Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
— Это я! — сказал комплексный человечек Наклонная Стрелка.
— А это я! — ответила Горизонтальная Стрелка.
— И я! — отозвалась Вертикальная Стрелка.
— Понятно? — спросил Мнимий Радиксович.
Илюша поглядел на стрелки и не совсем уверенно сказал:
— Маленькие стрелки на осях — ведь это его проекции?
Мнимая ось.
Действительная ось.
Стрелка ОА есть геометрическая сумма стрелок ОВ и ОС, которая получается по правилу сложения сил в механике. Стрелка ОА есть (a + bi); стрелка ОВ есть а; стрелка ОС есть bi.
— Точно! — ответил Радикс.
— А кроме того, это похоже на параллелограмм сил. Выходит, что Наклонная Стрелка есть сумма тех стрелок, которые на осях?
— Или?.. — важно спросил Мнимий.
Илюша молчал.
— Если, — сказал Мнимий, — Наклонная Стрелка является геометрической суммой осевых стрелок, то, следовательно, эти стрелки по отношению к Наклонной Стрелке суть…
— 398 —
— …ее слагаемые, — отвечал Илюша. — Пожалуй, лучше сказать: ее составляющие.
— Вот это да! — отвечал Мнимий. — Так и запишем. Итак, каждый комплексный человечек может быть рассматриваем как сумма вещественной составляющей и мнимой, что нам давно известно из формулы:
a + bi
А теперь вы видите, как это можно изобразить геометрически.
Далее мы попросим нашего друга комплексного Вектора уменьшиться так, чтобы он был ростом в одну единицу.
Вектор-Наклонная-Стрелка немедленно сделался покороче.
— Как раз! — сказал Мнимий. — Ровно единица!
Осевые стрелки тоже сделались соответственно короче.
— Ну-с, — сказал Мнимий Илюше, — вы ничего не замечаете?
— Не знаю, — отвечал Илюша.
Тогда Вектор-Наклонная-Стрелка быстро повернулся против часовой стрелки, и кончик его туфелек начертил круг.
— А теперь? — спросил Мнимий.
Картина перед Илюшей несколько изменилась. Линии осей, уходившие за черту круга, исчезли. Все линии стали очень тоненькими, исключая проекцию Вектора-Наклонной-Стрелки на действительную ось и того перпендикуляра, который опускался от конца Вектора на конец этой проекции. Эти линии, наоборот, стали очень толстыми и черными.
— Не узнаете? — спросил Мнимий.
— Узнаю как будто, — сказал Илюша. — Это синус и косинус.
— Ага! — вскричал Мнимий. — Они самые. Ну-ка, прикиньте, что бы это могло значить алгебраически? Как выходит, что проекции единичного вектора суть синус и косинус?
— Потому, вероятно, — отвечал Илюша, — что синус в квадрате и косинус в квадрате, как катеты прямоугольного треугольника, равны гипотенузе в квадрате, а она у нас равна единице. Радиус ведь и есть единица. Вектор в данном случае и есть радиус.
— Ну что ж, — отвечал Мнимий, — вы правы. Но давайте разберемся в этом. Если нам дан на комплексной плоскости, которую вы видите сейчас перед собой, некий комплексный вектор, то ответьте, чем он, по-вашему, отличается от обыкновенных чисел?
— Он как сила в механике, — ответил Илюша, — имеет направление.
— 399 —
— Мне очень нравится ваш ответ, — вежливо отвечал Мнимий, — но давайте посмотрим еще на наш чертеж и разберем все подробней. Итак, значит, длину вектора мы…
— … определяем по теореме Пифагора, — подхватил Илюша.
— Любого вектора?
— Любого.
— Напишите! — сказал Мнимий.
Илюша написал:
r = √(a2 + b2).
Что это за линии OB и BA?
Кто скажет?
