Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Поскольку можно возводить любое комплексное число в любую комплексную степень, несложным должно оказаться возведение вещественного числа в комплексную степень. Следовательно, для заданного комплексного числа z можно вычислить 2z, 3z, 4z и т.д. Понятно, к чему идет дело. Можно ли расширить область определения дзета-функции
в мир комплексных чисел? Можно, конечно. С комплексными числами, доложу вам, можно делать что угодно.
III.
Поскольку формула для дзета-функции остается бесконечной суммой, возникает вопрос о сходимости. Оказывается, что сумма сходится для любого комплексного числа, вещественная часть которого больше единицы. Математики скажут «в полуплоскости Re(s) > 1», где Re(s) используется для обозначения вещественной части числа s.
Но, как и в случае с дзета-функцией вещественных аргументов, для расширения области определения в те области, где бесконечная сумма не сходится, можно применить некоторые математические уловки. В результате получается полная дзета-функция, область определения которой составляют все комплексные числа за единственным исключением числа s = 1. Там, как мы еще в самом начале убедились при помощи колоды карт (см. главу 1), у дзета-функции нет значения. Везде, кроме этой точки, она имеет единственным образом определенное значение. Имеются, конечно, и такие места, где это значение нулевое. Это мы и раньше знали. Графики из главы 9.iv показывают, что дзета-функция принимает равное нулю значение для всех отрицательных четных чисел −2, −4, −8, …. Мы на них не останавливаемся, потому что, как уже было замечено, они не слишком важны. Это тривиальные нули дзета-функции. Могло ли бы так случиться, что значение дзета-функции равно нулю при некоторых комплексных аргументах? И что, это и будут нетривиальные нули, упоминаемые в Гипотезе? Делайте ваши ставки; но я несколько забежал вперед в нашей истории.
IV.
Сорок лет назад блестящий, но эксцентричный Теодор Эстерман[112] написал учебник, озаглавленный «Комплексные числа и функции», в котором содержались всего два рисунка. «Я <… > избежал всякого обращения к геометрической интуиции», — объявлял автор в предисловии. Известно некоторое число родственных ему душ, однако большая часть математиков не следует подходу Эстермана. Они трактуют теорию функций комплексной переменной в высшей степени визуально. Многие из нас полагают, что функции комплексной переменной легче освоить, пользуясь некоторыми наглядными образами.
Но как же можно наглядно представить себе функцию комплексной переменной? Возьмем простейшую нетривиальную функцию комплексной переменной — функцию возведения в квадрат. Есть ли какой-нибудь способ узнать, на что она похожа?
Скажем сразу: от обычных графиков толку здесь немного. В мире вещественных чисел можно изобразить функцию на графике таким образом: проводим прямую, изображающую аргументы (как мы помним, вещественные числа живут на прямой); затем проводим другую прямую под прямым углом к первой и используем ее для значений функции. Чтобы выразить тот факт, что данная функция превращает число x в число y, двигаемся на восток от нулевого аргумента на расстояние x (на запад, если x отрицательно), а затем на север от нулевого значения на расстояние y (на юг, если y отрицательно). Отмечаем там точку. Повторяем такое для стольких значений функции, сколько нам не лень вычислить. Это и дает график функции. На рисунке 13.1 приведен пример.
Рисунок 13.1. Функция x2.
Однако это не годится для функций комплексной переменной. Аргументам требуется двумерная плоскость, чтобы на ней расположиться, а значениям функции нужна еще одна двумерная плоскость. Так что для графика требуются четыре пространственных измерения: два для аргументов и два для значений функции. (В четырехмерном пространстве, хотите верьте, хотите нет, две двумерные плоскости могут пересекаться в единственной точке. Это можно сравнить с тем фактом — совершенно недоступным для понимания обитателей двумерной вселенной, — что в трехмерии две непараллельные прямые не обязаны пересекаться.)
