Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
А теперь, чтобы ты мог себе уяснить с помощью некоторой особой аналогии этот взгляд на геометрию, а вместе с тем познакомился и с другим примером осуществления геометрии Лобачевского, вспомним прежде всего, что геометрии на малых участках будут очень мало отличаться друг от друга, на чем бы они ни были - на плоскости, сфере или псевдосфере.
- Конечно, - отвечал мальчик, - небольшой кусочек сферы или псевдосферы трудно было бы отличить от плоскости.
- Вот, - продолжал Радикс, - если ты сообразишь, что измеряемые нами обычно расстояния слишком малы и не дают вообще возможности отличить свойственную нашему миру геометрию от евклидовой, то тебе станет ясной идея Лобачевского - решить вопрос о нашей геометрии с помощью астрономических опытов. Это раз. А затем скажи мне: сумеешь ли ты отличить дугу окружности от прямой?
- Еще бы! - отвечал, улыбаясь, Илюша. - Дуга имеет кривизну, а прямая нет.
- Ясно. Но вот представь себе: я начерчу на протяжении тридцати сантиметров дугу окружности радиусом длиной в несколько километров. Что ты тогда скажешь?
- На таком маленьком участке, пожалуй, никак не отличишь, - согласился Илюша. - Но ведь если дугу эту сделать не в тридцать сантиметров, а побольше, то сразу станет видно.
- Постой! - прервал его Радикс. - Именно этого мы сейчас делать и не станем. Будем рассматривать геометрию на небольшом участке плоскости, но вместо прямых будем проводить окружности очень больших радиусов.
- 290 -
Для примера пусть радиусы будут длиной около пяти километров, а мы будем при помощи таких радиусов чертить фигуры на обыкновенной классной доске. Вряд ли ты заподозришь, что они не проведены с помощью самой обыкновенной линейки.
- Наверно, нет! - усмехнулся Илюша.
- Сверх этого, мы будем все эти окружности чертить не как-нибудь, а с соблюдением некоторого особого условия: возьмем какую-нибудь очень далеко отстоящую от нас прямую и будем все центры окружностей выбирать на этой прямой.
- Очень далеко, - сказал Илюша, - то есть около пяти километров?
- Пусть так, - согласился Радикс. - А потом вот еще что. Чтобы подчеркнуть, что эти окружности заменяют нам прямые (они у нас так и будут называться "прямые", в кавычках), будем называть линию их центров "бесконечно удаленной" в нашей геометрии.
- Ну да, - подхватил Илюша, - ведь, вероятно, потому, что дуга окружности тем больше похожа на прямую, чем больше ее радиус, иногда и говорят, что прямая - это окружность бесконечного радиуса?
- Именно поэтому! - отвечал Радикс. - А теперь давай рассмотрим, какая геометрия получится на большом расстоянии от нашей "бесконечно удаленной" прямой. Начнем с того, что выясним, можно ли в таких условиях провести через две данные точки одну "прямую", и только одну.
- Да ведь это сводится к задаче провести через две данные точки окружность, центр которой лежал бы на данной прямой? Это очень просто сделать.
- Ну, а будет ли в нашей геометрии "прямых" правильно, что две прямые пересекаются в одной точке?
- Если, - сказал, подумав, Илюша, - мы будем рассматривать все только по одну сторону от линии центров, то есть только полуокружности, да еще без их крайних точек, потому что они ведь тоже попадают на эту "бесконечно удаленную" прямую (я думаю, мы можем ее считать просто для нас недоступной), то, разумеется, две полуокружности могут пересечься только в одной точке.
- Видишь, ты и сам замечаешь, что наши "прямые" этими своими свойствами, как, впрочем, и многими другими, не будут отличаться от обыкновенных евклидовых прямых, а на малом участке вдали от центров ты и по виду их от прямых не отличишь. Тебе будет казаться, что ты имеешь дело с обыкновенной геометрией Евклида. Там можно строить треугольники, восстанавливать и опускать перпендикуляры и так далее.
Однако если спросить, сколько "прямых", не пересекающих данную, можно провести через точку вне этой прямой, то хотя на глаз на малом участке будет казаться, что все обстоит так же, как обычно, но на самом деле именно здесь-то и обнаружится, что в действительности наши "прямые" подчиняются не законам Евклида, а законам геометрии Лобачевского.
- 291 -
Через всякие две точки М и N можно провести одну, и только одну, "прямую".
Две "прямые" могут пересекаться только в одной точке.
- Как же это так получается? - спросил удивленный Илюша.
