Анатолий Томилин - Занимательно о космологии
Лишь раз по настойчивому приглашению Александра Гумбольдта выезжает он в Берлин на съезд естествоиспытателей.
Германия тех лет представляла собой удивительное сборище без малого трехсот крохотных государств. И в каждом свой герцог. В каждом свои законы. В этих малюсеньких государствах, властители которых изо всех сил пыжились, чтобы походить на настоящих королей и императоров, царила на редкость затхлая атмосфера. Но при каждом дворе или дворике непременная Академия наук. Непременно «свои» гении, содержащиеся для забавы, для представительства, питающиеся от щедрот сюзерена.
Одни бунтовали, как Бетховен при дворе князя Лихновского в Вене. Другие лавировали, стремясь воплотить свои идеалы, не вступая в открытый конфликт с окружающей социальной средой: так поступал Гейне в Веймаре. Третьи ценили кормушку, страшась возможной свободы и неустроенности, боясь остаться без покровителя, без привычных условий для главного и единственного в жизни — для науки: таким был Гаусс. Математика была страстью Гаусса, наука — его жизнью.
Дублинский математик Корнелий Ланцош пишет: «Гаусс чем-то напоминал легендарного греческого царя Мидаса. Царь Мидас обращал в золото все, к чему прикасался. Многие открытия Гаусса берут свое начало от некоторых случайных вопросов, которые перед ним ставились. И хотя сами по себе эти вопросы были зачастую досадной нагрузкой, но, когда Гаусс брался за них с характерными для него тщательностью и аккуратностью, он создавал нечто исключительно важное».
Математика, астрономия, геодезия, физика — во всех этих отраслях науки Гаусс, начиная с небольшого частного вопроса, заканчивал тем, что блестяще решал фундаментальные задачи, продвигая науку дальше и дальше. Нет, не зря современники называли его первым математиком мира.
В 1820 году Гаусс получает указание от министра общественных дел Ганноверского княжества возглавить геодезическую съемку государства и составить подробную карту для межевания и точного определения границ земельных владений. «Гаусс отнюдь не пришел в восторг от своих новых обязанностей». Но он разработал специальный прибор — гелиотроп — для усовершенствования оптической сигнализации; изобрел новый способ наименьших квадратов для установления длин, координат, дуг и других величин в астрономии и геодезии. Заинтересовавшись формой земной поверхности, он занялся углублением общего метода исследования кривых поверхностей. И в конце концов, открыв в геометрии целое новое направление, создал математический аппарат, без которого не смогла бы возникнуть общая теория относительности. Потому что именно геометрические методы Гаусса явились отправной точкой в размышлениях Эйнштейна об общих системах отсчета.
А так как общая теория относительности — хлеб насущный современной космологии, то терпеливый читатель понимает необходимость ознакомиться с геометрическим открытием Гаусса поподробнее.
Занимаясь проблемой измерения кривых поверхностей, Гаусс первым попробовал рассмотреть их «внутренние», или «собственные», свойства, зависящие только от самих искривленных поверхностей. Он как бы попробовал проникнуть в психологию плоского двухмерного существа, живущего на такой поверхности. Этот новый, совершенно необычный взгляд означал фактически создание новой, «внутренней геометрии» поверхностей.
В гостях у плоскунов и плоскатиков
Основными элементами геометрии всегда являлись прямые линии и углы. Без них геометрию не построишь, как не придумаешь правил правописания без букв. Но можно ли говорить о существовании прямых линий, например, на искривленной плоскости? Конечно, нет! — скажет поверхностный читатель. А глубокомыслящий задумается. Но давайте спросим у самого обитателя расплющенного мира. Ведь мы договорились, что на искривленной поверхности живут плоские, как вырезанные из полиэтиленовой пленки, существа. Итак.
Вопрос. Есть ли в вашем искривленном мире прямые линии?
Ответ. А почему же нет? Если прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками, то, двигаясь, или, по-вашему, «ползя», в одном направлении, разве мы не будем совершать движение по прямой?..
М-да, против этого, пожалуй, не возразишь. Разве не так же мы, обитатели сферической (то есть искривленной) земной поверхности, строим «прямые как стрела» дороги и определяем кратчайшие расстояния между двумя городами? Ну, а коли есть прямые линии на искривленной поверхности, то есть и углы, треугольники, окружности, эллипсы…
Короче говоря, обитатели кривого плоского мира вправе ожидать от своего «расплющенного Эвклида» построения науки, которая ничуть не хуже планиметрии.
