Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта
• Близнецы из Кранфорда: четыре плитки, образующие прямоугольник с прямоугольным отверстием.
• Миссис Броудсайд: четыре плитки, образующие выпуклый шестиугольник.
• Миссис Проберт: четыре плитки, образующие выпуклый пятиугольник.
• Леди Каннигем: четыре плитки, образующие равнобедренную трапецию.
• Мисс Уилберфорс: четыре плитки, образующие параллелограмм.
• Миссис МакЭндрю: четыре плитки, образующие крылья ветряной мельницы.
• Миссис Тушингем: шесть плиток, образующие шестиугольник с шестиугольным отверстием.
• Мисс Браун: шесть плиток, образующие равносторонний треугольник со срезанными углами.
• Дама Дженки-Глейзуорси: 12 плиток, образующие правильный двенадцатиугольник с отверстием в виде правильной двенадцатиконечной звезды.
• Миссис Фозервелл: 12 плиток, образующие правильный двенадцатиугольник с отверстием в виде двенадцатиконечной звезды, формой напоминающей циркулярную пилу.
– Замечательная коллекция, – сказал Сомс. – Мне кажется, пора послать кого-нибудь из Нерушимых сил Бейкер-стрит к инспектору Роулейду с просьбой проверить владение у доков.
– И что, вы думаете, полиция там найдет?
– Вспомните, Ватсап: все дамы говорили нам, что их узор состоял из некоторого количества одинаковых плиток.
– Да.
– Но узоры очень разные, и это наталкивает на мысль, что, хотя каждый из узоров складывался из одинаковых плиток, для разных узоров нужны были плитки разной формы. Дамы не могут описать форму плиток кроме как словом «неправильная», так что у нас нет никаких данных в пользу того, что во всех узорах использовались плитки одинаковой формы. Поэтому я ожидаю, что полиция найдет 13 ящиков с плитками необычной формы: по одному на каждый узор.
Через пару часов в гостиную заглянула миссис Сопсудс.
– Инспектор Роулейд, мистер Сомс.
Инспектор вошел в сопровождении констебля с каким-то ящиком в руках.
– Я поместил под арест двух подозреваемых, – объявил он.
– Роланд «Крыса» Ратценберг и «Мордоворот» МакГинти.
– Да, но как, бога ради… о, неважно. Я могу держать их 24 часа. Но доказательства слабые.
Сомс взглянул на него пораженно.
– Но вы, конечно, нашли у них ящики с плиткой? Разве этот ящик – не образец того, что там было?
Инспектор покачал головой.
– Нет, это все, что там было.
Сомс подошел к ящику и открыл его. В нем лежало 12 одинаковых плиток.
– Вот это да, – сказал он.
– Кажется, дело развалилось, – рискнул вставить я. – Не могу поверить, что все узоры из такого разнообразного списка можно выложить одними и теми же плитками.
Но Сомс внезапно оживился.
– Может быть, вы и правы, – сказал он. – Если только… – он вытащил линейку и угломер и начал измерять одну из плиток.
Через несколько мгновений его лицо расплылось в улыбке.
– Умно! – сказал он. – Очень умно, – он обернулся ко мне. – Я поступил чрезвычайно глупо и сделал скоропалительные выводы, тогда как нужно было сохранять трезвый ум. Помните, о чем мы говорили непосредственно перед тем, как появилась расстроенная Беатрис?
– Э-э… о пазлах, которые складывают из кусочков.
– Точно. А это дело основано на одной из самых замечательных головоломок, какие мне только приходилось встречать. Взгляните на эту плитку.
– Мне она кажется весьма обычным четырехугольником, – сказал я.
– Нет, Ватсап. Это очень необычный четырехугольник. Позвольте мне продемонстрировать вам, – и он нарисовал схему.
– Стороны AB и BC равны, а угол ABC прямой, так что углы BAC и BCD составляют по 45°, – объяснил Сомс. – Угол ACD равен 15°, так что BCD равен 60°. Угол ADC опять же прямой, что делает угол CAD равным 75°.
Инспектор и я ничего не поняли. Сомс вручил мне четыре плитки.
– Ватсап, попробуйте сложить из этих плиток какую-нибудь элегантную фигуру. Примерно как детектив складывает вместе улики и делает элегантные выводы, если вспомнить вашу аналогию.
– Могу я их переворачивать?
– Прекрасный вопрос! Да, любую плитку можно перевернуть.
