Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
Сначала он написал мелом на доске цифру 9, а за ней — разность между 9 из 10, составляющую -1. Ниже он написал цифру 8, а затем — разность между 8 и 10, составляющую -2:
Первую цифру ответа можно получить четырьмя различными способами: сложить числа в первом столбце и вычесть десять (9 + 8 - 10 = 7);
сложить числа во втором столбце и прибавить десять (-1 - 2 + 10 = 7);
сложить числа, стоящие на любой из диагоналей (9 - 2 = 7 или 8 - 1 = 7). В результате неизменно получается семь:
Вторая цифра ответа вычисляется путем перемножения двух чисел во втором столбце: (-1) × (-2) = 2. Окончательный ответ равен 72:
меня этот трюк вызывает чувство глубочайшего удовлетворения. Запись однозначного числа рядом с числом, выражающим его отличие от десяти, до некоторой степени подобна разборке данного числа на части с целью увидеть его внутреннее содержание, выявить его эго и альтерэго. Таким путем достигается более глубокое понимание поведения чисел. Пример типа 9 × 8, конечно, совершенно обыденный, но стоит только копнуть поглубже, как неожиданно проступят изящество и порядок. Данный метод работает не только для 9 × 8, но и для любой пары чисел. Тиртха далее написал мелом другой пример, 8 × 7:
Как и раньше, первую цифру ответа можно получить любым из четырех способов: 8 + 7 - 10 = 5, или -2 - 3 + 10 = 5, или 8 - 3 = 5, или же 7 - 2 = 5. Вторая цифра есть произведение цифр во втором столбце: (-2) × (-3) = 6. Ответ равен 56.
Способ, которым действует Тиртха, сводит умножение двух однозначных чисел к сложению и умножению разниц между исходными числами и числом десять. Другими словами, умножение двух однозначных чисел больше пяти сводится к некоторому сложению и умножению двух чисел меньше пяти. А это означает, что можно умножать на шесть, семь, восемь и девять без обращения к верхней (выше пятерки) части таблицы умножения. Это полезно для тех, кому запоминание таблицы умножения дается с трудом.
Этот метод по сути подобен вычислению на пальцах, который использовался в Европе по крайней мере с эпохи Возрождения и применялся во французских и российских деревнях чуть ли не до конца 1950-х годов. На каждой руке пальцам приписаны числа от 6 до 10. Чтобы перемножить два числа, скажем 8 и 7, соединим палец 8 с пальцем 7. Число цифр выше соединенных пальцев с одной стороны вычитаем из числа, соответствующего соединенному пальцу с другой стороны (или 7 - 2, или 8 - 3), что дает 5. Число цифр выше соединенных пальцев с каждой из сторон — 2 и 3 — затем перемножается, что дает 6. Ответ, как и раньше, равен 56.
* * *Далее в своем выступлении Тиртха продемонстрировал, что данный метод работает и для умножения двузначных чисел, на примере 77 × 97. Он записал на доске:
Затем, вместо того чтобы выписывать разницу между числами 77 и 10, он записал отличие каждого из чисел от 100 (здесь-то и вступает в игру вторая сутра: когда мы вычитаем число из 100 или из любой большей степени числа 10, все цифры числа вычитаются из 9, кроме самой последней, которая вычитается из 10):
Как и прежде, для получения первой части ответа имеются четыре возможности. Тиртха выбрал два диагональных сложения: 77 - 3 = 97 - 23 = 74:
Вторая часть ответа получается, если перемножить обе цифры в правом столбце столбце: (-23) × (-3) = 69:
Ответ равен 7469.
«С помощью этих формул уравнения существенно упрощаются», — отметил Тиртха. Это высказывание искренне порадовало аудиторию. Хотя смех могла вызвать просто некоторая абсурдность ситуации, когда почтенный гуру в балахоне обучает основам арифметики самых способных студентов-математиков в Соединенных Штатах. А может, показанные Тиртхой арифметические фокусы и правда развеселили слушателей. Арабские числительные — это кладезь скрытых структур, даже на таком простом уровне, как перемножение двух однозначных чисел.
Далее Тиртха перешел к способам возведения в квадрат, деления, а затем — к алгебре. Аудитория, судя по всему, откликнулась с энтузиазмом. Когда лекция закончилась, один из слушателей спросил сидевшего рядом приятеля: «Ну как тебе?» На что тот ответил: «Просто обалдеть!»
Вернувшись в Индию, Тиртха получил приказ явиться в священный город Варанаси, где специальный совет индуистских старейшин обсудил совершенное им нарушение протокола — выезд за пределы страны. Было решено, что его поездка — первый и последний раз, когда какому бы то ни было Шанкарачарье было дозволено отправиться за рубеж; Тиртхе же после предписывалось пройти через очистительный ритуал — на тот случай, если во время своих путешествий он все же вкусил неиндуистской пищи. Через два года он скончался.
