Рэймонд Смаллиан - Алиса в Стране Смекалки
Попробуем разобраться, почему так получилось. Первую картину он продал с 10 %-ной прибылью. От продажи ее он выручил 990 долларов. За сколько он купил ее? Так как прибыль составляет 10 % не от 990 долларов, а от первоначальной стоимости картины, то 990 долларов — это 110 % от первоначальной стоимости картины, или 11/10). Следовательно, за картину торговец заплатил 10/11 от 990, то есть 990 долларов.
[Проверка. За картину торговец заплатил 900 долларов, 10 % от 900 составляют 90 долларов, поэтому от продажи картины он выручил 990 долларов, получив при этом прибыль 90 долларов.]
А как обстоит дело со второй картиной? От продажи ее торговец потерял 10 % от ее первоначальной стоимости, поэтому вторую картину он продал за 90 %, или 9/10, от ее первоначальной стоимости. Следовательно, при покупке второй картины торговец заплатил за нее 10/9 от 990 долларов, то есть 1100 долларов.
[Проверка. За вторую картину торговец заплатил 1100 долларов, 10 % от 1100 составляют 110 долларов, поэтому он продал ее за 1100−110=990 долларов.]
Таким образом, от продажи второй картины он потерпел убыток в 110 долларов, а от продажи первой картины получил прибыль всего 90 долларов. Следовательно, в тот день он потерял всего 20 долларов.
41. Кто старше?
Прежде всего вычислим, через сколько дней часы Болванщика и Мартовского Зайца покажут одно и то же время. Так как часы Мартовского Зайца отстают с такой же скоростью, с какой спешат часы Болванщика, то в следующий раз они покажут одно и то же время, когда часы Болванщика уйдут вперед на 6 ч, а часы Мартовского Зайца отстанут на 6 ч. (На тех и других часах будет 6 ч, причем и те и другие часы будут показывать неверное время.) За сколько дней часы Болванщика уйдут вперед на 6 ч. За час они уходят вперед на 10 с, за 6 ч — на 1 мин, за сутки — на 4 мин, за 15 суток — на 1 ч, за 90 суток (дней на календаре) — на 6 ч. Таким образом, через 90 дней на часах Болванщика и Мартовского Зайца стрелки снова будут показывать одно и то же время.
Нам неизвестно, в какой из дней января Болванщик и Мартовский Заяц поставили на своих часах точное время.
Но если бы это произошло в любой из дней, кроме 1 января, то день, когда часы Болванщика и Мартовского Зайца в следующей раз покажут одно и то же время (а это событие, как мы установили, произойдет через 90 дней), пришелся бы не на март, а на апрель (или даже на май). Следовательно, Болванщик и Мартовский Заяц могли сверить свои часы только 1 января. Но даже в этом случае их часы покажут в следующий раз одно и то же время в марте только при условии, если год високосный! (В этом читатель без труда убедится с помощью календаря: через 90 дней после 1 января в обычный год наступает 1 апреля, а в високосный год — 31 марта!) Тем самым доказано, что 21 день рождения Мартовского Зайца приходится на високосный год. Следовательно, Мартовский Заяц мог родиться в 1843, а не в 1842 году или 1844 году. (Через 21 год после 1843 года наступает високосный 1864 год.) По условиям задачи только один из двух (либо Мартовский Заяц, либо Болванщик) родился в 1842 году. Следовательно, в 1842 году родился Болванщик. Значит, Болванщик старше Мартовского Зайца.
Глава 5
42. Появление первого шпиона.
C заведомо не может быть рыцарем, так как ни один рыцарь не стал бы лгать и утверждать, будто он шпион. Следовательно, C либо лжец, либо шпион. Предположим, что C шпион. Тогда показание A ложно, значит, A шпион (A не может быть шпионом, так как шпион C) и рыцарем может быть только B. Но если B рыцарь, то как он мог дать ложные показания, утверждая, будто A рыцарь? Следовательно, предположение о том, что C шпион, приводит к противоречию. Значит, C лжец. Тогда показание B ложно, поэтому B либо лжец, либо шпион. Но так как лжец B, то шпионом должен быть A. Следовательно, A может быть только рыцарем. Итак, A рыцарь, B шпион и C лжец.
43. Глупый шпион.
Ложное заявление, изобличающее шпиона, могло быть, например, таким: «Я лжец».
Рыцарь никогда не лжет и поэтому не станет утверждать о себе, будто он лжец. С другой стороны, лжец никогда не говорит правды и не станет признаваться, что он лжец. Только шпион может сделать ложное признание, будто он лжец.
44. Еще один глупый шпион.
Истинное заявление, изобличающее шпиона, могло быть, например, таким: «Я не рыцарь». Действительно, ни рыцарь, ни лжец не могли бы сказать о себе такое. Рыцарь никогда не лжет и не станет утверждать, будто он не рыцарь. Лжец всегда лжет и не станет признаваться, что он не рыцарь. Значит, такое заявление мог бы сделать только шпион.
45. Хитрый шпион.
