Генри Дьюдени - Пятьсот двадцать головоломок
А вот простой практический способ убедить наших недоверчивых друзей, не прибегая к помощи рисунка. Проведите на листе бумаги прямую линию и положите монету так, чтобы год ее выпуска находился на этой прямой. Теперь прокатите монету вдоль прямой на очень маленькое расстояние вправо и влево. При этом станет вполне очевидно, что год выпуска едва оторвется от прямой, а верхняя часть цифры, указывающей достоинство монеты, пройдет значительное расстояние. Это вполне убедительно показывает, что верхняя часть колеса (то есть часть, которая в данный момент находится сверху) движется быстрее нижней.
292. Я уже говорил о том, что если вы отметите точку на ободе велосипедного колеса, то она опишет в пространстве кривую, называемую простой циклоидой. Если же вы отметите точку на реборде колеса локомотива или железнодорожного вагона, то она опишет трохоиду, кривую, заканчивающуюся петлями. На рисунке я изобразил колесо с ребордой ниже уровня рельсов в трех положениях: начало, пол-оборота и полный оборот. Точка A1 переходит в A2 и A3. Поскольку предполагается, что поезд движется слева направо, проведите карандашом вдоль кривой в этом направлении. Вы обнаружите, что в нижней части петли карандаш в самом деле движется справа налево. Дело в том, что «в любой заданный момент» некоторые точки внизу петли движутся в направлении, противоположном поезду. Поскольку таких точек на окружности реборды бесконечно много, при движении поезда они описывают бесконечно много подобных петель. Фактически некоторые точки реборды постоянно движутся в направлении, противоположном поезду.
293. Механизм, изображенный на рисунке, состоит из двух деревянных дощечек B и C, соединенных по углам так, что они образуют рамку. Рамка с помощью ручки n вращается вокруг оси a, которая проходит сквозь рамку и жестко закреплена на доске или столе A. Внутри рамки на ось жестко насажено зубчатое колесо D. При вращении рамки оно поворачивает толстое колесо E, которое, подобно остальным трем колесам F, G и H, свободно сидит на своей оси. Тонкие колеса F, G и H приводятся в движение толстым колесом E таким образом, что при вращении рамки H вращается в ту же сторону, что и E, G — в противоположную, a F остается неподвижным. Секрет заключается в том, что, хотя все колеса могут быть одинакового диаметра и D, E и F могут (D и F обязаны) иметь одинаковое число зубцов, у G, однако, зубцов должно быть по крайней мере на один меньше, а у H по крайней мере на один больше, чем у D.
294. Простейшее, хотя и не единственное, решение показано на рисунке слева.
295. Решение ясно из рисунка справа.
296. Простое решение показано на рисунке. Земля разделена на 8 равных частей, каждая из которых содержит по три дерева.
297. На рисунке изображен проход сквозь минное поле, составленный из двух прямолинейных участков.
298. Шесть прямых заборов поставлены так, что каждое дерево отгорожено от остальных. Мы утверждали, что подобным же образом с помощью шести заборов можно было бы отгородить 22 дерева, если бы они были расположены «поудобней». Мы могли бы добавить, что в таком случае каждая прямая должна пересекать все остальные, причем никакие две точки пересечения не будут совпадать. Однако, поскольку в нашей головоломке участвует только 20 деревьев, эти условия уже не являются необходимыми, и четыре забора пересекают только по четыре (а не по пять) других.
299. На рисунке показаны пять разрезов, которые делят полумесяц на 21 часть.
Если число разрезов равно n, то с их помощью круг можно разрезать на (n2 + n)/2 + 1, а полумесяц на (n2 + 3n)/2 + 1 частей.
300. Возьмите полоски из толстого картона (не обязательно с прямолинейными краями) и соедините их между собой, использовав в качестве шарнира кнопки. Две длинные полоски должны иметь, равную длину (от центра одной кнопки до центра другой), а длины четырех нижних полосок, образующих ромб, должны быть равны между собой. Гвоздики или иголки прикрепляют «инструмент» к столу в точках A и B, причем расстояния от A до B и от B до C равны между собой. Если все будет сделано аккуратно и точно, карандаш, помещенный в D, начертит прямую линию.
