Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Таблица 13.4. Муравей Арг проходит по верхушке овала на рисунке 13.6.
Если бы муравей повернул из точки 1 налево, то значения функции вернулись бы к нулю через положительную мнимую ось, проходя через числа 1,8273i, 0,7998i и т.д.
VII.
Муравей Арг может начать свою прогулку из любого другого нуля дзета-функции. Все они показаны на рисунке 13.6 в виде маленьких кружочков. Чтобы нашему приятелю было проще разобраться, куда же он идет, там показаны значения, которые высвечиваются в окошке «значение функции» в тот момент, когда он уходит с рисунка вдоль любой из выбранных линий. (Для экономии места при записи этих значений m обозначает «миллион». Разумеется, i, как всегда, обозначает просто i.) Обратим внимание на явления, которые происходят по мере движения вверх по левому краю рисунка, т.е. при движении по аргументам, вещественная часть которых равна −10. Первая линия, уходящая с рисунка с этого края, — это та, которая отображается в отрицательную вещественную ось. Следующая отображается в положительную мнимую ось; следующая после нее — в положительную вещественную ось; следующая — в отрицательную мнимую ось… и т.д.; картина повторяется.
Наоборот, все линии, уходящие с рисунка по правому краю, отображаются в положительную вещественную ось. Как видно из рисунка, справа от критической полосы это довольно скучная функция. Вся обширная восточная область отображается в малюсенькую область вокруг точки 1. Здесь намного «меньше жизни», чем слева в западном регионе; но и этот западный регион не так интересен, как критическая полоса. Все интересное происходите дзета-функцией именно в критической полосе. (По поводу другой иллюстрации этой общей истины см. рассказ о гипотезе Линделёфа в приложении.)
Рисунок 13.6 фактически выражает суть данной книги. Он позволяет видеть дзета-функцию Римана настолько хорошо, насколько вообще можно видеть функцию комплексной переменной. Я призываю читателя провести какое-то время за молчаливым созерцанием этого рисунка и ради упражнения пройти несколькими муравьиными дорожками. Функции из высшей математики это чудесные создания. Они не выдают своих секретов просто так.
Некоторые — такие как эта — могут обеспечить вас занятием на всю жизнь. Лично я никоим образом не могу отнести себя к специалистам по дзета-функции. У меня нет исчерпывающего собрания литературы по дзета-функции, и при сборе материала для данной книги я опирался главным образом на университетские библиотеки и личные контакты. Но, даже не прилагая специальных усилий, я оказался обладателем собственных экземпляров книг «Теория дзета-функции Римана» Э.Ч. Титчмарша (412 страниц), «Введение в теорию дзета-функции Римана» С. Дж. Паттерсона (156 страниц) и незаменимой «Дзета-функции Римана» Хэролда Эдвардса (316 страниц, причем она у меня в трех экземплярах — это долгая история), а также толстенной папки с копиями статей из различных журналов и периодических изданий. Наверняка есть еще масса других увесистых книг, помогающих проникнуть в тайны этой функции, и, кроме того, тысячи статей. Это серьезная математика.
И что самое замечательное, на приведенном рисунке Гипотеза Римана сияет во всем своем блеске. Смотрите: нетривиальные нули и в самом деле все выстроились на критической прямой. На рисунке 13.6 критическая прямая не проведена, но совершенно ясно, что она лежит посередине критической полосы, как разделительная полоса на шоссе.
VIII.
Еще пара картинок, прежде чем мы покончим с темой наглядного представления дзета-функции. Во-первых, заметим, что при продвижении вверх общая тенденция, наблюдаемая на рисунке 13.6, сохраняется в тех пределах, до которых мы можем добраться.
Для иллюстрации этого на рисунке 13.7 показан блок нулей вблизи точки 1/2 + 100i. Можно заметить, что они упакованы теснее, чем нули на рисунке 13.6. В действительности средний интервал между восемью показанными здесь нулями равен 2,096673119…, тогда как для пяти нулей, показанных на рисунке 13.6, средний интервал составлял 4,7000841…. Таким образом, здесь, наверху — в окрестности числа 100i на мнимой оси, — нули упакованы более чем в два раза плотнее, чем в окрестности числа 20i.
Рисунок 13.7. Более высоко расположенная область на плоскости аргумента.
Ha самом деле имеется правило, позволяющее найти средний интервал между нулями на высоте T в критической полосе. Этот интервал ~ 2π/ln (T/2π). Если T равно 20, то это выражение вычисляется как 5,4265725…. Если T равно 100, то оно равно 2,270516724…. Как можно видеть, правило не слишком точное, хотя знак волны говорит нам, что оно становится все точнее по мере того, как числа растут. Эндрю Одлыжко опубликовал список 10 000 нулей в окрестности числа 1/2 + 1370919909931995308897i. Там за 2π/ln (T/2π) дают что-то около 0,13516467, а среднее, вычисленное для 9999 интервалов, равно 0,13417894…. Не так плохо!
