Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта
Один из лучших источников по пирамидам – книга The Complete Pyramids Марка Ленера. Помимо прочего в ней можно найти данные о наклоне граней пирамид: углы между плоскостями, проходящими через треугольные грани, и квадратным основанием пирамиды. Вот несколько примеров:
Более обширные данные вы можете найти на сайте http://ru.wikipedia.org/wiki/Список_египетских_пирамид
На ум приходят два наблюдения. Первое состоит в том, что приводить некоторые из этих углов с точностью до угловой секунды (а остальные до минуты) неразумно. Сторона основания Черной пирамиды Аменемхета III в Дашуре составляет 105 м, а высота – 75 м. Изменение угла наклона грани пирамиды на одну угловую секунду соответствует изменению высоты пирамиды на один миллиметр. Правда, следы ребер основания сохранились, как и некоторые фрагменты камней облицовки, но, учитывая общую степень сохранности пирамиды, вам трудно было бы оценить первоначальный наклон ее граней в пределах хотя бы 5° от истинной величины.
Второе, на что невольно обращаешь внимание, – это тот факт, что, хотя наклон граней пирамид немного варьируется (иногда даже в пределах одной пирамиды, как, к примеру, у Ломаной), у всех этих древних сооружений он близок к 54°. Почему?
В 1979 г. Р. Макмиллан[17] начал с того надежно установленного факта, что строители пирамид использовали для отделки своих сооружений с внешней стороны дорогостоящий облицовочный камень, к примеру белый турский известняк или гранит. Внутри они использовали более дешевые материалы: низкокачественный мокаттамский известняк, саманный кирпич и щебенку. Поэтому для них имело смысл всячески снижать количество каменной облицовки. Какой формы должна быть пирамида, если фараон желает, чтобы при заданной стоимости облицовочного камня монумент получился как можно больше? То есть какой угол наклона граней пирамиды к основанию позволяет получить максимальный объем при фиксированной суммарной площади четырех треугольных граней?
Вообще-то это прекрасное упражнение из области дифференциального исчисления, но эту задачу можно решить и проще, геометрически, если применить хитрый прием. Разрежем пирамиду пополам вертикальной плоскостью, проходящей через диагональ основания (серый треугольник). Получаем равнобедренный треугольник. Объем получившейся полупирамиды пропорционален площади этого треугольника, а площади наклонных граней полупирамиды пропорциональны длинам его соответствующих сторон. Поэтому задача эквивалентна поиску равнобедренного треугольника максимальной площади при фиксированной длине двух равных его сторон.
Зеркально отобразив треугольник относительно основания, получим, что наша задача эквивалентна поиску ромба максимальной площади при заданной длине стороны. Решением является квадрат (ориентированный диагональю по вертикали). Следовательно, углы при вершине каждой треугольной секции такого рода составляют 90°, а углы при основании – по 45°. Базовая тригонометрия подсказывает, что угол наклона грани пирамиды при этом равен
arctg √2 = 54°44′,
что близко к средней величине наклона грани у настоящих пирамид.
Макмиллан ничего не утверждает в отношении того, что говорят приведенные им расчеты о строительстве пирамид; его основная мысль заключается в том, что эта задача – показательный пример практического владения геометрией. Однако в Московском математическом папирусе приводится правило нахождения объема усеченной пирамиды (то есть пирамиды со срезанной верхушкой) и задача, из которой явствует, что египтяне понимали подобие. В нем объясняется также, как найти высоту пирамиды по ее основанию и наклону. Более того, и в этом папирусе, и в математическом папирусе Ринда объясняется, как найти площадь треугольника. Так что древнеегипетские математики вполне могли решить задачу Макмиллана.
Поскольку папируса, в котором содержался бы именно этот расчет, в нашем распоряжении нет, то нет и убедительных причин полагать, что эта задача действительно была решена в Древнем Египте. У нас нет никаких свидетельств того, что египтяне были заинтересованы в оптимизации формы своих пирамид. И даже если были, они вполне могли определить оптимальную форму экспериментально, при помощи глиняных моделей. Или просто произвести эмпирическую оценку. А может быть, форма постепенно эволюционировала в направлении наименьшей стоимости: строители и фараоны, они такие. В альтернативном варианте угол наклона грани мог определяться инженерными соображениями: считается, скажем, что необычная форма Ломаной пирамиды объясняется тем, что на середине строительства она начала разваливаться и строителям пришлось уменьшить крутизну граней. Тем не менее можно с уверенностью заявить, что этот небольшой математический пример имеет более непосредственное отношение к пирамидам, чем, скажем, скорость света.