- Посмотри внимательно на чертеж! Вспомни, что мы с тобой условились рассматривать только часть площади по одну сторону от линии центров, которую мы к нашему пространству не причисляем, считая ее геометрическим местом "бесконечно удаленных" точек нашей геометрии. Если дана "прямая" АВ, то есть полуокружность с центром в точке С "бесконечно удаленной" линии, и точка М, не лежащая на АВ (скажем для определенности, расположенная на большем расстоянии от С), то получится вот что: кроме полуокружности радиусом СМ, можно провести через точку М любое количество "прямых", не пересекающихся с "прямой"
АВ, слегка смещая центр из точки С по горизонтали и соответственно изменяя радиус.
- Хорошо, - сказал Илюша, - это я теперь понимаю.
А какие же "прямые", проходящие через точку М, будут параллельными по геометрии Лобачевского к "прямой" АВ?
- Припомни, что параллельные отделяют непересекающиеся, то есть "расходящиеся" с данной, "прямые" от пересекающих ее. Такими, очевидно, и будут "прямые", изображаемые теми двумя полуокружностями, которые встречают данную полуокружность именно на "бесконечно удаленной" прямой.
То есть это будут те именно полуокружности, которые касаются данной полуокружности слева и справа на линии центров, образуя с ней в точках касания нулевые углы. Если ты построишь два перпендикуляра к какой-нибудь "прямой" АС, то легко убедишься, что они будут "расходящимися".
- 292 -
Прямоугольный треугольник ABC.
- Так, - сказал Илюша. - Действительно не очень-то все это просто! А как же насчет суммы углов треугольника?
- Возьми чертеж, на котором две полуокружности равных радиусов почти касаются друг друга. Угол, образуемый ими в их невысоко расположенной точке пересечения, будет невелик, хотя и больше нуля. В остальных же двух точках пересечения, образованных третьей полуокружностью, получаются углы, близкие к шестидесяти градусам. Таким образом, сумма углов будет немногим больше ста двадцати градусов вместо ста восьмидесяти градусов. На маленьком треугольнике этого нельзя заметить так отчетливо.
Через точку М проведено несколько "прямых", не пересекающих "прямую" АВ.
- 293 -
"Прямая" АВ параллельна АВ, в сторону А; "прямая" А"В" параллельна АВ в сторону В. "Прямые", проходящие внутри углов АМА" и ВМВ", "расходятся" с АВ. "Прямые", проходящие внутри углов АМВ" и ВМА", пересекают АВ.
- Потому что они похожи на евклидовы и в них сумма углов почти равна ста восьмидесяти градусам! - воскликнул Илюша. - Кажется, я начинаю наконец разбираться понемногу...
Тут Илюша снова откуда-то услыхал звуки флейты Фавна.
Обернувшись, он увидел, что его хитрая рожица выглядывает из-за уголка цветной занавеси домика. Он протягивал Илюше правую руку и манил его к себе левой.
Два перпендикуляра - АВ и CD - к одной "прямой" "расходятся" - угол параллельности φ острый
- 294 -
- Ты только попробуй! - произнес Фавн шепотом. - Никогда никто не кушал ничего вкуснее!
- Может быть, это и стыдно, - сказал Илюша, отломив втихомолку добрый кусочек казанского сыра и делая вид, что он никакого Фавна и в глаза не видел, - но я должен сознаться, что я тоже до сих пор думал, что геометрия Евклида единственная.
- Стыдного тут ничего нет, - отвечал Асимптотос. - Ты просто не знал, вот и все. Но спорить с построенной системой - это уже совсем другое дело.
- Значит, я уже узнал здесь, кроме евклидовой, три новые Угол между двумя окружностями одного радиуса, из которых каждая проходит через центр другой, равен 60 градусам. геометрии: геометрию лабиринтов, потом геометрию Лобачевского и геометрию Птолемея...
Угол между двумя окружностями одного радиуса, из которых каждая проходит через центр другой, равен 60 градусам.
- То есть сферическую, - заметил Копикос. - Однако я могу тебе показать еще одну геометрию. Это будет геометрия теней. Ты увидишь сейчас удивительные тени. Слышал ли ты такой стишок:
Вот пройдут любые тени По стене,
Странных очерки видений При огне...
Неужели ты его не знаешь? Почитай, голубчик! Его написал прекрасный русский поэт Александр Блок. Это почти эти самые тени и есть.
- 295 -
В треугольнике ABC углы А и В близки к 60 градусам, а угол С очень мал, поэтому сумма углов этого треугольника немногим больше 120 градусов.