Теперь представим себе, что эта искривленная поверхность замыкается в шар. Ее обитатели, если они достаточно малы по сравнению с радиусом шара, просто не замечают кривизны. Кстати, «кривизна» чрезвычайно важное геометрическое понятие. Кривизной называют величину, как раз обратную радиусу закругления поверхности в рассматриваемой точке. У шара кривизна во всех точках одинакова. После такого открытия грешно не попытаться в лучших традициях древних греков соорудить аксиому со стандартным началом, «Очевидно, что чем больше радиус, тем меньше кривизна!» Прекрасно!
Теперь вернемся к нашим «расплющенным» мыслителям, живущим на поверхности здоровенного шара, но не знающим этого. Их геометрия ничем не отличается от эвклидовой. Точно так же они станут утверждать, что прямые линии бесконечны, треугольники подобны, а параллельные никогда не пересекаются.
И вот приходим в этот плоский мир мы с вами. Нам тоже пришлось расплющиться. Вы не возражаете? Но все равно и в этом непривычном состоянии мы с вами гиганты мысли. Мы строим на поверхности шара, которую тамошние интеллектуалы именуют плоскостью, треугольник. И предлагаем измерить сумму его углов. Плоскуны-геометры меряют — вроде 180°. В пределах ошибки. Тогда мы растаскиваем, растягиваем стороны треугольника на полмира, в смысле на полшара. Плоскуны снова измеряют и обнаруживают… Ну мы-то, конечно, с самого начала знали, что сумма углов в криволинейном треугольнике не равна 180°, и потому не удивляемся этому результату.
Итак, на поверхности сферы сумма углов треугольника оказывается больше двух прямых, больше 180°. Попробуем сделать еще одну проверку, на этот раз первого постулата: «Из каждой точки к каждой точке можно провести прямую линию (и притом только одну)». Но «прямыми» на сфере являются дуги больших кругов — меридианы. А таких, от полюса до полюса, например, можно провести бесчисленное количество. Опять промах.
Второй постулат: «и чтобы ограниченную прямую можно было непрерывно продолжать по прямой». Отправимся в кругосветное путешествие, держась все время строго одного направления. Мы объехали сферический мир и вернулись к следам своих мокасин… Это значит, что законы Эвклида для сферы неприемлемы. Шар требует другой, неэвклидовой геометрии.
Подобный пример в свое время заставил Гаусса крепко задуматься. Как же быть тогда с нашим собственным миром? Действительно ли правдоподобные, но совершенно бездоказательные постулаты Эвклида отражают объективную реальность? А может быть, истинные законы геометрии нашего физического мира совсем иные?.. Вот когда понадобилась впервые проверка геометрии опытом. Нет, нет, Карл Фридрих Гаусс вовсе не собирался взрывать систему Эвклида, как это сделал в свое время Галилей со взглядами Аристотеля. У Карла Фридриха был не тот характер. Но истине он служил честно. Истина же требовала проверки.
Потихоньку, воспользовавшись наличием в своем топографическом хозяйстве угломерных инструментов, Гаусс выбирает вершины трех гор, хорошо заметных на горизонте. То были Хохер-Хаген, Инзельсберг и знаменитый Брокен — согласно поверьям, излюбленное место шабаша ведьм. Вершины составили подходящий по величине треугольник. Гаусс измеряет его углы со всей доступной инструментам точностью. Измеряет, считает, снова измеряет. Нет! Никакого отклонения от 180° сумма углов треугольника не давала. Разочарование?
Конечно! Однако Гаусс никому о нем не говорит. Он не уверен в собственной интуиции и неоднократно в письмах к друзьям то выражает свое недоверие Эвклиду, то снова принимает его взгляды безоговорочно. В конце концов он все-таки отказался от постулатов, заменив их фундаментальными величинами, которые можно точно измерить в каждой точке поверхности, воспользовавшись для этого системой изобретенных им криволинейных (гауссовых) координат. Эти измерения сами по себе дают понятие о кривизне поверхности независимо от пространства, в котором эта поверхность находится. Ведь о форме поверхности мы судим, как правило, извне, держа ее в руках или перед глазами.
