Г. Гурев - Системы мира (от древних до Ньютона)
Есть много видов овала, и. некоторые из них (в том числе и яйцеобразный овал, с одного конца более широкий, чем с другого) он испробовал; в результате оказалось, что они отвечают цели лучше кругов, но все‑таки не вполне. Хотя эта неудача доставила Кеплеру столько мучений, что он боялся даже лишиться рассудка, он продолжал создавать гипотезу за гипотезой, вычислять результаты каждой из них и сверять их с наблюдениями. Наконец, после семидесяти вариантов сложнейших вычислений, проделанных Кеплером над движением Марса, ему пришло в голову попробовать положить в основу вычислений специальный род овальной кривой, которая получается от пересечения конуса плоскостью, непараллельной основанию, а именно — эллипс. Это был очень смелый шаг, тем более, что с эллипсом мало кто был знаком в эпоху Кеплера (хотя эту кривую изучали еще древнегреческие геометры), так как она не имела тогда почти никакого применения я представляла интерес только для «чистой» математики.
Фиг. 46. Эллипс — кривая, характеризующаяся тем, что для любой ее точки сумма расстояний FP и F'P — одна и та же. Е и F'—фокусы эллипса FP и F'P — радиусы — векторы, АА' — большая ось. BB' — малая ось.
Если в, круге все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра, то в эллипсе, который отличается от круга некоторой растянутостью, овальностью, такой точки нет. Но внутри эллипса есть две точки, обладающие замечательным свойством: сумма двух линий, соединяющих эти точки с любой точкой окружности эллипса, всегда одинакова и равна большой оси, т. е. наибольшему диаметру) эллипса. Эти две точки называются фокусами эллипса, а всякая прямая линия, соединяющая фокус с любой точкой окружности эллипса, названа радиусом — вектором. Разделив расстояние между фокусами на длину большой оси, мы получим отношение, которое называется эксцентриситетом. Чем большим эксцентриситетом обладает эллипс, т. е. чем больше расстояния между фокусами при одной и той же длине большой оси, тем более он вытянут. Наоборот, с уменьшением эксцентриситета эллипс делается все менее и менее вытянутым, и когда эксцентриситет становится нулем, эллипс превращается в круг.
Но прежде чем окончательно сделать вывод, что планета Марс движется вокруг Солнца по эллипсу, Кеплер должен был узнать, удовлетворяет ли эта кривая открытому им закону изменения скорости движения планеты в различных частях ее орбиты, т. е. оправдывается ли для нее равенство площадей. К невыразимому своему удовольствию Кеплер довольно скоро убедился в том, что эллипс вг/олне соответствует условиям задачи, если поместить Солнце в одном из фокусов эллипса, описываемого Марсом. Оказалось, что Марс быстрее движется вблизи Солнца, а медленнее в отдалении, таким образом, что площади, описываемые линией, соединяющей Солнце с Марсом, т. е. радиусом — вектором, всегда пропорциональны временам. Так Кеплер, наконец, добился того, к чему столько лет стремился: оказалось, что вычисленные положения планеты вполне согласуются с наблюдениями Тихо Браге без значительных погрешностей.
Таким образом для Марса найдено было два важных закона, известных под названием двух первых законов Кеплера. Первый закон определяет форму орбиты и гласит: планета описывает эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Второй закон определяет скорость движения в разных частях орбиты и 174
гласит: прямая линия, соединяющая планету с Солнцем, т. е. радиус — вектор, описывает равные площади в равные промежутки времени. Оба эти закона с вычислениями, приведшими к их открытию, изложены в книге, изданной Кеплером в 1609 г. под названием: «Новая астрономия о движениях планеты Марс по наблюдениям Тихо Браге».
Трудно дать представление о той лестнице усилий, по которой Кеплер добрался до своих великих обобщений — до двух законов, обессмертивших его имя. Уже в 1603 г. Кеплер видел, что орбита Марса представляет собой замкнутую линию, напоминающую эллипс, но до 1608 г. не решался принять это предположение за истину. Впоследствии он рассказывал: «Я, глупый человек, полагал, что планета не должна описывать действительного эллипса». Он не сразу решился поколебать авторитет Птолемея, порвать с круговыми орбитами, и даже допускал, что в течение пятнадцати веков произошли великие перемены в небесном пространстве.