Если бы A ответил на вопрос судьи «да», то тем самым он изобличил себя как шпиона, так как судья (вместе с присяжными) мог бы рассуждать следующим образом:
«Предположим, что B шпион. Тогда все трое обвиняемых дали бы правдивые показания, что невозможно, так как один из них лжец. Следовательно, B не может быть шпионом. Значит, его показание ложно, поэтому B лжец. Показание C также ложно, а поскольку C не лжец (ибо лжец B), то он шпион».
Таким образом, если бы на вопрос судьи C ответил «да», то он был бы изобличен как шпион. Зная это, C благоразумно ответил «нет», лишив тем самым суд возможности установить, шпион он или коренной житель. (Суду удалось лишь установить, что либо C рыцарь, а B шпион, либо C лжец, а A шпион, либо C шпион.)
46. Кто Мердок?
Так как A утверждает, что он шпион, то A либо лжец, либо шпион. Аналогичным образом, так как C утверждает, что он шпион, C либо лжец, либо шпион. Следовательно, из двух подсудимых A и C один лжец, а другой шпион. Значит, B рыцарь и дал на суде правдивые показания: A шпион.
47. Возвращение Мердока.
Если A Мердок, то все три показания истинны, что невозможно, так как один из троих подсудимых лжец. Если C Мердок, то все три показания ложны, что также невозможно, так как один из троих подсудимых рыцарь. Следовательно, Мердоком должен быть B.
48. Более интересный случай.
Задачу невозможно было бы решить, если бы в условиях не было ссылки на то, что суд изобличил шпиона, после того как на него указал C: ведь мы знаем, что суд смог установить, кто из троих шпион, и это весьма важная «зацепка»!
Предположим, что C обвинил A в том, что тот шпион. Располагая этими данными, судья не мог бы решить, кто шпион, поскольку они позволяют лишь утверждать, что либо A шпион, B лжец и C рыцарь либо B шпион, A рыцарь и C лжец, либо C шпион, A лжец и B рыцарь.
Таким образом, если C указал на A как на шпиона, то судья не мог бы изобличить настоящего шпиона.
Посмотрим теперь, что произошло бы, если бы C указал на B. Тогда B обвиняли бы в том, что он шпион, двое: A и C. Выдвинутые A и C обвинения либо оба истинны, либо оба ложны. Если бы они были оба истинны, то B действительно был бы шпионом, а так как A и C оба сказали правду, они оба должны были бы быть рыцарями («вакансия» шпиона занята B). Но по условиям задачи среди подсудимых A, B и C не может быть двух рыцарей. Следовательно, предъявленные B обвинения в шпионаже ложны. Значит, B не шпион. Мог бы A быть шпионом? Нет, так как если бы A был шпионом, то взаимные обвинения B и C в шпионаже были бы ложны. Следовательно, B и C были бы (оба) лжецами (что противоречит условиям задачи.) Остается единственно возможный случай: шпион C (B, обвинивший C в шпионаже, рыцарь, а A, обвинивший B, лжец).
Итак, если C указал на A как на шпиона, то судья не смог бы установить, кто из троих в действительности шпион. Но если C указал на B, то судья смог бы решить что шпион C. А так как судья знал, на кого показал A, то C должен был указать на B, и судья на основании полученных данных изобличил C в шпионаже.
49. Еще более интересный случай.
Мы не знаем, что ответили A и B, поэтому нам необходимо рассмотреть четыре возможных случая:
1) A и B оба сказали «да»:
2) A сказал «нет», B сказал «да»;
3) A сказал «да», B сказал «нет»;
4) A и B оба сказали «нет».
Все эти четыре случая встретятся нам и в следующих двух задачах, поэтому мы тщательно проанализируем их сейчас.
Случай 1: A и B оба сказали «да». Так как A утверждает, что он шпион, то A либо лжец, либо шпион (рыцарь не станет называть себя шпионом). Если A лжец, то он солгал и в том случае, когда утверждал., что занимается шпионажем. Следовательно, B солгал, утверждая, что A сказал правду. Значит, B не рыцарь, а поскольку A лжец, то B шпион, и, наконец, C должен быть рыцарем. Таким образом, если A лжец, то B шпион, а C рыцарь.
Предположим теперь, что A шпион. Тогда он сказал правду, поэтому B, утверждая, что A сказал правду, не погрешил против истины. Следовательно, B должен быть рыцарем. Но тогда C может быть только рыцарем. Таким образом, если A лжец, то B шпион, а C рыцарь. Запишем оба возможных варианта (1а и 1б) случая 1 в следующем виде:
A B C 1а Рыцарь Шпион Рыцарь 1б Шпион Рыцарь ЛжецСлучай 2: A сказал «нет», B сказал «да». Так как A отрицает, что он шпион, то A либо рыцарь, либо шпион (лжец солгал бы и сказал бы о себе, что он шпион). Если A рыцарь, то он сказал правду. Значит, B также сказал правду, когда заявил, что A сказал правду, поэтому B не может быть лжецом.