301. Проведите два перпендикулярных отрезка CD и EF (длина CD равна 12 см, длина EF — 8 см), пересекающихся друг с другом посередине. Найдите такие точки A и B, чтобы AF и FB равнялись половине CD, то есть 6 см, и поместите ваши булавки в A и B, взяв веревочную петлю равной ABFA. Пусть CA = x. Тогда, если карандаш находится в F, длина веревки равна 12 + (12 - 2x) = 24 - 2x, а если он находится в C, длина веревки равна тоже 2(12 - x) = 24 - 2x, что и доказывает правильность нашего решения[39].
302. Одного взгляда на помещенный здесь рисунок достаточно, чтобы заметить, что если я отрежу часть 1 и помещу ее на место части 2, то получится прямой отрезок стены BC, отмеченный пунктиром и в точности равный участку AB. Следовательно, не правы были оба спорщика, и цена обоих участков должна быть одинаковой. Конечно, читатель сразу заметит, что это справедливо лишь при некоторых ограничениях, но мы имеем в виду именно ту стену, какая нарисована, и в том случае, когда эти ограничения выполнены.
303. Отмерьте любое удобное расстояние вдоль берега от A до C, скажем 40 м. Затем отмерьте любое расстояние в перпендикулярном направлении до точки D, скажем 12 м. Теперь сделайте засечку E в направлении AB. Вы сможете измерить расстояние от A до B, которое в нашем случае равно 24 м, и от E до C, что даст 16 м. Далее, AB : DC = AE : EC, откуда ясно, что ширина реки AB равна 18 м.
304. Свинья пробежит 66⅔ м и будет схвачена, а Пэт пробежит 133⅓ м. Кривую[40], которую опишет при этом Пэт, можно измерить точно. Ее длина равна an2/(n2 - 1), где скорость свиньи принята за 1, Пэт бежит в n раз быстрее и a — первоначальное расстояние между Пэтом и свиньей.
305. Расстояние от верхнего конца до земли составляет ⅘ длины всей лестницы. Умножьте расстояние от стены (4 м) на знаменатель этой дроби (5), и вы получите 20. Теперь вычтите квадрат числителя дроби ⅘ из квадрата ее знаменателя. При этом получится 9 = 32. Наконец, разделите 20 на 3, и вы получите ответ: 6 м.
306. Высота шеста над землей составляла 50 м. В первом случае он сломался в 29 м, а во втором случае в 34 м от верхушки.
307. Длина свободно висящей веревки равна 3 м 85½ см.
308. Разумеется, прямая AC не является наибыстрейшим путем. Быстрее будет доехать от A до E и далее прямо до C. Путь, требующий наименьшей затраты времени, показан на рисунке пунктирной линией от A до G (ровно 1 км от E) и затем прямо до C.
Необходимо, чтобы синус угла FGC был в два раза больше синуса угла AGH, В первом случае синус равен 6/ = 6 = 2/. Во втором случае синус равен 1/ = 1/, то есть ровно в два раза меньше.
309. Как видно из рисунка, головоломка невероятно проста, если знаешь, как к ней подступиться! И все же у меня нет ни малейшего сомнения, что для многих читателей она оказалась крепким орешком. Можно заметить, что каждая спичка, несомненно, касается всех остальных.
[Можно увеличить число спичек до семи, и головоломка остается все еще разрешимой. — М. Г.]
310. У посылки максимальных размеров суммарная длина веревки, идущей в длину, должна быть равна суммарной длине веревки, идущей в ширину (и суммарной длине веревки, идущей в высоту). Если это известно или читатель самостоятельно разобрался и понял, в чем дело, то остальное рассчитать очень просто. Действительно, мы знаем, что веревка 2 раза проходит в длину, А в ширину и 6 раз в высоту. Следовательно, разделив 1 м 20 см соответственно на 2, 4 и 6, мы получим 60, 30 и 20 см, а это и будет искомыми длиной, шириной и высотой посылки максимального размера.
