Генри Дьюдени - Пятьсот двадцать головоломок
261. Все размеры приведены на рисунке. Обычно для того, чтобы найти решение, приходится решать биквадратное уравнение, но поскольку в условии задачи сказано, что ответ должен быть «в целых метрах», то можно заметить, что число 912 представимо в виде суммы квадратов единственным образом: 912 = 842 + 352. Зная это, определить все размеры очень легко. Искомое расстояние равно 35 м.
262. Соединим прямой точки A и D (см. рисунок) и построим отрезок CE, перпендикулярный и равный отрезку AD. Тогда точка E совпадет с центром одного из квадратов. Проведем прямую EB и продолжим ее в обе стороны. Проведем также через C прямую FG параллельно EB, а через A и D — перпендикуляры к EB и FG. Поскольку Н есть центр углового квадрата, то, приняв отрезок HE за единицу длины, мы обнаружим, что доска имеет размеры 10 × 10.
Если бы не были даны размеры шашек, то мы могли бы разбить доску на более мелкие квадраты. Но поскольку размеры шашек видны из рисунка, дальнейшее разбиение доски невозможно: в более мелких квадратах наши шашки просто не уместятся. Так как расстояние между центрами квадратов равно стороне квадрата, мы легко можем восстановить всю доску, что и показано на рисунке.
263. На рисунке слева показано чрезвычайно простое решение данной головоломки. Звездочка в центре — это офицер, а точки — солдаты.
264. На рисунке справа изображена симметричная звезда в том самом положении, которое она занимает на скатерти. Все другие лоскутки для большей ясности не показаны. Удивительно, как трудно обнаружить звезду до тех пор, пока вам ее однажды не покажут. После эго решение становится совершенно очевидным.
265. Данную трапецию можно вписать в окружность. Полусумма x сторон равна 29. Вычитая из этого числа по очереди все стороны, мы получим 9, 13, 17, 19. Произведение этих чисел равно 37 791. Квадратный корень из полученного числа равен 194,4, что и совпадает с размером искомой площади.
266. Продолжив приведенную ниже таблицу, вы сможете получить сколько угодно рациональных треугольников нужного вида.
PQВысотаПлощадь 2436 8141284 3052451170 11219416816 296 418724627226 974 1560270223403 161 340Числа в таблице удовлетворяют соотношению 3P2 + 4 = Q2. Каждое следующее значение P (начиная с третьего сверху) можно найти, умножив текущее значение P на 4, после чего следует вычесть из полученного произведения предыдущее значение P. Аналогично вычисляются и значения Q (начиная с четвертого сверху). Высота треугольника равна P/2, площадь — произведению высоты на Q/2. Длина средней из трех сторон всегда оказывается равной Q. В последней строке таблицы приведено наименьшее значение площади, делящееся на 20. Стороны треугольника в этом случае равны 2701, 2702, 2703, его высота 2340.
267. На приведенном здесь рисунке показано, как можно разделить окно на восемь просветов, «у которых все стороны тоже были бы равны». Каждый отрезок прута имеет равную длину.
Подразумевалось (хотя явно и не оговаривалось), что площади всех просветов должны быть равными, а в нашем случае площадь каждого из четырех неправильных просветов на ¼ больше площади квадратного просвета и ни форма, ни число сторон у них не совпадают. И все же это решение точно удовлетворяет поставленным условиям. Если бы из каждой головоломки пришлось удалить все, что допускает неоднозначное толкование, то она оказалась бы перегруженной всевозможными условиями. Лучше оставить кое-что недоговоренным (разумеется, если речь идет не об олимпиадных задачах).
268. На рисунке пунктиром изображено первоначальное окно размером 1 м2. После того как владелец загородил четыре угла, у него осталось квадратное окно вдвое меньшей площади, но в метр шириной и метр высотой.
269. Доску следует разрезать на расстоянии от В, равном 60 - 120 = 79,732...
270. Каждая сторона поля равна 440 м, BAE — прямоугольный треугольник. Следовательно, AE = 330 м, BE = 550 м. Если Браун пробегает 550 м за то же время, за которое Адамс пробегает 360 м (330 + 30), то Браун может пробежать оставшиеся 100 м за то время, за которое Адамс пробежит лишь 72 м. Но 30 + 72 = 102 м, так что Браун выигрывает, опередив соперника на 8 м.
