Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
Но на чертеже он увидел, что вектор повернулся теперь на 135° по отношению к положительному направлению действительной оси, и, следовательно, к 90° прибавилось еще 45°.
OA = 1;
AB = sin α;
OB = cos α
— А ведь верно! — сказал Илюша.
— Ну вот. Половина дела сделана, — сказал, улыбаясь, Мнимий. — Теперь вы поняли, почему мы можем так поворачиваться вокруг начала координат. А теперь
— 402 —
решим обратную задачу. Что значит извлечь корень из комплексного числа? Поскольку возведение в степень и извлечение корня суть обратные действия, мы можем считать, что и в области комплексных чисел остается в силе определение корня как обратного действия. А если это так, то как теперь извлечь корень из единичного комплексного вектора?
— Мне кажется, что раз при возведении в степень углы умножаются, то, — продолжал Илюша, — это похоже на действия со степенями. А значит, при извлечении корня углы векторов делятся. Так?
— Молодчина! — отвечал Мнимий.
— Но только как же тогда я, извлекая из одного единственного i корень, получу такое выражение:
хотя как раз так и должно быть, потому что, когда я возводил это выражение в квадрат, то получил i?
— Очень просто, — сказал Мнимий, — стоит только эго «одно-единственное i» написать в виде комплексного числа:
0 + i · 1.
А это можно изобразить и так:
cos φ + i sin φ,
то ясно, что φ равен девяноста градусам. Поделите φ пополам, и все будет в порядке. Заметьте кстати, дружок, что если вы еще раз возведете в квадрат, то как раз и получите:
i2 = cos 180° + i · sin 180°.
Наше чудесное равенство i2 = —1, таким образом, означает, что, повернув вектор дважды на прямой угол, вы повернете его в итоге на сто восемьдесят градусов, то есть переведете его в вектор противоположного направления. Но тут есть еще одно весьма важное обстоятельство. Ведь вы, наверно, помни-
— 403 —
те, что извлечение квадратного корня для вещественных чисел есть операция двузначная, то есть дает два ответа: один с плюсом, а другой с минусом. Как же это отразится в нашей комплексной области? Ясно, что если вектор повернется на целый круг, то он снова попадет на старое место…
Вектор немедленно плавно проплыл целый круг, двигаясь вперед против часовой стрелки, и застыл опять на старом месте. Постояв так минутку, он снова проплыл целый круг в том же направлении и снова остановился на старом месте. А затем повернулся так же еще в третий раз.
— Ясно? — спросил Мнимий.
— Как будто ясно, — сказал Илюша. — К чему он это показывает?
— А вот к чему. Очевидно, что комплексное число не изменит своего значения, если угол вектора, или, как мы говорим, его аргумент, увеличить на 2π, то есть на триста шестьдесят градусов, или на величину, кратную последней. Другими словами, число (cos φ + i sin φ) и число [cos (φ + 2π) + i sin (φ + 2π)] отличаются только начертанием, а геометрически это одно и то же.
— Конечно, — отвечал Илюша.
— Так вот, если теперь мы извлекаем из единичного комплексного числа корень, скажем, второй степени, то возьмем это комплексное число в двух написаниях, то есть:
I) cos φ + i sin φ,
II) cos (φ + 2π) + i sin (φ + 2π),
и из каждого извлечем квадратный корень путем деления его аргумента на два. Если мы это проделаем с тем же самым комплексным числом, то будем иметь:
I) cos 90° + i sin 90°,
II) cos 450° + i sin 450°.
Прибавлять еще по 2π здесь, как вы увидите, уже нет смысла, так как новых результатов не получится. Рассмотрим, что выйдет при делении угла пополам. Во-первых, мы получили тот же единичный вектор с углом в сорок пять градусов, который уже видели, а кроме того, еще получился другой вектор с аргументом
— 404 —
в двести двадцать пять градусов. Это и есть второе значение корня. Заметьте, что эти два вектора делят окружность пополам. Ну вот, теперь все ясно, и мы можем приступить к нашей работе.
