В эпоху Ньютона подобную идею подтверждало настолько мало доказательств, что она казалась одновременно и неоправданной, и блестящей. Что есть красное? Для физика наших дней это электромагнитное излучение с определенной длиной волны. Он не сомневается, что к настоящему времени верность соображений Ньютона была доказана тысячи раз, тогда как трактат Гёте о феномене цвета благополучно почил в бозе. Когда Файгенбаум занялся поисками, то обнаружил, что одна-единственная копия из библиотеки Гарварда пропала.
Все же отыскав работу, Митчелл выяснил, что Гёте, изучая цвет, провел ряд необычных экспериментов. Начал он, как и Ньютон, с обыкновенной призмы. Ньютон держал призму перед источником света, проецируя расщепляющийся пучок на белую поверхность, Гёте же, приложив призму к глазу, посмотрел сквозь нее и не увидел никакого цвета. Ни радуги, ни отдельных оттенков. Разглядывание сквозь призму белоснежной поверхности или ясного голубого неба давало тот же результат — полное единообразие.
Но если на белой поверхности появлялось едва заметное пятнышко или небо застилали облака, Гёте видел цветовую вспышку. Это дало ему повод заключить, что источником цвета является «чередование света и тени». Он начал исследовать, как люди воспринимают тени, отбрасываемые предметами, которые окрашены в разные цвета. В серии тщательно поставленных опытов использовались свечи и карандаши, зеркала и цветное стекло, свет Луны и Солнца, кристаллы, жидкости и цветные диски. Например, зажигая свечу перед листом белой бумаги в сумерках, экспериментатор держал в руках карандаш. Тень, отбрасываемая карандашом, имела чистый голубой цвет. Почему? Бумага белого цвета воспринимается как белая и в угасающем дневном свете, и в теплом мерцании свечи. Каким образом тень разделяет белое на зоны голубого и красновато-желтого цветов? Цвет, доказывал Гёте, представляет собой «степень темноты, близкую к тени». Переведя это на современный язык, можно сказать, что источник цвета есть состояние границы света и тени и ее особенности.
Так, где Ньютон был редукционистом, Гёте придерживался холизма. Ньютон разбил цвет на составляющие и нашел самое основное физическое объяснение этому феномену. Гёте же, наслаждаясь видами цветущих садов и изучая живописные полотна, искал всеобъемлющее, окончательное толкование интересующего его явления. Ньютон подогнал свою теорию цвета под математическую схему, характерную для всей физики, а Гёте, к счастью или к несчастью, ненавидел математику.
Файгенбаум убедился в том, что идеи Гёте о явлении цвета верны. Эти идеи напомнили ему популярную среди некоторых психологов точку зрения, которая различает суровую реальность и субъективно-изменчивое ее восприятие. Цвета, воспринимаемые человеком, изменяются от случая к случаю, от человека к человеку, в чем несложно убедиться. В понимании Файгенбаума, в идеях Гёте, эмпирических и весьма определенных, таилось гораздо больше истинной научности. Вновь и вновь экспериментатор подчеркивал повторяемость своих опытов, ибо для него именно восприятие цвета являлось всеобщим и объективным. Какие научные доказательства, не зависящие от нашего восприятия, существуют для определимого и реального красного?
Файгенбаум задался вопросом, какого рода математический формализм должен соответствовать человеческому восприятию, особенно тем его видам, которые отсеивают суетное многообразие полученного опыта, обнаруживая всеобщие свойства. Красное не обязательно является светом определенной частоты, как представлялось последователям Ньютона; это территория хаотичного мира, границы которого не так-то просто описать. И все же наш ум находит красное с устойчивым и проверенным постоянством. Таковы были мысли молодого ученого-физика, далекие, казалось бы, от проблем турбулентности в жидкостях. Но все же для постижения механизма отбора человеческим мозгом необходимого в хаосе восприятия первостепенным является понимание того, как беспорядок может породить всеобщность.
Файгенбаум, начав в Лос-Аламосе размышлять над феноменом нелинейности, понял, что из долгих лет своего обучения он, в сущности, не почерпнул ничего полезного. Решить систему нелинейных дифференциальных уравнений, не придерживаясь примеров из учебника, казалось невозможным. Способ пертурбаций с его последовательными корректировками идеализированной задачи, которая, как предполагалось, находится близко к реальной проблеме, выглядел довольно глупым. Ознакомившись с рядом руководств по нелинейным потокам и колебаниям, ученый сделал вывод, что сколько-нибудь разумному физику они мало чем помогут. Имея в своем распоряжении лишь карандаш и бумагу для вычислений, Файгенбаум решил начать с аналога простого уравнения, рассмотренного в свое время Робертом Мэем применительно к биологии популяций.
С таким уравнением — его можно записать как y = r (x — x²) — ученики средней школы знакомятся в курсе алгебры при построения параболы. Каждое значение x дает новое значение y, а полученная в результате кривая выражает связь между x и y в определенном диапазоне значений, при x, меняющемся от нуля до r. Если x (численность популяции в текущем году) мала, то y (численность популяции в следующем году) также будет невелика, но больше, чем x. Кривая резко поднимается вверх. Если значение x находится в середине диапазона, то в этом случае значение y велико. Но парабола выравнивается близ своей вершины и начинает снижаться так, что если значение x велико, значение y вновь мало. Именно это и является эквивалентом скачков численности популяции в экологическом моделировании, предотвращая ничем не ограниченный рост.
Для Мэя, а затем и для Файгенбаума главное заключалось в том, чтобы произвести это простое вычисление не один раз, а повторять его бесконечно, как в «петле обратной связи». Итоги одного подсчета служили исходными данными для следующего. Для графического представления результатов парабола оказывалась незаменимой. Надо было выбрать начальную точку на оси x, провести перпендикуляр вверх до пересечения с параболой, найти соответствующее значение на оси y и принять его за новое значение x. И так далее и тому подобное… Результат сначала будет «скакать» от одной точки к другой, а потом, вероятно, установится на уровне устойчивого равновесия, где значения x и y равны, т. е. численность популяции останется неизменной.
Казалось, нельзя было найти ничего более далекого от сложных расчетов теоретической физики. Вместо единовременного решения запутанной системы одна и та же простая операция повторялась вновь и вновь. Ставящий подобные опыты с числами скорее наблюдатель, словно химик, который следит за ходом реакции, бурлением внутри мензурки. Результат являл собой ряд чисел, не всегда достигавший в итоге стабильного значения: он мог завершиться и скачками значения в некотором интервале, или, как разъяснял Мэй своим коллегам, ряд мог продолжать изменяться совершенно хаотичным образом и настолько долго, насколько хватит терпения за ним наблюдать. Поведение числового ряда зависело от выбранного значения параметра.
Выполняя расчетную часть своих исследований, которую едва ли можно было назвать экспериментом, Файгенбаум одновременно пытался анализировать нелинейные функции с более традиционных, теоретических позиций. Даже тогда он не смог увидеть всю полноту возможностей, которые открывали уравнения. Тем не менее ученый понял, что возможности эти весьма сложны и анализ их окажется довольно трудоемким. Три математика из Лос-Аламоса — Николас Метрополис, Пол Стейн и Майрон Стейн — изучали в 1971 г. похожие алгоритмы, и теперь Пол Стейн предупредил Файгенбаума, что они заставляют поломать голову. Если анализ результатов решения простейшего уравнения оказался столь трудным, чего же было ожидать от гораздо более запутанных формул, которыми описываются реальные системы? И Файгенбаум отложил проблему в долгий ящик.