271. Три скатерти размером 144 × 144 см покроют стол размером 183 × 183 см, если их положить так, как показано на рисунке. Квадрат ABCD — крышка стола, а квадраты 1, 2 и 3 — скатерти. Части второй и третьей скатертей, разумеется, свесятся со стола.
272. Холст должен быть размером 10 × 20 см, ширина миниатюры составит 6 см, а высота 12 см. Нетрудно проверить, что излишки при этом окажутся такими, как требуется по условию задачи.
273. Клумба имела в длину 14 м, а в ширину 10 м.
274. Задачу можно решать по-разному. Ответ всегда будет равен 35.
275. Старый ответ состоит в том, что если вы расположите жерди, как показано на рисунке в случае A, то, добавив на концах по две жерди, как в случае B, вы получите удвоенную площадь. Надо заметить, что, во-первых, в условии нет указаний относительно формы загона. Во-вторых, если бы даже требовалось, чтобы первоначальный загон имел размеры 24 × 1, ответ все равно был бы неверен, поскольку, если вы расположите жерди, как в случае C, то площадь увеличится с 24 «квадратных жердей» до 156, и загон вместит 650 овец, причем число жердей останется прежним. Более того, вы можете удвоить площадь, как в случае D, оставив всего 28 жердей. Если же потребуется использовать все жерди и увеличить площадь ровно вдвое, то можно поступить так, как показано в случае E.
276. Отложим отрезок AD, равный четверти отрезка AB (см. рисунок), и отмерим расстояния DE и AF, каждое из которых составляет ¼ расстояния между точками B и C. Если точка G отстоит от E на то же расстояние, что и точка D от точки F, то длина отрезка AD как раз и будет равна искомой ширине дорожки. Например, если сад имеет размеры 12 × 5 м, то ширина дорожки равна 1 м. Хотя ответ и не всегда выражается целым числом, тем не менее измерения будут верными в любом случае.
277. Правильность приведенного здесь рисунка можно легко проверить, поскольку сумма 152 + 202 = 252, сумма 152 + 362 = 392 и, наконец, 152 + 82 = 172, Кроме того, 20 + 8 = 28. Если бы разрешалось брать прямоугольный треугольник, то маленький треугольник слева со сторонами 15, 25, 20 сам мог бы служить решением, так как высота, опущенная на основание (25), равна 12, а медиана 12½.
Быть может, наши читатели, пожелав испытать собственные силы, захотят найти общее решение данной задачи?
[Существует и другое решение: тупоугольный треугольник с основанием 66, сторонами 41 и 85 и высотой 40. Медиана этого треугольника равна 58. В этом случае высота опускается на продолжение основания, образуя новый, прямоугольный треугольник с основанием 9 и сторонами 40 и 41. — М. Г.]
278. Известны лишь расстояния 15 и 6 км. Все, что нужно сделать, — это разделить 15 на 6 и прибавить 2, при этом получится 4½. Разделив затем 15 на 4½) получите 3⅓ км. Это и будет искомым расстоянием между двумя пунктами.
Приведенный способ применим во всех случаях, когда пути образуют прямоугольный треугольник. Простые алгебраические выкладки покажут, откуда взялась константа 2.
Проверить справедливость нашего решения можно следующим образом. Стороны треугольника равны 15, 9⅓ (6 плюс 3⅓) и 17⅔ км (для того чтобы независимо от маршрута расстояние равнялось 21 км). Чтобы избавиться от дробей, умножим все числа на 3 и получим 45, 28 и 53. Если 452 (2025) плюс 282 (784) равно 532 (2809), то все верно, а это равенство можно легко проверить.
279. На рисунке показаны все расстояния. Спросившему нужно было всего лишь возвести в квадрат 60 км, проделанные первым мотоциклистом (3600), и разделить результат на удвоенную сумму этих 60 и 12 км, составляющих расстояние от дороги AB до C, то есть на 144. Проделав выкладки в уме, он, конечно, заметил, что результат можно получить, разделив 300 на 12, и поэтому сразу же нашел верный ответ — 25 км. Я не показываю здесь, как можно определить, если потребуется, остальные расстояния; сделать это совсем нетрудно.
