Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир
Прим. ред.: По теории чисел существует такая обширная литература, что трудно остановиться на чем-то одном. Вот несколько «классических» введений в эту теорию: Боревич З. И., Шафаревич И. Р… Теория чисел. М.: Наука, 1972; Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гостехиздат, 1952; Хинчин А. Я. Три жемчужины теории чисел. М.: Наука, 1979. Литература по простым числам: Гальперин Г. «Просто о простых числах» // Квант. 1987. № 4; Генри С. Уоррен. Формулы для простых чисел // Алгоритмические трюки для программистов. М.: «Вильямс», 2007; Матиясевич Ю. Формулы для простых чисел // Квант. 1975. № 5; Карпушина Н. Палиндромы и «перевертыши» среди простых чисел // Наука и жизнь. 2010. № 5. О гипотезе Римана и ее связи с простыми числами см. интересную статью Николенко С. Проблемы 2000 года: гипотеза Римана // Компьютерра. 2005. Рекомендуем также интересный и познавательный сайт «Числонавтика», посвященный теории чисел (и не только) по адресу http://www.numbernautics.ru/.
Дж. Дербишир. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. М.: Астрель, 2010.
144
Использование теории чисел в криптографии описано в работе M. Gardner, Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers (Mathematical Association of America, 1997), главы 13 и 14. В первой из этих глав приводится знаменитая статья Гарднера, опубликованная в августе 1977 года в журнале Scientific American, где он рассказывает о создании криптографической системы RSA, взломать которую практически невозможно. В главе 2 описывается «ужас», который вызвало это открытие в Национальном агентстве безопасности. О последних исследованиях в этой области говорится в главе 10 книги du Sautoy, The Music of the Primes.
Прим. ред.: Литература по криптографии: Нестеренко Ю. В. Алгоритмические проблемы теории чисел // Введение в криптографию / Под редакцией В. В. Ященко. СПб: Питер, 2014. Василенко О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. М.: МЦНМО, 2003; Черемушкин А. В. Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии. М.: МЦНМО, 2002; Крэндалл Р., Померанс К. Простые числа. Криптографические и вычислительные аспекты. М.: УРСС, Либроком, 2011.
145
Помимо указанных выше книг Дербишира, Рокмора и Дю Сотоя, в интернете можно найти множество источников о теореме простых чисел, например страницу Chris K. Caldwell How many primes are there? (http://primes.utm.edu/howmany.shtml), страницу MathWorld Prime number theorem (http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html) и страницу «Википедии» Prime number theorem (http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem).
146
История о том, как Гаусс в возрасте пятнадцати лет доказал теорему о простых числах, рассказана в книге Derbyshire, Prime Obsession, а также в работе L. J. Goldstein, A history of the prime number theorem, American Mathematical Monthly, Vol. 80, № 6 (1973), рр. 599–615. Гауссу удалось не столько доказать теорему, сколько угадать ее благодаря наблюдениям за таблицами простых чисел, которые он вычислил вручную для собственного развлечения. Первое доказательство теоремы было опубликовано Жаком Адамаром и Шарлем де ля Валле Пуссеном в 1896 году, примерно век спустя, причем каждый из них работал над ней независимо.
147
Как могут существовать простые числа-близнецы при большом N, если рассматривать их в свете теории простых чисел? Согласно теореме, lnN — это всего лишь средний промежуток. Однако он может колебаться, а поскольку существует бесконечное множество простых чисел, некоторым из них удается преодолеть ограничение и создать счастливую пару. Другими словами, даже если большинство простых чисел не обнаружат другие простые числа среди своих соседей намного ближе, чем на расстоянии lnN, все же некоторым это удастся.
Для тех, кто желает узнать, как математика управляет «очень маленькими промежутками между простыми числами», эта тема красиво и четко изложена в статье Эндрю Гранвиля, посвященной аналитической теории чисел, см. T. Gowers, The Princeton Companion to Mathematics (Princeton University Press, 2008), рр. 332–348.
В интернете также есть прекрасная статья Терри Тао, которая позволяет проникнуть в мир простых чисел-близнецов. В частности, в ней рассказывается, как они распределяются, а также дается ответ на вопрос, почему математики считают, что их существует бесконечное множество. Затем приводится подробное доказательство его знаменитой теоремы (совместно с Беном Грином) о том, что простые числа могут образовывать арифметические прогрессии произвольной длины. См. T. Tao, Structure and randomness in the prime numbers, http://terrytao.wordpress.com/2008/01/07/ams-lecture-structure-and-randomness-in-the-prime-numbers/.