— Отменно! — произнес Мним. — Далее, если вектор наклонен по отношению к положительному направлению вещественной оси под углом φ, то как бы вы определили проекции вектора на оси, исходя из длины его и данного угла?
— По-моему, надо вот как написать:
а = r cos φ;
b = r sin φ.
— Справедливо! А что если нам теперь взять наш вектор в обычной форме:
a + bi
и подставить в его выражение новые значения для а и b?
а + bi = r cos φ + (r sin φ) i = r (cos φ + i sin φ).
— Теперь, — заявил Мнимий, — получилась так называемая тригонометрическая форма комплексного числа.
Ясно, что множитель перед скобкой есть длина вектора, или его модуль. А что же стоит в скобках?
— 400 —
Угол с положительным направлением вещественной оси определяет направление вектора.
— Мне кажется, что это тоже вектор.
— Справедливо. А длина его?
— Равна единице.
— Точно. Потому он и называется единичным вектором.
А величина, определяющая направление вектора, именуется его аргументом. Очевидно, любой вектор можно изобразить, выбрав соответствующий аргумент и приличный случаю модуль.
— Ясно, — отвечал Илюша. — Умножил на сколько надо и получил из единичного вектора такой, какой требуется.
— Точно, правильно, прекрасно! — произнес Радикс.
— В таком случае давайте рассмотрим, что будет с единичным вектором, если его умножить на самого себя:
(cos φ + i sin φ) (cos φ + i sin φ) = (cos2 φ — sin2 φ) + 2i sinφ · cos φ.
— Ну, Илюша, — сказал Радикс, — глянь-ка повнимательней: тебе эта формула ничего не говорит?
Илюша пожал плечами.
— Тогда вот что, — сказал Мнимий Радиксович. — Может быть, в дальнейшем вы заглянете в учебник тригонометрии и узнаете, что разность квадратов косинуса и синуса есть косинус двойного угла φ, то есть угла, равного двум φ. А удвоенное произведение косинуса φ на синус φ есть аналогично синус угла двух φ. Если записать, то выйдет:
cos 2φ = cos2φ — sin2φ
sin 2φ = 2 sin φ · cos φ.
Минуя некоторые длинные выкладки, сделаем такое общее заключение: возвести единичный вектор в степень n значит увеличить его угол в n раз. Вот что означает геометрически возведение единичного вектора в степень.
— Как будто, — сказал очень нерешительно Илюша, — я это где-то даже видел.
— Весьма вероятно! — подхватил Мнимий. — И увидите,
— 401 —
наверно, еще не раз. Это ведь не так трудно проверить. Допустим, что наш единичный вектор наклонен к положительному направлению действительной оси под углом в сорок пять градусов. Тогда его косинус, то есть его проекция на действительную ось, равен…
— … половине корня из двух. Такой же и синус будет.
— Давайте умножим такой вектор на самого себя.
Илюша взял мел и перемножил
— Получилось одно i, — сказал Илюша в некотором недоумении. — Что это за вектор, у которого только одно i осталось?
Затем Илюша внимательно посмотрел на чертеж.
— А-а! — сказал он. — Понял! Это единичный вектор, направленный прямо по мнимой оси. Единичный он потому, что около i стоит множителем единица. А так как мнимая ось перпендикулярна к действительной, то, значит, этот вектор образует с ней угол в девяносто градусов. И выходит, что действительно угол удвоился.
— А вектор?
— А вектор повернулся против часовой стрелки на сорок пять градусов. А если еще раз умножить? Можно, я попробую?
— Сделайте ваше одолжение! — отвечал Мнимий.
Илюша умножил еще раз. Вышло:
— Что-то я не пойму, — сказал Илюша.
Но на чертеже он увидел, что вектор повернулся теперь на 135° по отношению к положительному направлению действительной оси, и, следовательно, к 90° прибавилось еще 45°.
OA = 1;
AB = sin α;
OB = cos α
— А ведь верно! — сказал Илюша.
