Яков Перельман - Для юных математиков. Веселые задачи
В моем книжном шкафу стоят на полке сочинения Пушкина в 8-ми томах, том к тому.
Приехав с дачи, я с досадой убедился, что летом книжный червь усердно сверлил моего Пушкина и успел прогрызть ход от первой страницы первого тома до последней страницы третьего тома.
Сколько всего страниц прогрыз червь, если в первом томе 700 страниц, во втором – 640, а в третьем – 670?
ЗАДАЧА № 26 Сложение и умножениеВы, без сомнения, не раз уже обращали внимание на любопытную особенность равенств:
2+2 = 4
2x2 = 4.
Это единственный пример, когда сумма и произведение двух целых чисел (и при том равных) одинаковы. Вам, однако, быть может, неизвестно, что существуют дробные числа (правда, не равные), обладающие тем же свойством:
3+1 1/2 = 4 1/2
3x1 1/2 = 4 1/2,
Попытайтесь подыскать еще примеры таких же чисел. Чтобы вы не думали, что поиски напрасны, скажу вам, что таких чисел весьма-весьма много.
ЗАДАЧА № 27 Стрельба на пароходеХороший стрелок стоит у одного борта парохода, а у противоположного помещена мишень. Пароход движется так, как изображено длинной стрелкой на приложенном здесь чертеже.
Рис. 23.Стрелок прицелился совершенно точно.
Попадет ли он и цель?
ЗАДАЧА № 28 Под водойНа обыкновенных весах лежат: на одной чашке – булыжник, весящий ровно 2 килограмма, на другой – железная гиря в 2 килограмма. Я осторожно опустил эти весы под воду. Остались ли чашки в равновесии?
ЗАДАЧА № 29 Как это сделаноВы видите здесь деревянный куб, сделанный из двух кусков дерева: верхняя половина куба имеет выступы, входящие в выемки нижней части. Но обратите внимание на форму и расположение выступов и объясните: как ухитрился столяр соединить оба куска?
Рис. 24.ЗАДАЧА № 30 Cкорость поезда
Вы сидите в вагоне железной дороги и желаете узнать, с какою скоростью он мчится. Можете ли вы это определить по стуку колес?
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ №№ 21-30
Решение задачи № 21Различно расположенных прямоугольников в этой фигуре можно насчитать 225.
Решение задачи № 22Если бы речь шла о градусах температуры, то, конечно, градус Реомюра всегда больше градуса Цельсия, именно на 1/5 долю; поэтому, если в вашей комнате 16 градусов Реомюра, то по Цельсию – 20.
Но это вовсе не значит, что на той дощечке термометра, на которой нанесены деления (на «шкале»), длина градусов всегда должна быть больше у термометра Реомюра, нежели у Цельсия. Длина деления зависит от того, сколько ртути в шарике термометра, и от толщины трубки. Чем больше ртути в шарике и чем тоньше канал трубки, тем выше поднимается ртуть в трубке при нагревании и тем больше промежуток между двумя делениями шкалы. В этом смысле «градус» может иметь самую различную длину, и вполне понятно, что такой градус Реомюра бывает нередко меньше градуса Цельсия.
Решение задачи № 23Легко узнать, каков был средний заработок семерых рабочих; для этого нужно избыточные 3 рубля разделить поровну между 6 плотниками. К 20 рублям каждого надо, следовательно, прибавить 50 коп., – это и есть средний заработок каждого из семерых.
Отсюда узнаем, что столяр заработал 20 р. 50 к. + 3 р., т. е. 23 р. 50 к.
Решение задачи № 24Вот каким способом можете вы получить 100 из ряда девяти цифр и трех знаков + и —:
123-45-67+89 = 100.
В самом деле:
Других решений задача не имеет.
Впрочем, если у вас есть терпение, попытайтесь испробовать другие сочетания.
Решение задачи № 25Казалось бы, надо просто сложить числа страниц трех томов – и задача решена. Но не спешите с решением. Обратите внимание на то, как стоят книги на полке и как расположены в них страницы.
Рис. 25.Вы видите, что 1-я страница I тома примыкает к 640-й странице II тома, а последняя страница III находится рядом с первой страницей II тома.
И если червь проделал ход от 1-й страницы 1 тома до последней страницы III тома, то он прогрыз всего только 640 страниц среднего тома, да еще 4 крышки переплета, – не более.
Решение задачи № 26Существует б е с ч и с л е н н о е м н о ж е с т в о пар таких чисел. Вот несколько примеров:
Решение задачи № 27Конечно, меткий стрелок попадет в цель, – если только пароход движется равномерно по прямой линии. Такое движение парохода ничем не может повлиять на полет пули.