Этот круг единичного радиуса для изготовления нашей Златоиссеченной Звезды надлежит разделить на пять частей. Это все равно, что решить уравнение
х5 — 1 = 0
или найти все пять корней пятой степени из единицы. Мы уже решали при прошлой нашей встрече в Схолии Седьмой нечто в этом роде, разлагая на множители разность кубов x3 — 1. Приступая к извлечению всех корней пятой степени из единицы, мы попросим нашего друга Вектора нам их найти.
Ну-ка! Против часовой стрелки кругом марш!
Вектор стал сперва на нуль, затем повернулся и стал примерно на половине второго квадранта круга. Потом начал поворачиваться далее и остановился в начале четвертого квадранта. Затем двинулся снова вперед и остановился в первом квадранте. Двинулся еще раз и остановился в третьем квадранте.
— Трудно понять! — сказал со вздохом Илюша.
— Не так уж трудно, — отвечал Мнимий Радиксовнч. — Стоит для этого только рассмотреть, как меняется наш аргумент. Он будет:
φ = 0; 2π; 4π; 6π; 8π,
то есть мы прибавляем к нулю четыре раза по 2π, или по триста шестьдесят градусов. А теперь какие векторы получатся после деления аргумента? А вот они:
I) cos 0° + i sin 0° (φ = 0°)
II) cos 2/5π + i sin 2/5π (φ = 144°)
III) cos 4/5π + i sin 4/5π (φ = 288°)
IV) cos 6/5π + i sin 6/5π (φ = 432°)
V) cos 8/5π + i sin 8/5π (φ = 576°)
— 405 —
Очевидно, что углы их будут: 0°, 72°, 144°, 216° и 288°. Мы попросим теперь Вектора повторить его путешествие по кругу и останавливаться каждый раз у всякого деления.
Вектор исполнил все, что ему велели. При этом вместо одного вектора их оказалось пять. Окружность была разделена ровно на пять частей.
— Теперь проведем прямые! — сказал Мнимий.
Он соединил точки прямыми, и получился правильный пятиугольник, вписанный в круг. Тут Илюша вспомнил, как ему говорили, что если разложить разность кубов на три множителя, то тем самым выяснится, как вписать треугольник в круг. Вот, оказывается, в чем дело!
— Кстати, — добавил с мягкой улыбкой Мнимий, — заметьте, что именно великий Гаусс указал и нашел, что такое деление круга связано с построением правильных многоугольников!
— Вон как! Это, значит, важное дело?
— А как вы думаете! — рассмеялся Мнимий. — Однако, — произнес он, осмотрев еще раз свой чертеж. — Пожалуй, придется немного увеличить, да надо еще наш пятиугольник повернуть, чтобы и он стал симметрично. Ну-ка, ребятки-векторы, увеличьтесь разика в два с половиной да, кстати, повернитесь на восемнадцать градусов!
Немедленно все пять векторов вытянулись и стали длиннее в два с половиной раза. Вместе с ними, конечно, увеличился пятиугольник и повернулся на 18°. В то же мгновение «Круг № 1» стал «кругом № 2».
— Это, — пояснил Радикс, — тоже умножение, притом на комплексное число, модуль которого 2,5, а аргумент — восемнадцать градусов. Комплексные числа могут, таким образом, делать еще и преобразования подобия.
— Совершенно справедливо! — отвечал Мнимий. — Преобразования подобия — это, можно сказать, наша специальность. Помните ли вы сказку Шарля Перро про Кота в сапогах? Так вот, дело там кончается тем, что Людоед-Чародей обращается во льва, а потом в мышь, а Кот в сапогах бросается на мышь, и тут-то ей и конец. Помните?
— Ну да, помню, — отвечал Илюша. — А что?
— Неужели вы не догадались, что это мы действовали в этом случае и провели Перро?
— Как так?
— 406 —
— Очень просто! Никакой там мыши не было. Подумайте, какая канитель — превращать, то есть преобразовывать, льва в мышь! Мы поступили гораздо проще: просто подобно уменьшили льва до размеров мыши, и вот этого-то подобно преобразованного льва и загрыз Кот в сапогах. А так как все произошло очень быстро, то и возникла эта легенда о мыши.