Это разочаровывает; но в качестве компенсации имеется кое-что, что можно делать для создания картинок, представляющих функции комплексной переменной. Вспомним то главное, что надо знать про функцию: она превращает одно число (аргумент) в другое (значение). Так вот, число-аргумент представляет собой точку где-то на комплексной плоскости, а значение функции представляет собой некоторую другую точку. Таким образом, функция комплексной переменной отправляет все точки из своей области определения в другие точки. Можно выбрать какие-то точки и посмотреть, куда они отправляются.
На рисунке 13.2, например, показаны числа, образующие стороны некоторого квадрата на комплексной плоскости. Углы отмены буквами a, b, c и d. Это в действительности комплексные числа −0,2 + 1,2i, 0,8 + 1,2i, 0,8 + 2,2i и −0,2 + 2,2i.
Рисунок 13.2. Функция z2, примененная к квадрату.
Что с ними произойдет при применении функции возведения в квадрат? Если умножить число −0,2 + 1,2i само на себя, то получится −1,4 − 0,48i; значит, таково значение функции для точки a. Возведение в квадрат чисел, соответствующих точкам b, c и d, дает значения для всех остальных углов; эти значения отмечены как A, B, C и D. Если повторить это для всех точек вдоль сторон квадрата, а также для точек, образующих сетку внутри него, получится искаженный квадрат, также изображенный на рисунке 13.2.
V.
При работе с функциями комплексной переменной полезно думать о комплексной плоскости как о бесконечно растяжимом резиновом листе, при этом спрашивая себя, что же функция делает с этим листом. По числам, выбранным на рисунке 13.2, можно видеть, что функция возведения в квадрат растягивает лист, закручивая его против часовой стрелки вокруг нулевой точки и одновременно вытягивая наружу. Число 2i, например, которое само по себе живет на положительной (северной) части мнимой оси, при возведении в квадрат отправляется в число −4, расположенное на отрицательной (западной) части вещественной оси, причем вдвое дальше от нулевой точки. В свою очередь −4 при возведении в квадрат растягивается до 16 (еще дальше от нуля) и попадает на положительную (восточную) часть вещественной оси. По правилу знаков число −2i, находящееся на отрицательной (южной) части мнимой оси, «докручивается» до числа −4. На самом деле, согласно правилу знаков, всякое[113] значение функции возведения в квадрат встречается дважды, возникая при двух аргументах: не будем забывать, что −4 есть квадрат не только числа 2i, но и числа −2i.
Бернхард Риман, обладавший, судя по всему, чрезвычайно развитым зрительным воображением, представлял себе это таким образом. Возьмем всю комплексную плоскость. Проведем разрез вдоль отрицательной (западной) части вещественной оси, остановившись в точке нуль. Теперь ухватимся за верхний край этого разреза и потянем его против часовой стрелки, поворачивая вокруг точки нуль, как будто туда встроен шарнир. Повернем этот край на 360 градусов. Теперь наш край разреза находится над растянутым листом, а другой край расположен прямо под ним. Проведем наш край через лист (для этого следует представить себе, что комплексная плоскость не только бесконечно растяжима, но и сделана из некоторого рода туманной субстанции, которая может проходить сама сквозь себя) и склеим оба края исходного разреза. Картинка у нас в голове теперь выглядит примерно так, как показано на рисунке 13.3. Вот что функция возведения в квадрат делает с комплексной плоскостью.
Рисунок 13.3. Риманова поверхность, отвечающая функции z2.
Это вовсе не досужие изыски. На основе такого мысленного упражнения Риман развил целую теорию, впоследствии названную теорией римановых поверхностей. Она содержит ряд мощных результатов и дает глубокое понимание того, как ведут себя функции комплексной переменной. Она также соединяет теорию функций с алгеброй и топологией — двумя ключевыми областями математики XX столетия. А главное — она представляет собой типичный продукт дерзкого, бесстрашного и самобытного воображения, которым обладал Риман, — продукт одного из величайших умов, вообще когда-либо существовавших.