Другое дело, если бы в самый момент выстрела пароход внезапно остановился, или замедлил ход, или ускорил его, или изменил курс: тогда пуля могла бы и не попасть в цель.
Решение задачи № 28Каждое тело, если погрузить его в воду, становится легче: оно «теряет» в своем весе столько, сколько весит вытесненная им вода. Зная этот закон (открытый Архимедом), мы без труда можем ответить на вопрос задачи.
Булыжник весом в 2 килограмма занимает больший объем, чем 2-килограммовая железная гиря, потому что материал камня, гранит, легче железа. Значит, булыжник вытеснит больший объем воды, нежели гиря, и, по закону Архимеда, потеряет в воде больше веса, чем гиря: носы под водой наклонятся в сторону гири.
Решение задачи № 29Ларчик открывается очень просто, как видно из чертежа 26-го.
Рис. 26.Все дело только в том, что выступы и углубления идут не крестом, как невольно кажется при рассматривании готовой вещи, а параллельно, в косом направлении. Такие выступы очень легко сбоку вдвинуть в соответствующие выемки. Решение задачи № 30
Вы заметили, конечно, что при езде в вагоне все время ощущаются мерные толчки; никакие рессоры не могут сделать их неощутительными. Толчки эти происходят оттого, что колеса слегка сотрясаются в местах соединения двух рельсов, и этот толчок передается всему вагону. Значит, стоит лишь вам сосчитать, сколько толчков в минуту испытывает вагон, чтобы узнать, сколько рельсов пробежал поезд. Теперь остается лишь умножить это число на длину рельса, – и вы получите расстояние, проходимое поездом в одну минуту.
Рис. 27. Когда железнодорожное колесо проходит через место соединения рельсов, конец А отгибается вниз, между тем как конец В еще остается прямым. Отсюда толчок, который ощущают едущие в вагоне.Обычная длина рельса – около 8 1/2 метров [3] . Сосчитав с часами в руках число толчков в минуту, умножьте это число на 8 1 / затем на 60 и делите на 1000– получится число километров, пробегаемое поездом в час:
числу километров в час.
Так как
около половины, то достаточно просто разделить на 2 число толчков в минуту, чтобы приблизительно узнать, сколько километров пробегает поезд в час.Глава IV Обманы зрения
ЗАДАЧА № 31
Загадочный рисунок
Рис. 28.
Пока вы смотрите на эти две физиономии, держа книгу неподвижно, они не обнаруживают ничего необычайного. Но начните двигать книгу вправо и влево, не переставая смотреть на рисунки. Произойдет любопытная вещь: физиономии словно оживут – начнут двигать зрачками вправо и влево, поворачивая также при этом рот и нос.
Отчего это происходит?
ЗАДАЧА № 32 Три монетыПоложите рядом три монеты – одинаковые или разные. То, что я сейчас предложу вам сделать с ними, кажется с первого взгляда очень простым. Тем неожиданнее будет для вас то, что вы узнаете потом.
Рис. 29.Вот эта задача: выдвиньте среднюю монету вниз на столько, чтобы между нею с каждою из остальных двух был промежуток, равный расстоянию между А и В (рис. 30).
Рис. 30.Вы должны полагаться при этом только на свой глазомер и не прибегать к помощи циркуля или бумажки. Большой точности от вас не требуют: если вы ошибетесь всего на 1 сантиметр, то задача будет считаться решенной вполне верно. ЗАДАЧА № 33 Четыре фигуры
Какая из четырех фигур самая большая и какая самая маленькая?
Рис. 31.Дайте ответ, полагаясь только на свой глазомер. ЗАДАЧА № 34 Кто длиннее?
Вы видите здесь три черных фигуры. Ответьте на вопрос: если смерить их бумажкой или циркулем, какая фигура окажется длинней?
Конечно, задача очень легка, когда проделываешь это на самом деле. Но попробуйте заранее, без измерения, сказать, какая фигура длиннее, и потом проверьте себя. Вас ожидает занимательный сюрприз.
Рис. 32.ЗАДАЧА № 35 Окружность пальца
Как вы думаете: во сколько раз окружность вашего пальца – например среднего пальца вашей руки, – меньше окружности вашего запястья?
Попробуйте ответить на этот вопрос, – а потом проверьте ответ бечевкой или полоской бумаги. Могу заранее сказать, что вы будете немало смущены результатом проверки. Почему?
ЗАДАЧА № 36 Кривые ногиПочему у этих двух человек такие кривые ноги?
Рис. 33.ЗАДАЧА № 37 Неожиданность
Закрыв один глаз, всматривайтесь другим в белый квадратик, нарисованный в верхней части прилагаемого рисунка. Спустя десять или пятнадцать секунд вы заметите нечто совершенно неожиданное. Что именно?