Немного известно открытий, которые до такой степени являлись бы результатом напряженного труда десятилетий, как открытые Кеплером законы движения планет. Кеплер искал эти законы с непоколебимой настойчивостью и бескорыстной любовью к истине, несмотря на то, что его жизнь была сплошной цепью бедствий. Ему приходилось преодолевать нездоровье, бедность, религиозные преследования и многие другие несчастья. В поисках истины он обнаружил не только гениальный ум, но и необычайную силу воли. Недаром, когда Карла Маркса спросили, кого он считает своим «любимым героем», он, наряду со Спартаком, указал на Кеплера.
Фиг. 47. Второй закон Кеплера, называемый «законом площадей». Заштрихованные площади, описанные радиусом — вектором планеты в равные промежутки времени, равны между собой. Ясно видно, что планета движется быстрее (проходит большую часть эллипса), когда находится ближе к Солнцу, помещающемуся в одном из фокусов эллипса (этот эллипс дает сильно преувеличенное изображение орбиты).
Хотя первые два закона планетного движения были вполне установлены только для Марса, Кеплер был убежден, что они имеют силу для всех планет и являются законами их движения. И Кеплер не ошибся: они оказались применимыми для всей солнечной системы, так как дали вполне удовлетворительные результаты в смысле совпадения вычисленных положений планет с наблюденными. Оказалось также, что и положение Земли на ее орбите можно вычислить, принимая эту орбиту за эллипс, и если Кеплер не заметил этого при первом вычислении, то это объясняется незначительным эксцентриситетом земной орбиты, т. е. тем, что земную орбиту трудно отличить от круга. Орбита Марса больше земной отличается от круга, и именно поэтому Кеплеру удалось открыть свой первый закон, определяющий истинный вид планетных путей. Вообще же планетные эллипсы очень незначительно отличаются от кругов, но открытие факта, что планеты движутся по эллипсам и с неодинаковой скоростью, было одним из величайших астрономических достижений.
Благодаря кеплеровым законам астрономия получила прочную теоретическую базу и навсегда освободилась от всех усложнений с эпициклами, деферентами и эксцентриками. Форма орбиты планет и закон их движения были выведены Кеплером непосредственно из наблюдений, эмпирически, а потому в разложении их на простейшие, заранее принятие формы не было уже никакой необходимости. На место придуманных древними геометрических схем были поставлены действительные пути небесных тел.
Кеплер при помощи своих двух законов окончательно объяснил так называемое первое неравенство в движении планет и тем завершил развитие системы Коперника. Из этих законов видно, что это неравенство не есть кажущееся явление (как это думали Птолемей, Коперник и др.), ибо планеты движутся по эллиптическим орбитам и вследствие этого в действительности в различных точках своего пути имеют различные скорости. А благодаря этому стало возможным очень точно заранее определить местонахождение той или иной планеты и видимый путь, который она должна описывать на небе. Для этого приходится для каждого данного момента найти место планеты на ее эллиптической орбите так, как оно видно с центра Солнца, а затем, зная положение планеты относительно Солнца, вычислить положение планеты так, как оно рассматривается с Земли. Кеплер, основываясь на своих наблюдениях и в особенности на наблюдениях Тихо Браге, составил и опубликовал в 1627 г. новые таблицы движения планет, которые своей точностью превосходили все прежние таблицы и таким образом явились достойным венцом его великой астрономической деятельности.
Вышеупомянутые два закона, определяющие форму планетных орбит и скорость движения планет в каждой точке орбиты, относятся к каждой планете в отдельности. Но после того как Кеплер открыл эти законы, у него усилилась уверенность в существовании еще одного, какого‑то высшего закона, объединяющего органически все планет- г/з ные орбиты, т. е. обусловливающего внутреннюю связь между различными частями солнечной системы.
Прежде всего Кеплер окончательно установил, что чем дальше планета от Солнца, тем медленнее она движется. Поэтому Кеплер не сомневался в том, что имеется некоторая зависимость между расстояниями от Солнца и временами обращения. Пытаясь открыть эту связь, он всячески комбинировал величины, касающиеся размеров орбит различных планет и времен их обращения вокруг Солнца. Но какие комбинации этих величин Кеплер не придумывал, он не мог получить простой зависимости, строгого соотношения между ними. Наконец, после десятилетних усиленных работ, 15 мая 1618 г. Кеплеру пришла счастливая мысль возвысить в различные степени времена обращения планет и их средние расстояния от Солнца и сравнить полученные величины. И тут он сам был поражен удачей: ему открылось то, что он давно ожидал, — оказалось, что между временами обращения и расстояниями двух планет существует определенная зависимость.
