Antonio Lizana - Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел
Поскольку предполагаемая планета все не появлялась на небосводе, фон Цах послал данные молодому математику из Гёттингена, слава о котором уже начала распространяться по всей Германии. Речь, конечно же, шла о Гауссе, который после выполнения вычислений объявил, что знает, где астрономы должны искать потерянный объект. Других прогнозов не было, так что Цах решил проверить предположение Гаусса, хотя результаты его вычислений очень отличались от остальных. И совсем рядом с тем местом, которое было рассчитано Гауссом, была замечена маленькая светящаяся точка. Произошло это ночью 7 декабря. Наблюдения продолжались каждую ночь, если, конечно, это позволяли делать метеорологические условия, и наконец 1 января 1802 года в Бремене другой астроном из рабочей группы фон Цаха, Генрих Ольберс, смог абсолютно точно подтвердить, что объект, наблюдаемый на орбите, теоретически предсказанной Гауссом, соответствует всем данным наблюдений Пиацци, сделанным год назад.
Этот удивительный прогноз, не имевший прецедентов в астрономии, был сделан математиком, который обнаружил порядок там, где другие видели только крошечную непредсказуемую планету, с помощью математического инструмента, доказавшего со временем свою эффективность для вычисления планетарных орбит. Это был закон наименьших квадратов, открытый Гауссом за шесть лет до описанных событий и до 1809 года не опубликованный. Возможности применения этого метода выходили далеко за рамки астрономии и были такими широкими, что его использование для вычисления орбиты Цереры сегодня кажется анекдотом. Благодаря своему открытию Гаусс немедленно превратился в звезду первой величины в международном научном сообществе.
ПОЧЕМУ НОЧЬ ТЕМНА?
Немецкий астроном Генрих Ольберс (1758-1840) в течение 40 лет работал врачом в городе Бремене. Однако одновременно он был увлечен астрономией и проводил большую часть ночи, наблюдая за небосводом через маленький телескоп, установленный на крыше. В 1779 году он разработал новый метод, названный методом Ольберса, для вычисления орбиты кометы.
Метод продемонстрировал эффективность для некоторых частных случаев круглых или параболических орбит, но оказался неприменим для определения эллиптической орбиты Цереры.
1 января 1802 года Ольберс обнаружил Цереру в положении, предсказанном Гауссом. Через некоторое время он открыл Палладу и предположил, что оба этих астрономических объекта связаны фрагментами большего тела, и начал искать эти фрагменты на небосводе. Для вычисления орбиты Паллады астроном пригласил в Бремен немецкого математика, который задержался в городе на три недели, и Ольберс стал свидетелем применения новейших математических методов, в частности метода наименьших квадратов. Отношения с Гауссом Ольберс поддерживал до конца своей жизни.
Парадокс Ольберса
Сегодня этого врача и астронома вспоминают в основном благодаря тому, что он в 1823 году предложил знаменитый парадокс, носящий его имя, согласно которому в евклидовом пространстве, бесконечном, статичном и равномерно заполненном звездами, ночное небо должно сверкать, как поверхность Солнца. Объяснения этого парадокса состояли в том, чтобы отрицать, что Вселенная бесконечна или что она заполнена звездами равномерно. Теория относительности находит очевидную причину, поскольку от галактик, удаленных от Земли на более чем 14000 миллионов световых лет (предполагается, что именно таков возраст Вселенной), до нас пока не дошел свет, так как его скорость конечна. Это означает, что, по крайней мере относительно галактик, которые мы видим, Вселенная конечна. С другой стороны, Вселенная расширяется, то есть она не статична.
Его подвиг в первой половине XIX века был символом власти математики, ведь именно в это время происходил расцвет науки. Хотя астрономы открыли планету случайно, математик использовал свои аналитические способности для объяснения того, что произойдет в будущем. Благодаря расчету орбиты Цереры к концу первого года нового века Гаусс был не только одним из самых известных математиков, но и самым популярным астрономом в Европе.
В марте 1802 года Ольберс открыл еще один астрономический объект — Палладу, которая имеет меньший размер, чем Церера, и предложил Гауссу описать ее орбиту, пока тот в течение трех недель находился в Бремене по приглашению самого Ольберса. Метод наименьших квадратов снова подтвердил свою силу, и Ольберс своими глазами увидел мощь примененных Гауссом математических техник. А когда возникли споры о первенстве открытия метода наименьших квадратов, Гаусс призвал Ольберса в качестве свидетеля того, что этот метод применялся уже в начале века.