Знак одного: часть вторая
Из мемуаров доктора Ватсапа
Сомс начал, как одержимый, расхаживать по комнате из угла в угол. Внутренне я громко кричал «Ура!», поскольку ясно видел, что он попался на крючок. Теперь я мог спокойно «вываживать» его, чтобы вывести из черной депрессии, в которую он умудрился впасть, и заодно избавить себя от боливийских погребальных напевов.
– Мы должны действовать систематически, Ватсап! – объявил он.
– Каким образом, Сомс?
– Более систематическим образом, Ватсап, – воцарившееся молчание заставило его поубавить загадочности. – Мы должны составить список небольших чисел, которые можно получить с использованием всего лишь двух единиц. Соединяя их, мы сможем… ну, я уверен, через минуту вы все поймете.
После этого Сомс записал:
На этом этапе Сомса заклинило.
– Признаюсь, 7 и 8 пока не даются мне, на их местах останутся лакуны, – сказал он. – Но это не важно, позвольте мне продолжить:
9 = 1/0,(1)
10 = 1/0,1
11 = 11.
– Признаюсь, я пока не…
– Будьте уверены, Ватсап, вы все поймете. Предположим, для обобщения, что мы придумали, как выразить 7 и 8 при помощи двух единиц. Тогда в нашем распоряжении окажутся все числа от 0 до 11. Теперь в случае, если некое число n можно выразить при помощи двух единиц, мы получим возможность выразить все числа между n – 11 и n + 11 при помощи всех четырех единиц – просто вычитая или складывая выражения из моего систематического списка.
– Ах, теперь я понял, – сказал я.
– Обычно вам это удается, после того как я вам расскажу, – саркастически отозвался он.
– Тогда позвольте мне кое-что добавить, чтобы показать, что я и правда понял! Поскольку мы знаем, как выразить 24 при помощи двух единиц, к примеру, как мы мгновенно получаем возможность выразить все числа от 24–11 до 24 + 11 при помощи четырех единиц. Это значит, что мы получаем все числа в диапазоне от 13 до 35 включительно.
– Вот именно! Думаю, записывать это не обязательно.
– Да, наверное. Ага! Мы можем пойти еще дальше! Взгляните:
– Да, – ответил он. – Однако, пока энтузиазм не унес вас в несказанные дали, я напомню, что у нас пока нет выражений для 7 и 8 с использованием только двух единиц.
Я принял подобающе удрученный вид. Но затем меня осенила дикая мысль.
– Сомс? – спросил я нерешительно.
– Да?
– Факториалы делают числа больше?
Он раздраженно кивнул.
– А извлечение квадратного корня делает их меньше, так?
– Согласен. Переходите же к делу!
– А операции округления в пол и в потолок вновь делают числа целыми?
Я видел, как на его лице медленно проступает понимание.
– Браво, Ватсап! Да, теперь понятно. Мы знаем, к примеру, как выразить 24 при помощи двух единиц. Следовательно, мы можем также выразить 24! При помощи все тех же двух единиц, а это будет… – его брови сошлись к переносице – 620 448 401 733 239 439 360 000. А корень квадратный из этого числа, – его лицо покраснело от напряжения, пока он производил в уме соответствующие расчеты, – равен 887 516,46; еще раз извлечем квадратный корень, получим 942,08; а еще раз – 30,69.
– Так что мы можем выразить 30 и 31 с использованием всего лишь двух единиц, – сказал я. – А именно:
– Ни то ни другое, разумеется, не помогает нам выразить 7 и 8 через две единицы, но если бы мы могли это сделать, то расширили бы диапазон наших чисел до 31 + 1, то есть до 42. И все это говорит о том, что нам, как вы столь убедительно сказали, Сомс, следует действовать систематически. Я предлагаю теперь исследовать многократное извлечение квадратного корня из факториала чисел, которые мы можем выразить через две единицы.