* * *В гостинице в Пури, где я остановился, я встретил двух ярых поборников ведической математики и узнал от них много нового. Один из них — Кеннет Уильямс, 62-летний бывший преподаватель математики из Южной Шотландии — написал несколько книг на эту тему. «Этот метод так прекрасно изложен и выстроен в такую ясную систему, — сказал он мне. — Когда я впервые узнал о нем, я подумал — именно такой и должна быть математика». Уильямс — невзрачный, молчаливый человек, со лбом мыслителя, с аккуратной, тронутой сединой бородкой и голубыми глазами, прикрытыми тяжелыми веками. Вторым энтузиастом ведической математики был гораздо более разговорчивый Горав Текривал — 29-летний брокер из Калькутты, в безупречной белой рубашке и с темными очками от Армани. Текривал — президент Ведического математического форума Индии. Эта организация имеет свой веб-сайт, организует лекции и продает DVD.
Текривал помог мне добиться аудиенции у Шанкарачарьи. Естественно, он и Уильямс пожелали составить мне компанию. Мы наняли моторикшу и отравились в путь в Говардхан-Мат — название места звучало многообещающе в смысле математики, но, увы, не имело к ней никакого отношения и обозначало монастырь или храм. Мы ехали по небольшим улочкам, вдоль которых протянулись ряды торговых палаток, где продают еду и узорчатые шелковые ткани. Монастырь Мат представляет собой простое здание из кирпича и бетона размером с небольшую сельскую церковь. Оно окружено пальмами и садом с песчаной почвой, где выращивают базилик, алоэ и манго. Во внутреннем дворике растет баньян, ствол которого украшен оранжево-желтой тканью. Считается, что под этим деревом сидел и медитировал Шанкара — основатель этого ордена, индуистский мудрец, живший в VIII веке. Единственный современный элемент здания — сияюще-черный фасад второго этажа: покои Шанкарачарьи сделали пуленепробиваемыми после того, как в адрес монастыря прозвучали угрозы со стороны мусульманских террористов.
Нынешний Шанкарачарья из Пури — Нисчалананда Сарасвати, унаследовавший свой сан от преемника Тиртхи. Сарасвати гордится математическим наследием Тиртхи и уже опубликовал пять книг о ведическом подходе к числам и вычислениям. Нас встретили и препроводили в комнату, которую Шанкарачарья использует для аудиенций. Она была обставлена довольно скромно — мы увидели старинный диван с обивкой глубокого красного цвета и стоящее перед ним низкое кресло с большим сиденьем и деревянной спинкой, покрытое красным платком. То был трон Шанкарачарьи. Ожидая прибытия святого мудреца, мы уселись на полу лицом к креслу.
Наконец Сарасвати, облаченный в бледно-розовые одежды, вошел в комнату. Затем его старший ученик прочитал стихи религиозного содержания, после чего Сарасвати сложил руки для молитвы и обратился к изображению Шанкары на задней стене. Усевшись наконец на своем троне — в позе полулотоса, — он придал своему лицу подобающее выражение, нечто среднее между безоблачностью и печалью. Перед началом церемонии стоявший передо мной человек в синих одеждах бросился на пол и растянулся перед троном, раскинув руки. Раздраженно охая и вздыхая — ни дать ни взять рассерженный дедуля, — Шанкарачарья без лишних церемоний велел его выпроводить.
Религиозные традиции требуют, чтобы Шанкарачарья изъяснялся на хинди, поэтому я попросил старшего ученика быть моим переводчиком. Первый вопрос, который я задал, звучал так: «Какова связь между математикой и духовностью?» Через несколько минут последовал ответ: «По моему мнению, создание, существование и уничтожение всей нашей Вселенной всегда происходят в математических формах. Мы не делаем различия между математикой и духовностью. Мы воспринимаем математику как первоисточник индийских философских учений».
Затем Сарасвати рассказал историю о том, как однажды в лесу встретились два правителя. И вот первый правитель сказал второму, что ему достаточно лишь раз взглянуть на дерево, чтобы сказать, сколько на нем листьев, а затем произнес число. Второй правитель не поверил ему и принялся, срывая листья с дерева, пересчитывать их по одному. Закончив счет, он получил число — то самое, которое сообщил ему первый правитель. Сарасвати заметил, что эта история свидетельствует о том, что у древних индийцев была способность пересчитывать много объектов, просто рассматривая их как целое, вместо того чтобы перебирать их один за другим. Это и многие другие навыки той эпохи, добавил он, ныне утеряны. «Все эти потерянные знания можно восстановить с помощью серьезного созерцания, серьезной медитации и серьезных усилий», — сказал он. Процесс изучения древних писаний с целью спасения древнего знания, добавил он, — это именно то, что Тиртха делал с математикой.
