Н. Белов - Алексей Васильевич Шубников (1887—1970)
Интересные соображения, связанные с упаковкой идентичных частиц, высказывал И. Ньютон в «Оптике», М. В. Ломоносов в работе «О рождении и природе селитры». Для полноты картины в список приверженцев решетчатого строения кристаллов XVII—XVIII вв. следует добавить имена Вестфельда и Бергмана, полагавших, что кристаллы кальцита построены из одинаковых крошечных ромбоэдров, примыкающих друг к другу своими гранями и заполняющих пространство без промежутков.
Таким образом, идея решетчатого строения кристаллов буквально «висела в воздухе» перед тем, как французским кристаллографом Р. Ж. Гаюи была создана первая по времени теория структуры кристаллов. Чисто опытным путем Гаюи нашел пять типов примитивных спайных «кирпичиков», из которых только параллелепипед, гексагональная призма и ромбододекаэдр заполняют пространство. Но в 1824 г. А. Зеебер пришел к заключению о невозможности сказать что-либо достоверное об истинной форме гипотетических элементарных «кирпичиков», и это натолкнуло его на мысль заменить их центром тяжести. Этот подход привел Зеебера к системе точек, которую он и назвал впервые «пространственной решеткой». С этого момента развитие теории заполнения пространства происходит по двум направлениям — кристаллографическому и математическому. Оба они пересекаются в трудах Б. Н. Делоне.[* Делоне Б. Н., Галиулин Р. В., Штогрин М. И. Теория Браве и ее обобщение на я-мерные решетки. — В кн.: Браве О. Избранные научные труды. Л.: Наука, 1974, с. 309—413; Современная теория правильных разбиений эвклидова пространства. — В кн.: Федоров Е. С. Правильное деление плоскости и пространства. Л.: Наука, 1979, с. 235—260.]
Таблица 6* Год Автор Предмет открытия 1611 Кеплер Первые идеи о геометрии шаровых упаковок 1721 Ньютон Идеи кристаллической решетки 1824—1831 Зеебер, Гаусс Определение понятия решетки и ее свойств в теории чисел 1835 Франкенгейм 15 решеток 1848 Дирихле Понятие «областей Дирихле» 1849 Браве 14 решеток 1885 Федоров «Начала учения о фигурах». Параллелоэдры 1897 Барлоу Плотнейшая гексагональная упаковка 1899 Федоров Правильное деление плоскости и пространства 1908 Вороной Алгоритм вывода всех примитивных параллелоэдров я-мерного пространства 1916 Шубников 11 комбинаторно-различных разбиений плоскости 1924 Шубников Идеи разбиения многомерных пространств 1930 Лавэс 11 комбинаторно-различных разбиений плоскости 1934 Коксетер Вывод групп с отражениями для я-мерных пространств 1934 Делоне, Александров Теория кристаллического «состояния» с точки зрения теории решеток, параллелоэдров 1939 Шубников Пространственные калейдоскопы (7 коксетеровских групп) 1947 Белов Полная систематика плотнейших шаровых упаковок 1959 Делоне Завершение теории планигонов 1961 Делоне, Сандакова Доказательство основной теоремы стереоэдров и алгоритм построения стереоэдров Дирихле 1965 Заморзаев Контрпример к основной теореме о стереоэдрах 1974—1979 Делоне, Теория Браве и ее обобщение на п- мерные решетки Галиулин, Современная теория правильных разбиений евклидова пространства Штогрин
* Ссылки на первоисточники содержатся в работах Б. Н. Делоне с соавторами; Делоне Б. Н. и др. Теория Браве... .
Рассмотрим вначале кристаллографическое направление. Следующим шагом в развитии теории решетчатого строения кристаллических тел был вывод в 1835 г. М. Л. Франкенгеймом 15 решетчатых расположений. Эта проблема была окончательно решена О. Браве, который свел их к 14 решеткам, названным впоследствии его именем.
Следующий этап развития кристаллографического направления — это труды Е. С. Федорова. В 1885 г. увидели свет его «Начала учения о фигурах», в которых впервые устанавливаются законы заполнения пространства параллелоэдрами, дается их полный список с учетом деформации, определяется понятие стереоэдра. Последние он связывает с правильными системами точек. Проблема правильного деления плоскости и пространства окончательно решена в монографии Е. С. Федорова, кристаллографическая направленность которой видна из следующего высказывания автора: «Теория кристаллического строения, помимо всего прочего, выдвинула следующую чисто геометрическую проблему: закономерно разделить бесконечное воображаемое пространство на конгруэнтные и соответственно симметрично-равные конечные пространственные фигуры».[* Федоров Е. С. Правильное деление плоскости и пространства. Л.: Наука, 1979, с. 7.]
Следующей «кристаллографической» статьей можно считать публикацию А. В. Шубникова [15], который писал по поводу этой статьи: «... Примерно в 1915 году мне пришла в голову мысль: нельзя ли вывести такие многогранники, которые вместо одинаковых граней имели бы одинаковые ребра. Эту задачу мне удалось решить... Когда работа была закончена, я не без страха решил показать ее своему учителю. Ю. В. Вульф внимательно просмотрел мои чертежи, затем молча подошел к шкафу и вынул оттуда „Начала учения о фигурах" Е. С. Федорова. Открыв последние страницы этой книги, Вульф показал мне в ней те самые чертежи, которые были сделаны мною. Выведенные мною многогранники у Е. С. Федорова были названы изогонами. Кроме них, в книге были изображены все обобщенные простые формы (как кристаллографические, так и некристаллографические), названные Федоровым изоэдрами... Занимаясь изучением книги Е. С. Федорова... где, в частности, решается вопрос о заполнении трехмерного пространства многогранниками без промежутков, я обнаружил, что Е. С. Федоров не включил в эту книгу вопрос о заполнении плоскости многоугольниками без промежутков. Эту задачу я попробовал решить самостоятельно, и мне это удалось. В результате появилась моя статья с крайне неудачным названием „К вопросу о строении кристаллов"...» [342, с. 9].
Из этой статьи А. В. Шубникова следует так называемая теорема Шубникова—Лавэса, от которой и происходит деление плоскости на 11 топологически различных разбиений, на стандартные планигоны.
В следующей статье этого цикла А. В. Шубников с помощью весьма наглядных представлений разбирает проблемы заполнения пространства кубом, ромбододекаэдром и комбинацией куба и октаэдра — кубооктаэдром. В частности, он делает вывод, что «для элементов выпуклого четырехмерного многогранника мы имеем то же соотношение, что и для трехмерного пространства, сплошь заполненного многогранниками» [25, с. 197].
В 1939 г., когда общая теория параллелоэдров трехмерного пространства была уже завершена, появляется статья А. В. Шубникова [122], начинающаяся следующим образом: «В основу вывода 32 точечных групп симметрии кристаллов Г. Вульф кладет калейдоскопическое повторение сферических треугольников на шаре. Для вывода пространственных групп, очевидно, можно было бы исходить из калейдоскопического повторения многогранников в пространстве...
Пространственным калейдоскопом... мы называем такой многогранник, из которого путем последовательного зеркального отражения в плоскостях его граней получаются новые многогранники, выполняющие пространство без промежутков» [122, с. 3].