Остановимся на еще одном моменте, который окажется довольно важным в дальнейшем изложении. Имеется симметрия относительно вещественной (т.е. идущей с запада на восток) оси. Если продлить рисунок 13.6 на юг от вещественной оси, линии окажутся зеркальными отображениями линий из северной половины. Единственная разница состоит в том, что если вещественные числа, отмеченные на рисунке 13.6, будут одинаковыми на юге и на севере, то мнимые числа поменяют знак. Математически это выражается так, что если ζ(a + bi) = u + vi, то ζ(a − bi) = u − vi. Или, если по-настоящему использовать язык комплексных чисел, ζ(z') = ζ'(z). Важное следствие отсюда состоит в том, что если a + bi — нуль дзета-функции, то a − bi — тоже нуль.
IX.
И наконец, графическое представление Гипотезы Римана — или по крайней мере того факта, что на критической прямой полно нулей.
Чтобы разобраться в рисунке 13.8, вспомним, что рисунки 13.6 и 13.7 изображают плоскость аргумента. Функция комплексной переменной отправляет комплексные числа из одного множества (аргументы) в другое множество (значения). Поскольку комплексные числа располагаются на плоскости, можно представлять себе, что функция отправляет точки из одной плоскости (плоскости аргумента) в точки на другой плоскости (плоскости значений). Дзета-функция отправляет точку 1/2 + 14,134725i на плоскости аргумента в точку 0 на плоскости значений. Взглянем снова на рисунок 13.2. Там плоскость аргумента и плоскость значений показаны одновременно — как если бы это были наложенные друг на друга прозрачные пленки для проектора.
Рисунки 13.6 и 13.7 изображают плоскость аргумента; там указано, какие аргументы отправляются в интересные нам значения. Муравей Арг живет на плоскости аргумента — потому его так и назвали. Он бродит по этой плоскости, отмечая, какие точки отправляются в нули при применении дзета-функции. Он у нас путешествовал по странным кривым и завиткам, образованным точками, которые отправляются в чисто вещественные или чисто мнимые числа (т.е. точками, в которых дзета-функция имеет чисто вещественные или чисто мнимые значения). Будем говорить, что это — изображения плоскости аргумента типа «отсюда», имея в виду, что отсюда дзета-функция отображает во что-то интересное.
Альтернативным способом функцию можно представить, показав картинку типа «сюда» на плоскости значений.[115] Вместо того чтобы показывать, как это делалось на рисунках 13.6 и 13.7, какие аргументы отправляются в интересные нам значения (а такими у нас были чисто вещественные и чисто мнимые числа), можно дать картину плоскости значений, на которой будет показано, в какие значения отображаются интересующие нас аргументы.
Представим себе, что у муравья Арга есть брат-близнец, который живет на плоскости значений.{A4} Зовут его, понятно, муравей Знач. И допустим еще, что близнецы постоянно общаются между собой по рации и таким способом синхронизируют свои передвижения, так что, на каком бы аргументе ни находился муравей Арг в любой момент времени, муравей Знач стоит на соответствующем значении в плоскости значений. Если, например, муравей Арг стоит на числе 1/2 + 14,134725i, а на его приборчике выставлена дзета-функция, то муравей Знач стоит на числе 0 в своей плоскости (плоскости значений).
Предположим теперь, что муравей Арг, вместо того чтобы ползать по всем этим причудливым завитушкам, изображенным на рисунке 13.6 (что заставляет муравья Знача скучать, вышагивая взад и вперед по вещественной и мнимой осям), предпримет прогулку прямо по критической прямой, направляясь на север из аргумента 1/2. По какой траектории будет тогда следовать муравей Знач? Это показано на рисунке 13.8. Его путь начинается в точке ζ(1/2), что, как мы видели в главе 9.v, равно −1,4603545088095…. Далее он описывает нечто вроде полуокружности против часовой стрелки ниже нулевой точки, а затем поворачивает и движется по петле по часовой стрелке вокруг точки 1. Он держит путь к нулю и проходит через него (это первый нуль — муравей Арг как раз прошел точку 1/2 + 14,134725i). Затем он продолжает описывать петли по часовой стрелке, проходя через нулевую точку снова и снова через некоторый промежуток — всякий раз, как его брат-близнец наступает на нуль дзета-функции на плоскости аргумента. Я прервал путешествие Знача, когда муравей Арг достиг точки 1/2 + 35i, потому что рисунок 13.6 продолжается лишь до этих пор. К тому моменту, как эта точка достигнута, кривая на плоскости значений прошла через нуль пять раз, что соответствует пяти нетривиальным нулям на рисунке 13.6. Отметим, что точки на критической прямой демонстрируют выраженную тенденцию к тому, чтобы отображаться в точки с положительной вещественной частью.