Подробнее о простых числах-близнецах см. http://en.wikipedia.org/wiki/Twin_prime, http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimeConjecture.html.
148
Здесь я привожу свои соображения и не пытаюсь дать окончательный ответ на вопрос о расстоянии между двумя последовательными парами простых чисел-близнецов. Возможно, где-нибудь очень далеко на числовой прямой существуют две пары простых чисел-близнецов, которые находятся очень близко друг к другу. Введение в эти вопросы см. I. Peterson, Prime twins (June 4, 2001), http://www.maa.org/mathland/mathtrek_6_4_01.html.
В любом случае метафора о загадочных парах простых чисел-близнецов не осталась незамеченной в Голливуде. Вы можете посмотреть фильм под названием The Mirror Has Two Faces («У зеркала два лица»), в котором снимаются Барбра Стрейзанд и Джефф Бриджес. Он красивый, но не приспособленный к жизни в обществе профессор математики. Она профессор на кафедре английской литературы, смелая, энергичная, но привязанная к дому женщина (или, по крайней мере, таковой кажется), живущая вместе с матерью и неуравновешенной сестрой. В конце концов этим двум профессорам удается встретиться. Но когда их разговор за ужином заходит о танцах (что ему совсем не нравится), мужчина внезапно меняет тему и рассказывает о простых числах-близнецах. Она мгновенно понимает его мысль и спрашивает: «Что случится, если досчитать до миллиона? Там еще останутся такие пары?» Он почти падает со стула, восклицая: «Не могу поверить, что вы думали об этом! Именно это предстоит доказать в гипотезе о простых числах». Далее по фильму их отношения развиваются, и на день рождения она дарит ему пару запонок, на которых изображены простые числа.
149
Группа матраса известна в математике как четверная группа Клейна. Это одно из самых простых и гигантских скоплений возможностей. На протяжении почти 200 лет математики занимаются анализом групп и классификацией их структур. Захватывающее исследование теории групп и последние попытки классификации всех конечных простых групп см. M. du Sautoy, Symmetry (Harper, 2008).
Прим. ред.: В качестве введения в теорию групп рекомендуем: Ляховский В. Д., Болохов А. А. Группы симметрии и элементарные частицы. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983; Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972; Богопольский О.В. Введение в теорию групп. М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002; Артамонов В. А., Словохотов Ю. Л. Группы и их приложения в физике, химии, кристаллографии. М.: Изд. центр «Академия», 2005.
150
Эта глава навеяна двумя недавно вышедшими книгами. N. Carter, Visual Group Theory (Mathematical Association of America, 2009) и B. Hayes, Group Theory in the Bedroom (Hill and Wang, 2008). Картер интересно и живописно рассказывает об основах теории групп. Он повествует о том, как она связана с кубиком Рубика, танцами, кристаллами, химией, искусством и архитектурой.
Читателям, которых заинтересует определение «группы», следует обратиться к авторитетным онлайн-справочникам или обычным учебникам. Для начала можно посоветовать страницу MathWorld http://mathworld.wolfram.com/topics/GroupTheory.html или страницу «Википедии» http://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics). В этой главе я больше внимания уделил группам симметрии, чем другим группам.
151
Майкл Филд и Мартин Голубицкий изучали взаимосвязи между теорией групп и нелинейной динамикой. В ходе исследования они создали на компьютере потрясающие графические изображения симметрии хаоса. О математике в искусстве и науке см. M. Field and M. Golubitsky, Symmetry in Chaos, 2nd edition (Society for Industrial and Applied Mathematics, 2009).
152
Несколько слов об обозначениях в этой главе, которые могут сбить с толку: в уравнениях типа HR = V символ H написан слева, поскольку демонстрирует, что это преобразование произведено в первую очередь. Картер применяет подобное обозначение в своей книге для функциональной композиции, однако читатель, возможно, знает, что многие математики используют обратную запись, в которой первое преобразование H находится справа.
153
Историю о Фейнмане и психиатре см. R. P. Feynman, Surely You’re Joking, Mr. Feynman! (W. W. Norton and Company, 1985), р. 158; J. Gleick, Genius (Random House, 1993), р. 223.
154
Если вас интересует искусство, лимерики, патенты, уловки ораторов и серьезная математика, как-то связанная с лентами Мебиуса, тогда все это вы найдете в увлекательной книге Cliff Pickover, The Mobius Strip (Basic Books, 2006). Ранее об этих чудесах писалось в статье M. Gardner, The world of the Mobius strip: Endless, edgeless, and one-sided, Scientific American, Vol. 219, № 6 (December 1968).