Я немного поэкспериментировал. Внезапно ответ встал перед глазами.
– Сомс! Из них получается квадрат – узор Беатрис! Как красиво!
Сомс взглянул на мою небольшую головоломку.
– В самом деле. Вы по-прежнему утверждаете, что элегантное объяснение нескольких улик может служить определяющим доказательством того, что виновный найден?
– Как иначе все улики могут так сойтись, Сомс?
– В самом деле, как? – я понял, что вопрос был риторическим. – В ваших рассуждениях есть прореха, Ватсап, – продолжал он, когда я отказался отвечать. – Нужно ее устранить, – он наклонился и переложил плитки так, что получился заполненный квадрат.
– Ох, – пристыженно произнес я. – Значит, это – узор Беатрис.
– Предполагаю, что да. Но не расстраивайтесь: ваш узор принадлежит мисс Мейкпис.
Меня осенило.
– Вы думаете, что из копий одной этой плитки можно сложить все 13 узоров?
– Я в этом уверен. Смотрите: вот так из трех плиток складывается узор миссис Уоттон, равносторонний треугольник с треугольным отверстием.
– Господи, Сомс!
– Это замечательно универсальная… э-э… плитка, – ответил он. – Благодарить за это нужно ее хитрую геометрию.
– Итак, все, что нам нужно сделать… – начал я.
– …это найти варианты раскладки, соответствующие остальным десяти узорам! – закончил за меня Роулейд.
Сомс начал прочищать трубку.
– Я уверен, что смело могу оставить эту задачу вам, джентльмены.
В тот вечер я взял кэб и поехал в дом отца Беатрис, остановившись только у ювелира, чтобы кое-что забрать. Беатрис приняла меня в гостиной.
Я поставил на стол длинную коробочку.
– Дорогая, откройте.
Она несмело протянула руку, и на милом лице ее отразилась надежда.
– О! Джон, вы нашли мою подвеску! – она взяла меня за руку. – Как я могу отблагодарить вас? – внезапно она замолчала. – Но… Это не мое, – она вынула из коробки сверкающую драгоценность. – Это обручальное кольцо.
– Да, это так. И оно может стать вашим, – произнес я, опускаясь на одно колено.
Можете ли вы найти оставшиеся десять вариантов узора? Ответы см. в главе «Загадки разгаданные».
Гипотеза о трекле
Граф – это набор точек (узлов), соединенных линиями (ребрами). Если граф рисуют на плоскости, ребра часто пересекаются между собой. В 1972 г. Джон Конвей определил трекл как граф, нарисованный на плоскости, у которого любые два ребра либо встречаются в узле и больше не пересекаются, либо не встречаются в узле, но при этом пересекаются ровно один раз. Говорят, что идею названия подал автору один шотландский рыболов, постоянно жаловавшийся на то, что у него запуталась (thrackled) леска.
На рисунке показаны два трекла. Левый имеет в своем составе 5 узлов и 5 ребер, тогда как правый – 6 узлов и 6 ребер. Конвей предположил, что у любого трекла число ребер меньше или равно числу узлов. Он предложил бутылку пива в награду тому, кто сможет это доказать или опровергнуть, но с годами, поскольку решение не появлялось, приз вырос до тысячи долларов.
Оба приведенных трекла представляют собой замкнутые петли (их узлы располагаются на кольцевом маршруте), нарисованные с наложением. Известно, что любая замкнутая петля с n³ 5 узлов может быть нарисована так, что образует трекл. Если это правда, то число E ребер может быть равно числу n узлов при любом n³ 5. Пал Эрдёш доказал, что гипотеза о трекле верна для любого графа с прямыми ребрами. Наилучшее на данный момент ограничение на размер E доказали Радослав Фулек и Янош Пач в 2011 г.:
Ссылку на дополнительную информацию см. в главе «Загадки разгаданные».
Сделка с дьяволом
Один математик, потративший десять бесплодных лет на попытки доказать гипотезу Римана, решил продать душу дьяволу в обмен на вожделенное доказательство. Дьявол обещал представить ему доказательство не позже чем через неделю, но неделя прошла, и ничего не произошло.
Через год дьявол вновь явился математику с мрачным видом.
– Извини, я тоже не смог это доказать, – сказал он, возвращая математику его душу. Он немного помолчал и вдруг просиял: – Но мне кажется, что я нашел по-настоящему интересную лемму!