В ноябре того же года молодой Гаусс, которому было всего 25 лет, был объявлен членом Королевского научного общества в Гёттингене. Успех принес ученому много почестей, среди них было и приглашение стать руководителем астрономической обсерватории в Петербургской академии наук. В России существовала давняя традиция приглашать в свои научные институты иностранных ученых, как в случае с Леонардом Эйлером. В 1802 году, когда Гаусс еще только обдумывал это приглашение, Ольберс предупредил об этом своего друга, фон Геерена, преподавателя Гёттингенского университета и советника правительства Ганновера. Ольберс не хотел, чтобы Гаусс уезжал из Германии, и использовал свои связи для того, чтобы ученому предложили руководство новой Гёттингенской обсерваторией, строительство которой еще даже не началось. Серьезные переговоры о переезде Гаусса в Гёттинген начались только в 1804 году и успешно завершились в 1807-м.
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Задача, предложенная Гауссу, касалась вычисления траекторий планет на основе минимального количества наблюдений (по крайней мере, трех). Математически она была чрезвычайно сложной, поскольку нужно было решить шесть уравнений с шестью неизвестными. При этом вычислить точные решения было невозможно и нужно было найти приближенные. Да, решение линейной системы какой-либо задачи, в которой столько же неизвестных, сколько и уравнений, может быть довольно трудоемким, но не предполагает технических сложностей. Однако в этом случае система уравнений была нелинейной. Вычисление орбиты Цереры, как и почти все вычисления Гаусса, включало в себя искусное использование последовательных приближений. Следует отметить прагматизм ученого, который использовал любой доступный математический инструмент. При этом он ввел множество идей, полное доказательство которых далеко не тривиально.
На первом этапе нужно было определить возможную орбиту, а затем, что еще сложнее, осуществить постепенную коррекцию. В целом наблюдаются три типа орбит: эллиптические, параболические и гиперболические. До Гаусса были достигнуты некоторые успехи, например в определении орбиты Урана, но это было довольно просто, поскольку изначальное предположение о том, что Уран описывает круг вокруг Солнца, было недалеко от истины ввиду очень небольшого эксцентриситета орбиты планеты. Кроме того, имелись многочисленные наблюдения, помогавшие скорректировать любую ошибку. В случае с Церерой Гаусс располагал результатами только 41 дня наблюдений; кроме того, ее орбита имела высокую степень эксцентриситета, поэтому гипотеза круга, на которой основывались Ольберс и фон Цах, не сработала. Подход Гаусса был основан только на имевшихся наблюдениях, и для решения задачи ученый пользовался эвристическими методами, то есть улучшал результат шаг за шагом. В эвристических методах используется итерация, при которой найденные частичные решени я служат основой для нахождения новых решений, более близких к реальному решению задачи.
Метод наименьших квадратов, созданный Гауссом, — это техника числового анализа, состоящая в математической оптимизации. Цель — нахождение функции, которая бы наилучшим образом подходила известным данным. Математическая идея следующая: пусть (x1, y1), (х2, y2), ..., (xn, yn) — пары данных, полученных при реальных наблюдениях за переменными X и Y. Теперь предположим, что между переменными X и Y существует связь, определяемая функцией ƒ, так что ƒ(хi) = уi. В случае с планетой Церерой, который изучал Гаусс, пары были образованы положением в пространстве (переменная Y) и временем (переменная X). Определить траекторию планеты было равносильно нахождению вида функции ƒ, так, чтобы при введении данных времени (х) мы могли вычислить ее положение (у) на основе значения ƒ(хi). Нужно выявить метод нахождения функции, при которой были бы минимальными ошибки или вычеты, определяемые как разница между реальным значением переменной Y (положение планеты) и ее вычислением с помощью функции ƒ. Сумма этих ошибок должна быть как можно меньше. Чтобы ошибки взаимно не исключались отрицательными и положительными числами, они возводятся в квадрат; у этой процедуры также есть дополнительное преимущество — она сокращает значение более мелких ошибок, большинство из которых вызваны неточностью взятых данных. Итак, проблема наименьших квадратов сводится к нахождению такой функции ƒ, чтобы минимизировалась сумма квадратов ошибок, то есть чтобы
