Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
Индийской философии так же внутренне присуща концепция «несуществования», как и индийской математике — концепция нуля. Концептуальный скачок, приведший к изобретению нуля, произошел в цивилизации, которая приняла пустоту как суть Вселенной. Символ изображения нуля, возникший в Древней Индии, в полной мере воплотил в себе главное откровение Шанкарачарьи о том, что математику невозможно отделить от духовности. Окружность, олицетворяющая нуль, была выбрана потому, что выражает циклическое движение небесного свода. Нуль означает ничто, и это означает вечность.
* * *Законная гордость, связанная с изобретением нуля, привела к тому, что математическое мастерство стало частью индийской национальной идентичности. Школьникам предписано учить таблицу умножения до 20, что в два раза больше, чем учил я в обычной английской школе[23]. В предшествующие десятилетия индийские школьники должны были заучивать таблицу умножения до 30. Один из ведущих неведических индийских математиков С. Г. Дани сказал мне по этому поводу: «Когда я был ребенком, у меня сложилось твердое впечатление, что математика представляет собой нечто исключительно важное». Для взрослых было обычным делом задавать детям математические задачки, и правильные решения весьма приветствовались. «Помимо своей практической пользы, математика — это нечто такое, чему в Индии придается большое значение как среди коллег, так и в кругу друзей».
Дани — старший профессор математики в Институте фундаментальных исследований Тата в Бомбее. Он носит очки в черепаховой оправе, его курчавые волосы камуфлируют залысину на академический манер, верхнюю губу прикрывают усы. Он вовсе не фанат ведической математики; по его мнению, в Ведах нельзя найти арифметические методы Тиртхи, да и особой пользы от этих методов нет. «Не думаю, что они делают математику какой-то особенно интересной. Главное в них то, что эти алгоритмы ускоряют счет, а не то, что они делают это занятие таким уж интересным или позволяют лучше усвоить алгоритм вычислений. Весь интерес — в результате, а не в процессе».
Поэтому я был удивлен, когда Дани положительно отозвался о трудах Тиртхи, связанных с ведической математикой. Дани воспринимает Тиртху на эмоциональном уровне. «Я сочувствую ему, у него был комплекс неполноценности, который он попытался преодолеть. Когда я был ребенком, я тоже испытывал нечто похожее. В те годы (вскоре после обретения независимости) многие в Индии полагали, что нам следует всеми правдами и неправдами забрать обратно (у британцев) все, что мы утратили. В наибольшей степени это относилось к предметам искусства, которые англичане вывезли из страны. Ведь мы действительно столько потеряли! Я был уверен — мы должны получить обратно эквивалентный объем того, что потеряли.
Ведическая математика — ошибочная попытка вернуть арифметику Индии».
* * *Некоторые из приемов ведической математики настолько просты, что я задался вопросом, встречаются ли они где-нибудь еще в литературе по арифметике. Я решил, что хорошей отправной точкой для начала поисков будет книга Фибоначчи «Liber Abaci». Вернувшись в Лондон, я отыскал ее экземпляр в библиотеке, открыл там главу про умножение и увидел, что первый же из предложенных Фибоначчи методов — не что иное, как «вертикально и крест-накрест». Я исследовал вопрос несколько глубже и обнаружил, что умножение на основе «все из 9 и последнее из 10» было излюбленным методом нескольких европейских авторов, живших в XVI веке. (На самом деле имеется даже предположение, что эти методы повлияли на принятие знака ×. К 1631 году, когда × впервые появился в качестве обозначения для умножения, уже были опубликованы книги, в которых оба метода умножения иллюстрировались большими знаками, выполненными в виде пересекающихся линий.)
Ведическая математика Тиртхи, как представляется, есть, по крайней мере отчасти, переоткрытие некоторых арифметических приемов, широко распространенных во времена Возрождения. Может быть, они пришли из Индии, а может быть, и нет, но каково бы ни было их происхождение, очарование ведической математики для меня состоит в том, что она позволяет по-детски непосредственно радоваться числам, а также структурам и симметриям, которые в ней содержатся. Арифметика играет существенную роль в повседневной жизни, причем важно вычислять правильно, и именно поэтому нас столь методично учат ей в школе. Однако, сосредоточившись на практических аспектах, мы перестали замечать, насколько восхитительна индийская система числительных. Она стала огромным шагом вперед по сравнению со всеми предыдущими методами счета, и более того — оставалась непревзойденной в течение тысячи лет. Сейчас мы воспринимаем позиционную десятичную систему как нечто само собой разумеющееся, не задумываясь о том, насколько она многогранна, изящна и эффективна.
Глава 4
Вокруг π
В начале XIX столетия до английской королевы Шарлотты[24] дошла молва о вундеркинде Джордже Паркере Биддере — сыне девонширского каменщика. Она задала мальчику такой вопрос: «От мыса Лэндс-энд в Корнуолле до Фаррэтс-хэд в Шотландии 838 миль; сколько времени понадобится улитке, чтобы проползти это расстояние, если она ползет со скоростью 8 футов в день?»
Заданный вопрос и полученный ответ — 553 080 дней — упомянуты в популярной книге того времени «Краткий рассказ о Джордже Биддере, прославленном Чудо-Вычислителе, с приложением множества самых трудных вопросов, заданных ему в главных городах королевства, и его невероятно быстрых ответов». На ее страницах приведен список грандиознейших вычислений, проделанных ребенком, включая такую «классику», как вопросы «Чему равен квадратный корень из 119 550 669 121?» (ответ — 345 761 — последовал через полминуты) и «Сколько фунтов весит сахар, погруженный в 232 бочки, каждая из которых весит 12 центнеров, 1 четверть и 22 фунта?». (Ответ — 323 408 фунтов — также последовал через полминуты.)
Использование арабских цифр существенно упростило операцию сложения, но тут вдруг выяснилось, что некоторые люди отмечены поистине потрясающими арифметическими способностями. Нередко эти чудо-вычислители не преуспевали ни в чем другом, кроме как в действиях с числами. Один из самых ранних известных нам примеров — сельскохозяйственный рабочий из Дербишира Джедедия Бакстон, изумлявший всю округу своими способностями к счету, хотя он никогда не учился ни читать, ни писать. Он мог, например, вычислить, какая сумма получится после 140-кратного удвоения фартинга. (Ответ, выраженный в фунтах, дается числом длиной в 39 цифр, плюс остаются 2 шиллинга и 8 пенсов.) В 1754 году интерес к таланту Бакстона достиг такого уровня, что его позвали в Лондон, где члены Королевского общества его внимательно обследовали. По всей видимости, он страдал некоторой формой высокофункционального аутизма. Например, когда его повели в театр на спектакль «Ричард III», действие на сцене оставило его совершенно равнодушным, он лишь сообщил, что актер совершил 5202 шага и произнес 14 445 слов.
В XIX веке «чудо-вычислители» блистали на сценах всего мира. Некоторые из них проявляли недюжинные способности уже в самом юном возрасте. Зира Колберн из Вермонта впервые выступил на публике в пятилетнем возрасте, а в восемь приплыл в Англию с видами на громкий и прибыльный успех. (Колберн, кстати, имел от рождения 12 пальцев, хотя осталось неизвестным, давало ли ему это какие-либо преимущества при обучении счету.) Девонширский парень Джордж Паркер Биддер был современником Колберна. Пути двух вундеркиндов пересеклись в 1818 году, когда Колберну было 14 лет, а Биддеру — 12, и их встреча в одном лондонском пабе неизбежно привела к математической дуэли.
Колберна спросили, как много времени понадобится, чтобы обогнуть земной шар на воздушном шаре, если шар движется со скоростью 3878 футов в минуту, а Земля имеет в окружности 24 912 миль. То был вопрос, который во всем мире задавали на состязаниях на получение неофициального титула самого всезнайского всезнайки на свете. Однако после девятиминутного размышления Колберн так и не смог дать ответ. Одна лондонская газета опубликовала разгромную статью, в которой говорилось, что оппоненту Колберна, напротив, для решения задачи понадобилось всего две минуты. Ответ — 23 дня, 13 часов и 18 минут — был встречен бурными рукоплесканиями. И на многие другие заданные ему вопросы американский мальчик отвечать отказался, тогда как юный Биддер ответил на все. В своей автобиографии «Воспоминания Зиры Колберна, написанные им самим», американец, желая произвести благоприятное впечатление, излагает несколько иную версию: «Биддер продемонстрировал огромную силу и мощь ума в высших областях арифметики, — сначала пишет он, а затем пренебрежительно добавляет: — Но оказался не в состоянии извлекать корни и разлагать числа на множители». Кто же стал победителем, так и осталось неизвестным.
